抛物线动弦中点到y轴最短距离的推导计算

抛物线y²=2px(p>0)的动弦AB长为a,求动弦AB的中点M到y轴的最短距离。 解：

设直线AB的方程为x=ky+b,与y²=2px联立，得：

y²=2p(ky+b)

y²-2pky-2pb=0

y1+y2=2pk

y1*y2=-2pb

则(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=4p²k²+8pb

∴(x1-x2)²=[(ky1+b)-(ky2+b)]²=(ky1-ky2)²=k²(y1-y2)²

|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=√[(k²+1)(y1-y2)²]

=√[(k²+1)(4p²k²+8pb)]=a

√[(k²+1)(4p²k²+8pb)]=a

(k²+1)(4p²k²+8pb)=a²

b=[-pk²/2+a²/8p（k²+1）]

而(x1+x2)/2=(ky1+b+ky2+b)/2=k(y1+y2)/2+b=pk²+b

∴点M的横坐标为：pk²+b

即M到y轴的距离为：pk²+b

而pk²+b

=pk²-pk²/2+a²/8p（k²+1）

=[pk²/2+a²/8p（k²+1）]

=[p（k²+1）/2+a²/8p（k²+1）-p/2]

≥（a-p）/2

这里，(k²+1)=a/2p能成立时，取得等号。

而由于(k²+1)≥1，只有a/2p≥1，即a≥2p时，可取得等号，即(k²+1)=a/2p能成立。此时，动弦AB的中点M到y轴的最短距离为（a-p）/2。此时，将解出的k、b代入所设直线AB的方程为x=ky+b可知：弦AB过抛物线的焦点！

当a/2p

此时，将k=0和解出的b代入所设直线AB的方程为x=ky+b可知：弦AB平行于y轴！

已知抛物线y^2=2px(p>0)的动弦AB长为a（a>=2p),求证动弦AB的中点M到y轴的最短距离是(a-p)/2。

证明：如图，

设焦点F为（P/2 ，0）

作MN，AP,BQ垂直于准线X＝－P/2，

则有：

AB≤AG+BG=AP+BQ=2MN

得ML≥a/2，

a>=2p时,ML≥1/2a能取得等号,

即AB过焦点，MN取得最小值。

而动弦AB的中点M到y轴的最短距离

=MN取得最小值-P/2

=a/2-P/2

=(a-p)/2

例1 抛物线y²=8x的动弦AB的长为6,求弦AB的中点M到y轴的最短距离。 解一：

当|AB|

AB平行于y轴,|y1| = |y2| = 3,且有:

y1²=8x1 y2²=8x2

（x1+x2)/2 =（y1² +y2²）/16 =18/16=9/8

即AB中点M到y轴的最小距离9/8

解二：

设直线AB的方程为：x=ky+b,则有：

y²=8(ky+b)

y²-8ky-8b=0

y1+y2=8k

y1*y2=-8b

则(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=64k²+32b

∴(x1-x2)²=[(ky1+b)-(ky2+b)]²=(ky1-ky2)²=k²(y1-y2)²

|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=√[(k²+1)(y1-y2)²]

=√[(k²+1)(64k²+32b)]=4√[(k²+1)(4k²+2b)]=6

√[(k²+1)(4k²+2b)]=3/2

(k²+1)(4k²+2b)=9/4

2k²(k²+1)+b(k²+1)=9/8

b(k²+1)=9/8-2k²(k²+1)

b=[9/8-2k²(k²+1)]/(k²+1)=9/8(k²+1)-2k²

而(x1+x2)/2=(ky1+b+ky2+b)/2=k(y1+y2)/2+b=4k²+b

∴点M的横坐标为：4k²+b

即M到y轴的距离为：4k²+b

而4k²+b=4k²+9/8(k²+1)-2k²=2k²+9/8(k²+1)

=2(k²+1)+9/8(k²+1)-2≥2√[2(k²+1)×9/8(k²+1)]-2=1

这里，(k²+1)=3/4时，2(k²+1)=9/8(k²+1)才能取得等号。

而(k²+1)≥1

即k=0时，M到y轴的距离取得最小值9/8

例2 抛物线y²=8x的动弦AB的长为16,求弦AB的中点M到y轴的最短距离。 解一：

设A（x1,y1）、B(x2,y2)

弦AB的中点M到y轴的距离最短,则弦AB过焦点

y²=8x

焦点（2，0）

准线x=-2

AB的长为16

则x1+2+x2+2=16

x1+x2=12

中点M到Y轴的距离=(x1+x2)/2=6

解二：

设直线AB的方程为x=ky+b

和抛物线y²=8x联立，得：

y²=8(ky+b)

y²-8ky-8b=0

y1+y2=8k

y1y2=-8b

则(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=64k²+32b

∴(x1-x2)²=[(ky1+b)-(ky2+b)]²=(ky1-ky2)²=k²(y1-y2)² 弦AB的长为：

√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]

=√[(k²+1)(y1-y2)²]

=√[(k²+1)(64k²+32b)]

=4√[(k²+1)(4k²+2b)]

=16

√[(k²+1)(4k²+2b)]=4

(k²+1)(4k²+2b)=16

2k²(k²+1)+b(k²+1)=8

b(k²+1)=8-2k²(k²+1)

b=[8-2k²(k²+1)]/(k²+1)=8/(k²+1)-2k²

而(x1+x2)/2=(ky1+b+ky2+b)/2=k(y1+y2)/2+b=4k²+b ∴点M的横坐标为：4k²+b

即M到y轴的距离为：4k²+b

而4k²+b

=4k²+8/(k²+1)-2k²

=2k²+8/(k²+1)

=2(k²+1)+8/(k²+1)-2

≥2√[2(k²+1)×8/(k²+1)]-2

=2√16-2

=2×4-2

=6

当且仅当2(k²+1)=8/(k²+1)，k²=1时等号成立

∴当k²=1时，弦AB的中点M到y轴的距离最短，是6。