函数的奇偶性教学案例
《函数的奇偶性》教学案例
一、教学目的
1、 理解函数奇偶性的定义,能判断给定函数的奇偶性;
2、初步运用函数的奇偶性,如求函数值、求函数解析式、作函数图象等; 3、体会具有奇偶性的函数图象的对称性,感受数学的对称美,渗透数形结合的数学思想。
二、教学重点、难点
重点:奇偶性的定义,奇偶性函数的图象特征; 难点:奇偶性的判定及应用。 三、教学过程
(一)新课引入
我们知道,函数的单调性反应在图象上就是图形的上升与下降趋势;函数的最大值最小值在图象上看也就是它的最高点与最低点。那么函数的奇偶性又是什么呢?
问题1我们一起来观察函数f (x ) =x ,f (x ) =x ,f (x ) =x ,f (x ) =x ,
2
3
12
f (x ) =x ,f (x ) =x -1=
13
11-2
,f (x ) =x =2的图象。 x x
(二)新课——函数的奇偶性
1、对于f (x ) =x 2的图象,我们可以从整体上直观地感受到,它关于y 轴对称,是轴对称图形。对于f (x ) =
1
的图象,我们可以从整体上直观地感受到,它关于原点对称, x
① ② ③
y =x
y =x
y =数
α
=x -1
x
3
α>1
0
偶函数
α
是点中心对称图形。
2、那么如何利用函数值描述这种对称性呢?求下表中的函数值并比较
2
对于f (x ) =x ,由于图形关于y 轴对称图形,故有f (-x ) =f (x ) ;
对于f (x ) =
1
,由于图形关于原点对称,故有f (-x ) =-f (x ) 。 x
3、事实上,我们取点P (x , f (x )) ,Q (-x , f (-x )) ,如图所示,
如果它们关于y 轴对称,则有f (-x ) =f (x ) , 如果它们关于原点对称,则有f (-x ) =-f (x ) ,
4、定义:一般地,对于函数f (x ) 的定义域内的任一个x ,
如果都有f (-x ) =f (x ) ,则称函数f (x ) 是偶函数;所以偶函数的图象关于y 轴对称。
如果都有f (-x ) =-f (x ) ,则称函数f (x ) 是奇函数。奇函数的图象关于原点对称。 5、适时巩固
(课本,P39,思考)判断函数f (x ) =x +x 的奇偶性并补全图象 (课本,P40,练习)已知函数的奇偶性补全图象 (三)例题——判断函数的奇偶性
1、(课本,P39,例5)判断下列函数的奇偶性 (1)f (x ) =x (2)f (x ) =x (3)f (x ) =x +
4
5
3
11
(4)f (x ) =2 x x
设计说明:巩固函数奇偶性的概念,培养学生的自学能力
分析:①先求定义域,再求f (-x ) =? ,f (x ) =? ,比较二者是否相等或相反,结论,②由学生阅读课本自学,③强调解题格式
解:(格式)(1) 函数的定义域为(-∞, +∞) ,
又f (-x ) =(-x ) 4=x 4,f (x ) =x 4 , ∴f (-x ) =f (x ) ∴f (x ) =x 4 是偶函数 2、(补充)判断下列函数的奇偶性 (1)f (x ) =
x 3-1+-x 3 (2)f (x ) =
x -1
x +1
-x 2
(3)f (x ) =2x +3 (4)f (x ) =
|x +2|-2
(5)f (x ) =
x 2-1+-x 2
设计说明:适当提高,让学生感受函数奇偶性的各种不同情形及巩固判断方法 分析:对于(1)(2),由于定义域关于原点不对称,f (-x ) 存在无意义的情形,对于(3)可举特例f (-1) =1, f (1) =5,得到非奇非偶的类型;对于(4)(5),先求定义域,适当化简解析式后,比较f (-x ), f (x ) 得出奇偶性,对于既是奇又是偶的函数,其解析式为f (x ) =0 ,而由定义域不同可得不同函数
解:(略)
3、(补充)已知f (x ) =ax +bx +3a +b 是偶函数,且定义域为[a -1, 2a ],求a , b 的值。
设计说明:让学生明确函数的奇偶性是对于整个定义域而言的,明确二次函数为偶函数的条件
分析:奇偶性的前提是定义域要关于原点对称,理解f (-x ) =f (x ) 对定义域内的任
2
一个x 恒成立,另外也可注意二次函数图象即抛物线的对称轴为y 轴。
解:a =
1
,b =0 3
(四)提高——奇偶性运用
(思考)已知f (x ) 是奇函数,当x >0时,f (x ) =-x 2+x ,求当x
设计说明:奇偶性的具体运用,进一步理解f (x ) =-f (-x ) ,理解当自变量x 取一对相反数时,函数值f (x ) 的相等与相反
分析与提示:(1)先求f (1) =? ,f (2) =? ,f (3) =? (2)再求f (-1) =? ,f (-2) =? ,f (-3) =? ,发现什么?
(3)当x 0, f (-x ) =? ,据奇函数f (x ) =-f (-x ) =? 解:当x 0,f (x ) =-f (-x ) =-[-(-x ) 2+(-x )]=x 2+x (作图验证一下)
(五)小结——构建知识网络
(1)奇偶性的定义是什么?其图象有什么性质? (2)判断奇偶性的前提与步骤是什么? (3)奇偶性的运用,求值,作图,求解析式 (六)作业——巩固与反馈 1、课本,P43,习题A 组,第6题
2、已知函数f (x ) 对一切x , y 都有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ,①求证:f (x ) 是奇函数,②若f (-3) =a ,试用a 表示f (24) 的值。 五、教学说明
“函数奇偶性”是一个重要的数学概念,其研究必须经历从直观到抽象,从图形语言到符号语言,整节课可让学生通过自主探究活动来体验数学概念的形成,学习数学思考的基本方法,培养学生的数学思维能力。
教学中努力体现出学生的思维过程:(1)由学生观察图象的对称性,从直觉上认识
奇函数与偶函数的概念。(2)通过表格中数据(函数值)的相等相反关系,得出对称性的本质是坐标的关系。(3)再以精确的数学语言来定义函数的奇偶性
教学要求是:让学生掌握利用定义进行判断奇偶性的基本方法,理解定义域的要求,理解图象的对称性,了解奇偶性的四种类型,并初步运用奇偶性。
教学方法上,本节致力于展示概念是如何生成的,在概念的发生、发展中,通过层层设问,调动学生的思维,突出培养了学生的思维能力。体现了教师是用教材教,而不是教教材。初步学会如何由具体到抽象,由特殊到一般的思维过程,并渗透数形结合法思想。本节努力实现新课程所倡导的“培养学生积极主动,勇于探索的学习方式”。 六、教学反馈 (略)