直线平行的条件
学科:数学
教学内容:直线平行的条件
知识精点
通过本节的学习,要了解两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角的定义,掌握平行线的识别方法,理解由角的关系得到两条直线的平行关系.
本节的主要概念:
1.同位角、内错角、同旁内角的概念——两条直线被第三条直线所截,构成八个角,俗称“三线八角”.其中分别在两条直线的同一侧,并且在第三条直线的同旁的一对角叫同位角;在两条直线之间.但分别在第三条直线的两旁的一对角叫内错角.在两条直线之间,并且在第三条直线的同旁的一对角,叫同旁内角.
2.平行线的判定方法:
方法1:同位角相等,两直线平行;
方法2:内错角相等,两直线平行.
方法3:同旁内角互补,两直线平行.
重、难、疑点:
重点:同位角、内错角、同旁内角的定义及平行线的判定方法.
难点:1.同位角、内错角、同旁内角的正确识别;
2.平行线判定方法的运用.
疑点:1.在不同的图形中,识别同位角、内错角、同旁内角容易出现混淆;
2.平行线的判定与性质在运用过程中易出现错误.
典例精讲
例1 根据右图,回答下列问题:
(1)由∠C=∠1,可以判断哪两条直线平行?说明理由?
(2)由∠1=∠2,可以判断哪两条直线平行?说明理由?
(3)由∠D+∠C=180°,可以判断哪两条直线平行?说明理由?
方法指导:根据定义,判断出每两个角是由哪两条直线被哪条直线截得的什么角. 解:(1)∵∠C与∵∴1是由直线DC和EF被直线BC截得的同位角,∴由∠C=∠1可得到DC∥EF,理由是同位角相等,两直线平行;
(2)∵∠1与∠2是由直线EF和AB被直线BC截得的内错角,∴由∠1=∠2可得到EF∥AB,理由是内错角相等,两直线平行;
(3)∵∠C与∠D是由直线AD和BC被直线DC截得同旁内角,∴由∠C+∠D=180°可得到AD∥BC,理由是同旁内角互补,两直线平行.
方法总结:根据图形,找到截线和被截线,再根据判定方法得到平行线。
l3,l2、举一反三 (贵阳市中考题)如图,已知同一平面内的直线l1、如果l1l2,l2l3,
那么l1与l3的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.垂直 D.以上全不对
解:A
例2 如图,写出所有能够推得直线AB∥CD的条件.
方法指导:本题的图形是典型的“三线八角”,这种类型的题目可考虑用平行线的判定方法1、2、3.同时,也要注意能够推得直线平行的一些间接条件.
解:可以推得AB∥CD的条件有:∠1=∠6,∠2=∠5,∠3=∠7,∠4=∠8,∠1=∠7,
∠2=∠8,∠4=∠5,∠3=∠6,∠2+∠6=180°,∠1+∠5=180°,∠3+∠8=180°,∠1+∠8=180°,∠4+∠7=180°,∠2+∠7=180°,∠3+∠5=180°,∠4+∠6=180°.
方法总结:本题题型新颖,属于开放题型,答案有很多种情况.在解题过程中,思维要清晰,找准分类标准,要做到不重复,不遗漏.
举一反三 如图,直线c与a、b相交,形成∠1、∠2、„、∠8,请你填上适合的一个条件:____________,使得a∥b.
解:(1)根据“同位角相等,两直线平行”可填:∠1=∠2,或∠5=∠6,或∠7=∠8,或∠3=∠4;
(2)根据“内错角相等,两直线平行”可填:∠3=∠6,或∠7=∠2;
(3)根据“同旁内角互补,两直线平行”可填:∠7+∠6=180°,或∠3+∠2=180°.
例3 (黄冈市中考题)如图,已知∠1=∠2,问:再添加什么条件可使AB∥CD?
方法指导:判定AB∥CD有三种方法可用,观察图形,结合已知条件找到合适的添加条件.
解:可以任意添加以下任一个条件:
①∠EBN=∠FDN;②∠MBE=∠MDF;③∠EBD+∠BDF=180°.
方法总结:做此类题目,首先建立在对平行线判定方法熟悉的基础上,其次思维要灵活,推理要严谨,考虑要全面,所添加的条件既要充分,也不能过剩.
举一反三 如图,已知∠C=100°,若增加一个条件,使得AB∥CD,试写出所有符合要求的条件.
解:可以增加以下任意一个条件:①∠BEC=80°;②∠AEF=80°;③∠AEC=100°;
④∠FEB=100°.
例4 如图,已知点O在直线AB上,OF平分∠BOC,OE平分∠AOC,CF⊥OF于点F,求证:FC∥OE.
方法指导:由CF⊥OF可得∠F=90°,因此只需证∠EOF=90°即可证FC∥OE.
解:证明:∵OF平分∠BOC,OE平分∠AOC, 11AOC,COFBOC22∴(角平分线定义), 1EOCCOF(AOCBOC)902∴(邻补角定义), EOC
即∠EOF=90°.又∵CF⊥OF,∴∠EOF+∠F=180°,
∴CF∥OE(同旁内角互补,两直线平行).
方法总结:可以由条件出发,探索角之间的关系,证明结论成立.
举一反三 如图,已知CD⊥DA,DA⊥AB,∠1=∠2,求证:DF∥AE.
解:证明:∵CD⊥DA,AD⊥AB,
∴∠CDA=∠DAB=90°(垂直的定义).
又∵∠1=∠2,
∴∠CDA—∠2=∠DAB—∠1(等式的性质),
即∠3=∠4,∴DF∥AE(内错角相等,两直线平行).
例5 一个裁缝师傅随意地剪了一块六边形的布料,如图所示,经测量他发现∠ABC、
∠BCD、∠CDE三角之和等于360°,他然后就说布料的两个边AB和ED是平行的.你知道为什么吗?
方法指导:用哪种方法判定直线平行呢?题目中有条件:“三个角之和等于360°,因此考虑用“同旁内角互补,两直线平行”,但题目中的AB、ED并没有被第三条直线所截,同时考虑到充分利用已知条件,因此作辅助线连接BD.
解:如图所示,连接BD.
∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°,
又∵∠ABC+∠C+∠EDC=360°,
∴∠ABD+∠BDE=360°—(∠DBC+∠C+∠BDC)=360°—180°=180°.
∴AB∥ED(同旁内角互补,两直线平行).
方法总结:本题的关键是作辅助线,观察图形结合已知条件,添加适当的辅助线,构
造完整的基本图形.同学们可以思考一下,此题是否还有另外作辅助线的方法.
举一反三 如图,已知∠B+∠E+∠D=360°,求证:AB∥CD.
解:证明:在∠BED内部作∠1,使得∠1+∠B=180°,
∴AB∥EF(同旁内角互补,两直线平行).
又∵∠B+∠1+∠2+∠D=360°,
∴∠2+∠D=360°—(∠1+∠B)=180°,
∴CD∥EF,
∴AB∥CD(如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行).
知识网络
学法点津
1.识别同位角、内错角、同旁内角是本节的重点之一,掌握这项技能,首先要牢记“三线八角”的基本特征,抓住同位角、内错角、同旁内角的特征,找出哪条直线是截线,哪两条直线是被截直线,再得出正确的判断.同时,要善于用比较法来理解三种角的特征,培养自己在较复杂的图形中识别三种角的能力.
2.在学习平行线的三种判定方法时,要结合实际条件,观察图形,通过同学间的合作、交流,将方法1、2、3融合贯通,培养自己会根据实际情况灵活选用判定方法的能力.
1.具有下列关系的两角中,一定有公共顶点的是 ( ).
A.互为余角 B.同位角
C.邻补角 D.内错角
2.已知a,b,c是同一平面内的三条直线,下列说法不正确的是 ( ).
A.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
B.若a⊥b,b∥c,则a⊥c
C.若a∥b,b∥c,则a∥c
D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c
3.如图5-2-11,由A测B的方向是 ( ).
A.南偏东30°
B.南偏东60°
C.北偏西30°
D.北偏西60°
4.一辆汽车在公路上行驶,两次拐弯后,仍按原来的方向行驶,那么两次拐弯的角度
可能是 ( ).
A.先右转50°,再右转40°
B.先左转50°,再左转40°
C.先右转50°,再左转130°
D.先右转50°,再左转50°
5.如图5-2-12,直线l截直线a,b,得到8个角,其中(1)对顶角有__________对,它们是___________;
(2)邻补角有______________对,它们是_____________;
(3)同位角有______________对,它们是_____________;
(4)内错角有______________对,它们是______________;
(5)同旁内角有______________对,它们是_____________.
6.在同一平面内,与已知直线a平行的直线有___________条,而经过直线a外一点P,
与已知直线a平行的直线有且只有_____________条.
7.如图5-2-13所示,长方体ABCD—A′B′C′D′中与棱AB平行的棱有____________条,它们是___________.
8.如图5-2-14,若∠1=∠2,则_________∥____________;若∠3=∠4,则________∥_________;若∠5=∠6,则__________∥____________;若∠7=∠8,则___________∥_____________;若∠BAD+∠ABC=180°,则___________∥__________;若∠ABC+∠BCD=180°,则_________∥___________.
9.如图5-2-15,因为∠1=∠3,∠2=∠3(已知),所以∠1=∠2( ),所以AB∥
__________( ).
10.如图5-2-16,(1)如果∠B=∠1,那么根据______________,可得AD∥BC;(2)如果∠D=∠1,那么根据____________,可得AB∥CD.
11.图5-2-17所示的6个角中,有多少对同位角?写出每对这样的角.有多少对内错
角?写出每对这样的角.有多少对同旁内角?写出每对这样的角.
12.如图5-2-18,已知AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=350°,∠2=35°.AC与BD平行吗?AE与BF平行吗?为什么?
13.读下列语句,并在图5-2-19上画出图形.
(1)过△ABC的顶点C,画MN∥AB;
(2)过△ABC的边AB的中点D,画平行于AC的直线,交BC于点E.
14.如图5-2-20,(1)要判定AB∥CD,只需知道什么条件?
(2)要判定AD∥BC,只需知道什么条件?
(3)要判定AE∥CF,只需知道什么条件?
15.如图5-2-21,已知∠1=∠2,∠3=∠4,说明AB∥EF.
16.图5-2-22所示为一条街道的两个拐角∠ABC和∠BCD,若已知∠ABC=150°,要
使街道AB与CD平行,∠BCD应为多少度?为什么?
17.如图5-2-23,已知∠BED=∠B+∠D.试问:AB与CD平行吗?若平行,请说明理由.
参考答案
1.C 2.A 3.B 4.D
5.(1)4 ∠1与∠3,∠2与∠4,∠5与∠7,∠6与∠8
(2)8 ∠1与∠2,∠1与∠4,∠3与∠4,∠3与∠2,∠5与∠6,∠5与∠8,∠6与∠7,∠7与∠8
(3)4 ∠1与∠5,∠4与∠8,∠2与∠6,∠3与∠7
(4)2 ∠3与∠5,∠4与∠6
(5)2 ∠3与∠6,∠4与∠5
6.无数 一
7.3 A′B′,DC,D′C′
8.AD BC AB CD AB CD AD BC AD BC AB CD
9.等量代换 CD 内错角相等,两直线平行.
10.(1)同位角相等,两直线平行 (2)内错角相等,两直线平行
11.2对同位角,它们是∠3与∠5,∠1与∠6;2对内错角,它们是∠4与∠6,∠2
与∠3;4对同旁内角,它们是∠1与∠2,∠2与∠4,∠4与∠5,∠5与∠1.
12.因为∠1=∠2=35°,所以AC∥BD(同位角相等,两直线平行).因为AC⊥AE,BD⊥BD,所以∠EAC=∠FBD=90°,所以∠EAC+∠1=∠FBD+∠2,即∠EAB=∠FBC,所以AE∥BF(同位角相等,两直线平行).
13.略.
14.答案不唯一,可参考(1)∠B+∠BCD=180°;(2)∠D+∠DCB=180°;(3)∠CAE=∠ACF.
15.证明:因为∠1=∠2(已知),所以AB∥CD(同位角相等,两直线平行).因为∠3=∠4(已知),所以EF∥CD(内错角相等,两直线平行),所以AB∥EF(平行于同一条直线的两直线互相平行).
16.∠BCD=∠ABC=150°,因为∠BED=∠B+∠D,所以∠BED=∠BEF+∠D,所以∠FED=∠D,所以∠EF∥CD,所以AB∥CD.
17.如图4,作∠BEF=∠B,则EF∥AB.因为∠BED=∠B÷∠D,所以∠BED=∠BEF+∠D,所以∠FED=∠D,所以EF∥CD,所以AB∥CD.