借助几何画板迭代功能探索数学美

借助几何画板迭代功能探索数学美

刘 巍

（大连市一O 四中学，辽宁省大连市，邮编：116104）

摘要：几何画板是一个优秀的教育软件, 以其学习容易、操作简单、功能强大的特点在我国中小学数学多媒体辅助教学中得到广泛的应用。中学数学课程提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，教材中许多问题涉及的图形，与操作的次数有关，但学生只能从书本上看到静态图形。如若借助几何画板的迭代功能，则可展示图形的动态效果，这将使学生的理解与感受更为深刻。本文就谢氏三角形、谢氏地毯、柯赫曲线、柯赫雪花曲线等内容，探讨几何画板迭代功能在中学数学教学中的应用。共同挖掘数学所具有的动态的神奇之美，给我们以美的熏陶、美的启迪、美的享受，使我们不仅仅掌握数学，应用数学，而且还要鉴赏数学，品味数学。

关键词：几何画板；迭代功能；谢尔宾斯基三角形；谢尔宾斯基地毯；柯赫曲线；柯赫雪花曲线

古希腊数学家普洛克拉斯说过，哪里有数学，哪里就有美，如构建新颖优美，线条自然流畅，意境美妙和谐的几何图形，会令人赏心悦目. 挖掘数学所具有的动态的神奇之美，给我们以美的熏陶、美的启迪、美的享受，使我们不仅仅掌握数学，应用数学，而且还要鉴赏数学，品味数学。 几何画板是一个优秀的教育软件，以其学习容易、操作简单、功能强大的特点在我国中学数学多媒体辅助教学中得到广泛的应用。事实上，几何画板的“迭代”等许多功能在数学的多媒体辅助教学中也大有作为，遗憾的是尚未引起足够的重视，这方面的文章目前还很少见。本文就谢尔宾斯基三角形、谢尔宾斯基地毯、谢尔宾斯基金字塔、门杰海绵（谢尔宾斯基海绵）、柯赫曲线、柯赫雪花曲线等内容，探讨几何画板迭代功能在中学数学教学中的应用，意在抛砖引玉。

迭代是几何画板中一个很有趣的功能，它相当于程序设计的递归算法。通俗的讲就是用自身的结构来描述自身。最典型的例子就是对阶乘运算可看作一下的定义：⎨⎧n ! =n ⨯(n -1)! 。递归算法的特点是书写简单，容易理解，(n -1)! =(n -1) ⨯(n -2)! ⎩

但是运算消耗内存较大。我们先来了解下面这几个最基本的概念。

迭代：按一定的迭代规则，从初始对象到对应象之间的反复映射过程。

原象：产生迭代序列的初始对象，通常称为“种子”。

初象：原象经过一系列变换操作而得到的象。与原象是相对概念。

迭代像就是迭代操作产生的象的序列，而迭代深度是指迭代的次数。

几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度，即迭代的层数。那么下面我们通过例子来进一步地了解迭代以及相关的概念。

例1、谢尔宾斯基三角形

波兰著名数学家在1915-1916年期间，为实变函数理论构造了几个典型的例子， 这些怪物常称作“谢氏三角”、“谢氏地毯”、“谢氏金字塔”、“谢氏海绵”。

著名的谢尔宾斯基三角形，具有严格的自相似特点。不断连接等边三角形的中点，挖去中间新的小三角形进行分割——随着分割不断进行，谢尔宾斯基三角形总面积趋于零，总长度趋于无穷。

分析：取一个大的正三角形，连接各边的中点，得到4个完全相同的小正三角形，挖掉中间的一个，这是第一步。然后将剩下的三个小正三角形按照上述办法各自取中点、各自分出4个小正三角形，去掉中间的一个小正三角形，这是第二步。依次类推，不断划分出小的正三角形，同时去掉中间的一个小正三角形。这就是谢氏三角形的生成过程。

操作步骤：

（1）新建画板后，绘制出线段BC 。双击点C ，标记C 为旋转中心。选中线段BC 以及点B ，选择【变换】、【旋转】，旋转角度设置为60°。点击“旋转”按钮，画板出现B`点。将点B`的标签更改为A ，绘制线段AB 、AC 。

（2）取△ABC 三边中点为D 、E 、F ，连接DE 、EF 、DF ，就得到△DEF 。

（3）填充这个三角形，并度量它的面积，选择△DEF 和相应的度量结果，点击【显示】、【颜色】、【参数】，则三角形的颜色会随它的面积变化而变化，从而产生美轮美奂的效果。

（4）单击【数据】、【新建参数】，在名称栏中输入n ，在值栏中输入2，在单位栏中选择“无”，单击【确定】，画板显示n=2，再单击点B 、C ，单击参数按钮【n=2】，按住Shift 键，单击【变换】、【带参数的迭代】，弹出【迭代】对话框，点击画板中与点B 、C 相对应的点D 、F ，建立从原象B 、C 到初象D 、F 的映射。

（5）继续在这个对话框中点击【结构】、【添加新的映射】，然后依次单击点B 、E （如图1-1），还在这个对话框中点击【结构】、【添加新的映射】，然后依次单击点E 、C ，去掉【结构】下拉菜单中【生成迭代数据表】前的对钩，单击

【迭代】按钮。

（6）选中参数n=2.00,按键盘上的“＋”、“－”键控制参数t 值的增减，同时也控制迭代层数的增减（如图1-2）。

图1-1 图1-2

例2、谢尔宾斯基地毯

分析： 和谢尔宾斯基三角形相似，只是步骤多了一些。取正方形将其9等分，得到9个小正方形，舍去中央的小正方形，保留周围 8 个小正方形。然后对每个小正方形再 9 等分，并同样舍去中央正方形。按此规则不断细分与舍去，直至无穷。

操作步骤：

（1）新建画板后，绘制出线段AB ，双击B 点，选中线段AB 以及点A ，选择【变换】、【旋转】，旋转角度设置为90°，点击“旋转”按钮，画板出现A`点。将点A`的标签更改为C 。双击C 点，重复上面操作得到点D ，连接AD ，就构造出正方形ABCD 。

（2）选中A 点，点击【变换】、【标记中心】，再选中B 、D ，单击【变换】、【缩放】，出现对话框，修改缩放比为得到E 、F ；同理将放缩比改为1，32，得到L 、G ；再以C 为缩放中心，重复上面操作即可得到点I 、J 、H 、K ，连接HE 、3

IL 、GJ 、FK ，将正方形九等分。

（3）填充中间的正方形MNQP ，度量正方形MNQP 的面积，点击【显示】、【颜色】、【参数】，则正方形的颜色会随它的面积变化而变化。

（4）单击【数据】、【新建参数】，在名称栏中输入n ，在值栏中输入2，在单位栏中选择“无”，单击【确定】，画板显示n=2，再单击点A 、B ，单击参数按钮【n=2】，按住Shift 键，单击【变换】、【带参数的迭代】，弹出【迭代】对话框，点击画板中与点A 、B 相对应的点A 、E ，建立从原象A 、B 到初象A 、E 的映射。

（5）继续在这个对话框中点击【结构】、【添加新的映射】，然后依次单击点F 、M （如图2-1），还在这个对话框中点击【结构】、【添加新的映射】，然后依次单击点G 、P ，重复单击【添加新的映射】，并单击点E 、L ；P 、Q ；L 、B ；N 、K ；Q 、J ，然后去掉【结构】下拉菜单中【生成迭代数据表】前的对钩，单击【迭代】按钮。单击迭代，隐藏不必要的对象。

（6）选中参数n=2.00,按键盘上的“＋”、“－”键控制参数t 值的增减，同时也控制迭代层数的增减。

图2-1

例3、门杰海绵（谢尔宾斯基海绵）与谢尔宾斯基金字塔

奥地利数学家K ．门杰(K．Menger) 从三维的单位立方体出发，用与构造谢尔宾斯基地毯类似的方法，构造了门杰“海绵”(1999年以前，大部分分形著作中，均误称之为谢尔宾斯基海绵) （如图3-2）；用与构造谢尔宾斯基三角形类似的方法，构造了谢尔宾斯基金字塔(如图4-2) 。门格海绵的每一个面都是谢尔宾斯基地毯；谢尔宾斯基金字塔在力学上也

有实用价值，谢尔宾斯基金字塔结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。这是两座宏伟的集合大厦，里面有无数的通道，连接着无数的门窗。这种“百孔千窗”、“有皮没有肉”的结构的表面积是无穷大，它们是由反复挖去一拨比一拨小的立体所生成，是化学反应中催化剂或阻化剂最理想的结构模型。

如果我们制作任意三角形的谢尔宾斯基三角形和任意四边形的谢尔宾斯基地毯（即三角形和四边形的顶点都是自由点），然后按照多面体的侧面数将他们复制。利用画板合并点的功能，将它们“粘贴”到四棱锥和正方体的各个侧面上，可以制作谢尔宾斯基金字塔和谢尔宾斯基海绵的效果图（如图3-1、图4-1）。而图1-2、图1-4是用《几何画板》迭代功能制作出的门杰海绵和谢尔宾斯基金字塔（由于制作非常复杂，这里就不再赘述制作步骤）。

图3-1 图3-2 图4-1 图4-2

例4、柯赫曲线

瑞典数学家柯赫于1904年构造出了被称为“数学怪物”的著名曲线，如今称之为“柯赫曲线”(Koch curve) 的几何对象。

分析：它的构造过程如下：取一条长度为a 的直线段，先将它三等分，然后保留两侧的两段，将中间的一段改成夹

a ，这是n=1的第一次操作。类似地，第二次操作是将上次所得的四段边长3

a a a 为的线段都进行三等分，现在每段长度为，并将它们中间的一段改成夹角为60°的两个长度为的直线。如果将399角为60°的两个等长的线段，每段长度均为

上述操作一直进行下去，最终得到一条具有自相似结构的曲线，称为三次柯赫曲线。

操作步骤：

（1）画线段AB ，以A 为缩放中心，将放缩比修改为11得到C 点；以B 为缩放中心，将放缩比修改为得到D 点。33

选中C 点，单击【变换】、【旋转】，弹出【旋转】对话框，在该对话框中选择【固定角度】，角度框中填写“-60°”，得到E 点。隐藏线段AB ，连接线段AC 、CE 、ED 、DB 。

（2）单击【数据】、【新建参数】，在名称栏中输入n ，在值栏中输入3，在单位栏中选择“无”，单击【确定】，画板显示n=3。

（3）顺次选择A 、B 两点，单击参数按钮【n=3】，按住Shift 键，单击【变换】、【带参数的迭代】，弹出【迭代】对话框，点击画板中与点A 、B 相对应的点A 、C ，建立从原象A 、B 到初象A 、C 的映射。

（4）在这个对话框中点击【结构】、【添加新的映射】，然后依次单击点C 、E ，还在这个对话框中点击【结构】、【添加新的映射】，然后依次单击点E 、D ，重复单击【添加新的映射】，并单击点D 、B ，然后去掉【结构】下拉菜单中【生

成迭代数据表】前的对钩，单击【显示】按钮，选择“显示最终迭代”，单击【迭代】按钮。隐藏线段AC 、CE 、ED 、DB （如图5-1）。

（5）选中参数t=3.00,按键盘上的“＋”、“－”键控制参数t 值的增减，同时也控制迭代层数的增减。（如图5-2）

图5-1

例5、柯赫雪花 瑞典人柯赫于1904年提出了著名的“雪花”曲线。因为它酷似雪花，所以叫“雪花曲线”(snowflake curve)，也很像海岸线。

分析： 这种曲线的作法是，从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间长度为底边。分别向外作正三角形，再把“底边”线段抹掉，这样就得到一个六角形，它共有12条边。再把每条边三等份，以各中间部分的长度为底边，向外作正三角形后，抹掉底边线段。反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线。这曲线叫做柯赫曲线或雪花曲线。反复进行这一作图过程，得到的曲线越来越精细。

操作步骤：

（1）在平面上取AB 做一个KOCH 曲线（注意要有一定顺序从A 到B 点），新建一个参数以控制迭代深度，取参数初始值为2。

（2）选择所有对象，然后按工具箱中的【自定义工具】按钮选择【创建新工具】命令，在弹出的对话框中将工具名称更改为“雪花曲线的一边”，按确定退出。

（3）以点B 为旋转中心，将A 点顺时针旋转60°得到点F 。

（4）选择工具箱中的【自定义工具】、【雪花曲线的一边】工具；用鼠标选择点B 、F 、迭代深度（如图6-1）；再用鼠标选择点F 、A 、迭代深度，隐藏不必要的内容（如图6-2）。

（5）拖动点A 、B 可改变图形大小，双击“迭代深度”或选择“迭代深度”后按“+”或“-”键改变迭代深度可控制“生长”的次数。（注：迭代深度=生长次数-1）

图6-1 图6-2

其实，柯赫雪花还可以这样生成，

（1）在平面上取AB 做一个KOCH 曲线，然后在A 的左端任取一点D ，在B 的右边任取一点C ，分别在AD 和BC 上做KOCH 雪花，注意三个迭代深度都必须为n 。

（2）以A 点为旋转中心，B 顺时针旋转60°得到B`点。选择B`，C 两点，单击【编辑】【合并点】，则C 点与B`点合并，同理，再合并D 、B`两点，KOCH 雪花完成了。

数学之所以被某些人称为“枯燥的数字游戏”，是因为尽管数学图像千变万化，但学生平时学习的只是其中最简单的基本图形，当然没有兴趣可言。正如著名数学家分形几何的创始人芒德勃罗所说：“为什么几何学常常被说成是‘冷酷无情' 和‘枯燥乏味' 呢？原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传播的 „„数学家不能回避从大自然提出的问题 。”所以我觉得在学习之余，应该通过《几何画板》来发挥学生的创造力和想像力，因为这是传统数学所欠缺的，同时还能借此机会学习一些其他科学知识，对学习数学也是有益的。