二次函数的概念.图象和性质
二次函数图象与性质
知识要点梳理:
知识点一、二次函数的定义:
形如y=ax2+bx+c(a≠0,a ,b ,c 为常数) 的函数称为二次函数(quadratic funcion) .其中a 为二次项系数,b 为一次项系数,c 为常数项. 知识点二、二次函数的图象及画法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象是对称轴平行于y 轴(或是y 轴本身) 的抛物线. 几个不同的二次函数. 如果二次项系数a 相同,那么其图象的开口方向、形状完全相同,只是顶点的位置不同.
1. 用描点法画图象
首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标,然后在对称轴两侧,以顶点为中心,左右对称地画图. 画结构图时应抓住以下几点:对称轴、顶点、与x 轴的交点、与y 轴的交点.
2. 用平移法画图象
由于a 相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同,故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a 值相同的其它形式的二次函数的图象. 步骤为:利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式,确定其顶点(h,k) ,然后做出二次函数y=ax2的图象. 将抛物线y=ax2平移,使其顶点平移到(h,k).
知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
1. 函数y=ax2(a≠0) 的图象与性质:
2. 函数y=ax2+c(a≠0) 的图象及其性质:
(1)当a>0时,开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同,不同的是顶点坐标为(0,c) ,当x=0时,y 最小=c
(2)当a
3. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与性质:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象是一条抛物线. 它的顶点坐标是
,
对称轴是直线
知识点四、抛物线y=ax2+bx+c中a 、b 、c 的作用
1. 求二次函数解析式的方法
一般来说,二次函数的解析式常见有以下几种形式. (1)一般式: y=ax2+bx+c(a,b ,c 为常数,a ≠0) (2)顶点式:
y=a(x-h)2+k(a,h ,k 为常数,a ≠0)
要确定二次函数解析式,就是要确定解析式中的待定系数(常数) ,由于每一种形式中都含有三个待定系数,所以用待定系数法求二次函数的解析式,需要已知三个独立条件.
当已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式y=ax2+bx+c,然后列出三元一次方程组求解.
当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时,通常设函数解析式为顶点式y=a(x-h)2+k求解.
(3)交点式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) ,其中x 1、x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标. 2. 确定二次函数最值的方法 确定二次函数
的最大值或最小值,首先先看自变量的取值范围.
再分别求出二次函数在顶点处的函数值和在端点处的函数值,比较这些函数值,其中最大的是函数的最大值,最小的是函数的最小值. ①若自变量值,如图所示.
的取值范围是全体实数,函数
有最大值或最小
图(1)中,抛物线开口向上,有最低点,则当时,函数有最小值是;
图(2)中,抛物线开口向下,有最高点,则当时,函数有最大值是.
②若自变量
的取值范围不是全体实数,函数值,如图所示.
有最大值或最小
图(1)中,当时,函数有最大值;当时,函数有最小值;
图(2)中,
当时,函数有最大
值;
当时,函数有最小
值
;
图(3)中,当
时,函数有最大值
;当
时,函数有最小值
;
图(4)
中,当
时,函数有最大值
;当时,函数有最小值
;
图(5)中,当
时,函数有最大值;当时,函数有最小值.
二次函数的概念、图象和性质
一、选择题
12
x -x+3用配方法化成y=a(x-h) 2+k 的形式为( ) 4
11
A .y= 一(x一2) 2+2 B .y= (x一2) 2+4
44111
C .y= 一 (x一2) 2+4 D .y=(x 一) 2+3
422
1.(2009·遂宁) 把二次函数y =-
2.(2009·上海) 抛物线y=2(x+m)2+n(m、n 是常数) 的顶点坐标是 ( )
A .(m,n) B .(-m ,n) C .(m,-n) D .(-m ,-n)
3.(2009·南充) 抛物线了y=a(x+1)(x--3)(a≠0) 的对称轴是直线 ( )
A .x=1 B .x=-1 C .x=-3 D .x=3
4.(2009.桂林) 二次函数y=(x+1)2+2的最小值是 ( )
A .2 B .1 C .-3 D .
2 3
5.(2009.台湾) 下列函数中,其图象与x 轴有两个交点的是 ( ) A .y=17(x+83)2+2 274 B .y=17(x-83) 2+2 274 C .y=17(x-83) 2 一2 274 D .y=17(x+83)2+2 274
6.(2009·甘肃) 将抛物线y=2x2向下平移1个单位,得到的抛物线是 ( ) A .y=2(x+1)2 B .y=2 (x-1) 2 C .y=2x2+1 D .y=2x2-1
7.(2009·乌鲁木齐) 要得到二次函数 y=-x 2+2x-2的 图象,需将y=-x 2的图象( ) A .向左平移2个单位,再向下平移2个单位 B .向右平移2个单位,再向上平移2个单位 C .向左平移1个单位,再向上平移1个单位 D .向右平移1个单位,再向下平移1个单位
8.(2009·黔东南州) 抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是
( )
A .y=x2-x -2 B .y=-
121
x +x +
1 22
121
x -x +1 D .y=-x 2+x +2 22
9.(2009·丽水) 已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象如图所示,给出以下结论:①a>0;
C .y=
②该函数的图象关于直线x=1对称;③当x=-1或x=3时,函数y 的值都等于0.其中正确结论的个数是 ( )
A .3 B . 2 C .1 D .0
10
2
则下列判断中,正确的是 ( ) A .抛物线开口向上 B .抛物线与y 轴交于负半轴
C .当x=4时,y>0 D .方程ax 2+bx+c=0的正根在3与4之间
11.(2009·荆门) 函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0) 的图象可能是 ( )
12.(2009·烟台) 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数
y=bx+b2-4ac 与反比例函数y =( )
13.
(2009
·兰州
)
在同一直角坐标系中,函数.
y=mx+m
和
y=
-
mx 2+2x+2(m是常数,且m
≠0) 的图象可能是 ( )
14.(2009·嘉兴) 已知a ≠0,在同一直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图象可能是
a +b +c
一坐标系内的图象大致为 x
( )
15.(2009·鄂州) 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列5个代数式:ac ,
a+b+c,4a -2b+c,2a+b,2a -b 中,其值大于0的个数为 ( )
A .2 B . 3 C .4 D . 5
16.(2009·宁夏) 二次函数y=ax2+bx+c(a 0) 的图象如图所示,对称轴是直线x=1,则下列四个结论中,错误的是 ( ) A .c>0 B .2a+b=0 C .b 2-4ac>0 D .a -b+c>0
17.(2009·南宁) 已知二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示,则下列四个结论:①b0;③b 2一4ac>0;④a 一b+c
18.(2009·新疆) 如图,在直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系式不正
确的是 ( ) A .h=m B .k=n C .k>n D .h>0,k>0
19.(2009·济宁) 小强从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,观察得出了下列五个
结论:①a1;③b>0;④a+b+c>0;⑤a -b+c>0.其中正确的个数是 ( ) A .2 B . 3 C .4 D . 5
20.(2009·黑龙江) 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象如图所示,则下列判断错误的是 ( )
A .a
21.(2009·黄石) 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则以下
结论:①a+b+c1;③abc>0;④4a —2b+c
—a>1,其中正确结论的序号是 ( ) A .①② B .①③④ C .①②③⑤ D .①②③④⑤ 二、填空题
22.(2009·荆门) 函数y=(x-2)(3-x) 取得最大值时,x 的值为__________.
23.(2009·包头) 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于点(一2,0) 、(x,0) ,且
10;④2a -6+1>0.其中正确结论的个数是__________.
24.(2009·黄石) 若抛物线y=ax2+bx+3与y=-x 2+3x+2的两交点关于原点对称,则a 、b
分
别为__________.
抛物线y=-2x+x2+7的开口向___________
25. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是_____________ 26. 抛物线y= (x-1)2+2的顶点坐标是________________ 27. 函数y= (x-1)2+1的最小值是________________
28. 二次函数y=ax2的图象过点(-1,2),则它的解析式是_________________ 29. 已知抛物线y=ax2+x+c与x 轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____________ 30. 抛物线y=x2+x-4与y 轴的交点坐标为_______________
31. 抛物线y=x2+2x与x 轴的交点坐标为(0,0)和_______________ 32. 抛物线y=x2-x+m,若其顶点在x 轴上,则m=_______________
33. 若点A (x ,y 1)、B (x ,y 2)都在y=2x2上,则y 1______y2(填“<”或“>”) 34. 请写出一个开口向上,对称轴为直线x=2的抛物线解析式35. 如图所示的抛物线是二次函数y=ax2-3x+a2-1的图象, 那么a 的值是_________
(1)y =
12
x -2x +1; (2)y =-3x 2+8x -2; (3)2
1
y =-x 2+x -4
4
四、(2009·佛山)(1)请在坐标系中画出二次函数y=-x 2+2x的大致图象.
(2)在同一个坐标系中画出了y=-x 2+2x的图象向上平移两个单位后的图象. (3)直接写出平移后的图象的解析式. 注:图中小正方形网格的边长为1.
五、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=8.点D 在斜边AB 上,过点
D 分别作DE ⊥AC ,DF ⊥BC ,垂足分别为点E 、F ,得四边形DECF ,设DE=x
,
DF=y 。
⑴AE 用含y 的代数式表示为:AE=_______________;
⑵求y 与x 之间的函数关系式,并求出x 的取值范围;
⑶设四边形DECF 的面积为S ,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值。
D B F
E C