等比数列·例题解析
等比数列·例题解析
【例1】 已知S n 是数列{an }的前n 项和,S n =p n (p∈R ,n ∈N*),那么数列{an }.
[ ]
A .是等比数列
B .当p ≠0时是等比数列
C .当p ≠0,p ≠1时是等比数列 D .不是等比数列
分析 由S n =p n (n∈N*),有a 1=S1=p ,并且当n ≥2时, a n =Sn -S n-1=p n -p n-1=(p-1)p n-1
⎧⎪
⎪p ≠0⎪
故a 2=(p-1)p ,因此数列{an }成等比数列⇔⎨p -1≠0
⎪n -1(p-1)p p (p -1) ⎪=n -2⎪p ⎩(p -2) p
但满足此条件的实数p 是不存在的,故本题应选D .
说明 数列{an }成等比数列的必要条件是a n ≠0(n∈N*),还要注
意对任n ∈N *,n ≥2,
a n
都为同一常数是其定义规定的准确含义. a n -1
【例2】 已知等比数列1,x 1,x 2,…,x 2n ,2,求x 1·x 2·x 3·…·x 2n . 解 ∵1,x 1,x 2,…,x 2n ,2成等比数列,公比q ∴2=1·q 2n+1
x 1x 2x 3…x 2n =q ·q 2·q 3…q 2n =q1+2+3+…+2n
=q
2n(1+2n)
2
=q n (2n +1) =2n
1
,求通项公 2
【例3】 等比数列{an }中,(1)已知a 2=4,a 5=-
式;(2)已知a 3·a 4·a 5=8,求a 2a 3a 4a 5a 6的值.
1
解 (1)a5=a 2q 5-2 ∴q =-
2
11
∴a n =a 2q n -2=4(-) n -2=(-) n -4
22 23
(2)∵a 3·a 5=a 4 a3·a 4·a 5=a 4=8
∴a 4=2
又a 2a 6=a 3a 5=a 24∴a 2a 3a 4a 5a 6=a =32
5
4
【例4】 已知a >0,b >0且a ≠b ,在a ,b 之间插入n 个正数x 1,x 2,…,x n ,使得a ,x 1,x 2,…,x n ,b 成等比数列,求
a +b 证x 1x 2…x n <.
2
证明 设这n +2个数所成数列的公比为q ,则b=aqn+1
∴q n +1=
b a
2
n
n +12
∴x 1x 2…x n =aqaq …aq =aq
=ab <
a +b 2
【例5】 设a 、b 、c 、d 成等比数列,求证:(b-c) 2+(c-a) 2+(d-b) 2=(a-d) 2.
证法一 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列
∴
a b c == b c d
∴b 2=ac ,c 2=bd ,ad =bc
∴左边=b2-2bc +c 2+c 2-2ac +a 2+d 2-2bd +b 2 =2(b2-ac) +2(c2-bd) +(a2-2bc +d 2)
=a 2-2ad +d 2 =(a-d) 2=右边
证毕.
证法二 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列,设其公比为q ,则: b =aq ,c =aq 2,d=aq3
∴左边=(aq-aq 2) 2+(aq2-a) 2+(aq3-aq) 2 =a 2-2a 2q 3+a 2q 6 =(a-aq 3) 2 =(a-d) 2=右边
证毕.
说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目.证法一是抓住了求证式中右边没有b 、c 的特点,走的是利用等比的条件消去左边式中的b 、c 的路子.证法二则是把a 、b 、c 、d 统一化成等比数列的基本元素a 、q 去解决的.证法二稍微麻烦些,但它所用的统一成基本元素的方法,却较证法一的方法具有普遍性.
【例6】 求数列的通项公式:
(1){an }中,a 1=2,a n+1=3a n +2
(2){an }中,a 1=2,a 2=5,且a n+2-3a n+1+2a n =0 思路:转化为等比数列.
解 (1)an+1=3a n +2⇒a n+1+1=3(an +1)
∴{an +1}是等比数列 ∴a n +1=3·3n-1 ∴a n =3n -1
(2)an+2-3a n+1+2a n =0⇒a n+2-a n+1=2(an+1-a n )
∴{an+1-a n }是等比数列,即 a n+1-a n =(a2-a 1) ·2n-1=3·2n-1
再注意到a 2-a 1=3,a 3-a 2=3·21,a 4-a 3=3·22,…,a n -a n-1=3·2n-2,
这些等式相加,即可以得到
a n =3[1+2+2+…+2
2n-2
2n -1-1
]=3·=3(2n -1-1)
2-1
说明 解题的关键是发现一个等比数列,即化生疏为已知.(1)中发现{an +1}是等比数列,(2)中发现{an+1-a n }是等比数列,这也是通常说的化归思想的一种体现.
22
【例7】 若实数a 1、a 2、a 3、a 4都不为零,且满足(a1+a 22)a 4-2a 2
2
2
23
(a1+a 3)a 4+a +a =0求证:a 1、a 2、a 3成等比数列,且公比为a 4.
证 ∵a 1、a 2、a 3、a 4均为不为零的实数
2222∴(a1+a 22)x -2a 2(a1+a 3)x +a 2+a 3=0为实系数一元二次方程2222等式(a1+a 2)a -2a (a+a )a +a +a 24213423=0说明上述方程有实数根a 4.
∴上述方程的判别式Δ≥0,即
222[-2a 2(a1+a 3)]2-4(a1+a 22)(a2+a 3) 2=-4(a22-a 1a 3) ≥02∴(a22-a 1a 3) ≤0
又∵a 1、a 2、a 3为实数
2∴(a22-a 1a 3) ≥0
必有a -a 1a 3=0即a =a 1a 3
因而a 1、a 2、a 3成等比数列
2
222
2a 2(a 1+a 3) a 2(a 1+a 3) a 2
又∵a 4==2=2
a 2(a 1+a 2) a +a a 12113
∴a 4即为等比数列a 1、a 2、a 3的公比.
【例8】 若a 、b 、c 成等差数列,且a +1、b 、c 与a 、b 、c +2都成等
比数列,求b 的值.
解 设a 、b 、c 分别为b -d 、b 、b +d ,由已知b -d +1、b 、b +d 与b -d 、b 、b +d +2都成等比数列,有
2⎧⎪b =(b-d +1)(b+d) ⎨2⎪⎩b =(b-d)(b+d +2)
①②
整理,得
222⎧⎪b =b -d +b +d
⎨222
⎪⎩b =b -d +2b -2d
∴b +d=2b-2d 即b=3d 代入①,得
9d 2=(3d-d +1)(3d+d) 9d 2=(2d+1) ·4d 解之,得d=4或d=0(舍) ∴b=12
【例9】 已知等差数列{an }的公差和等比数列{bn }的公比都是d ,又知d ≠1,且a 4=b4,a 10=b10:
(1)求a 1与d 的值; (2)b16是不是{an }中的项? 思路:运用通项公式列方程
3
⎧⎧a 4=b 4⎪a 1+3d =a 1d
解 (1)由⎨⇒⎨9
a =b ⎪10⎩10⎩a 1+9d =a 1d
3
⎧⎪a 1(1-d ) =-3d ⇒⎨9
⎪a (1-d ) =-9d ⎩1
⇒d 6+d 3-2=0⇒d 1=1(舍) 或d 2=-2∴a 1=-d =2
d =-2
(2)∵b 16=b1·d 15=-32b 1
且a 4=a 1+3d =-22=b 4b 4=b 1·d 3=-2b 1=-22 ∴b 1=a 1=2
∴b 16=-32b 1=-32a 1,如果b 16是{an }中的第k 项,则 -32a 1=a1+(k-1)d
∴(k-1)d=-33a 1=33d
∴k=34即b 16是{an }中的第34项.
121
【例10】 设{an }是等差数列,b n =() a n ,已知b 1+b 2+b 3=,
28
1
b 1b 2b 3=,求等差数列的通项.
8
解 设等差数列{an }的公差为d ,则a n =a1+(n-1)d
1a +(n -1) d
∴b n =() 1
2
1a 11a 1+2d12(a1+d)2
b 1b 3=() ·() =() b 2
222
111由b 1b 2b 3=,解得b 3=,解得b =,代入已知条件22
88211⎧⎧
b b b =b b =12313⎪⎪⎪⎪84
整理得⎨⎨
⎪b +b +b =21⎪b +b =17
233⎪⎪88⎩1⎩1
解这个方程组,得
b 1=2,b 3=
11
或b 1=,b 3=2 88
∴a 1=-1,d=2或a 1=3,d=-2
∴当a 1=-1,d=2时,a n =a1+(n-1)d=2n-3 当a 1=3,d=2时,a n =a1+(n-1)d=5-2n
【例11】 三个数成等比数列,若第二个数加4就成等差数列,再把这
个等差数列的第3项加32又成等比数列,求这三个数.
解法一 按等比数列设三个数,设原数列为a ,aq ,aq 2 由已知:a ,aq +4,aq 2成等差数列 即:2(aq+4)=a+aq 2 ①
a ,aq +4,aq 2+32成等比数列 即:(aq+4) 2=a(aq2+32)
⇒aq +2=4a ②
2⎧
⎧a =2⎪a =
9①,②两式联立解得:⎨或⎨
q =3⎩⎪ ⎩q =-521050
∴这三数为:2,6,18或,-,.
999
解法二 按等差数列设三个数,设原数列为b -d ,b -4,b +d
由已知:三个数成等比数列 即:(b-4) 2=(b-d)(b+d)
⇒8b -d 2=16
b -d ,b ,b +d +32成等比数列 即b 2=(b-d)(b+d +32)
①
⇒32b -d 2-32d =0
26⎧b =⎪⎪9⎧b =10
①、②两式联立,解得:⎨或⎨
8⎩d =8 ⎪d =⎪3⎩
21050
∴三数为,-,或2,6,18.
999
②
解法三 任意设三个未知数,设原数列为a 1,a 2,a 3 由已知:a 1,a 2,a 3成等比数列
得:a 22=a 1a 3
a 1,a 2+4,a 3成等差数列 得:2(a2+4)=a1+a 3 ②
a 1,a 2+4,a 3+32成等比数列
①
得:(a2+4) 2=a1(a3+32) ③
2⎧
⎪a 1=9⎪
10⎪
①、②、③式联立,解得:⎨a 2=-
9⎪
50⎪a =3⎪9⎩
⎧a 1=2
⎪
或⎨a 2=6 ⎪a =18⎩3
说明 将三个成等差数列的数设为a -d ,a ,a +d ;将三个成
a
等比数列的数设为a ,aq ,aq 2(或,a ,aq) 是一种常用技巧,可起到
q
简化计算过程的作用.
【例12】 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.
分析 本题有三种设未知数的方法
方法一 设前三个数为a -d ,a ,a +d ,则第四个数由已知条
(a +d ) 2
件可推得:
a
方法二 设后三个数为b ,bq ,bq 2,则第一个数由已知条件推得为2b -bq .
方法三 设第一个数与第二个数分别为x ,y ,则第三、第四个数依次为12-y ,16-x .
由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数,从而解出所求的四个数,
(a +d ) 2
解法一 设前三个数为a -d ,a ,a +d ,则第四个数为.
a
⎧(a +d ) 2
=16⎪a -d +
依题意,有⎨a
⎪a +(a+d) =12⎩
⎧a 2=9⎧a 1=4
解方程组得:⎨或⎨
d =4d =-6⎩1⎩2
所求四个数为:0,4,8,16或15,9,3,1.
解法二 设后三个数为:b ,bq ,bq 2,则第一个数为:2b -bq
⎧2b -bq +bq 2=16
依题意有:⎨
⎩b +bq =12
⎧b 2=9
⎧b 1=4⎪
解方程组得:⎨ 或⎨1
q =2q =⎩1⎪⎩23
所求四个数为:0,4,8,16或15,9,3,1.
解法三 设四个数依次为x ,y ,12-y ,16-x .
⎧x +(12-y) =2y
依题意有⎨ 2
⎩y ·(16-x) =(12-y)
⎧x 1=0⎧x 2=15
解方程组得:⎨或⎨
y =4y =9⎩1⎩2
这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
【例13】 已知三个数成等差数列,其和为126;另外三个数成等比数列,把两个数列的对应项依次相加,分别得到85,76,84.求这两个数列.
解 设成等差数列的三个数为b -d ,b ,b +d ,由已知,b -d +b +b +d=126 ∴b=42
这三个数可写成42-d ,42,42+d .
再设另三个数为a ,aq ,aq 2.由题设,得
⎧a +42-d =85⎪
⎨ap +42=76
⎪2
⎩aq +42+d =84⎧a -d =43⎪
整理,得 ⎨aq =34
⎪2
⎩aq +d =42
解这个方程组,得 a 1=17或a 2=68
当a=17时,q=2,d=-26
①② ③
1
当a =68时,q =,d =25
2
从而得到:成等比数列的三个数为17,34,68,此时成等差的三个数为68,42,16;或者成等比的三个数为68,34,17,此时成等差的三个数为17,
42,67.
【例14】 已知在数列{an }中,a 1、a 2、a 3成等差数列,a 2、a 3、a 4成等比数列,a 3、a 4、a 5的倒数成等差数列,证明:a 1、a 3、a 5成等比数列.
证明 由已知,有 2a 2=a1+a 3 ①
a 23=a 2·a 4211=+a 4a 3a 5
2a 3·a 5
由③,得a 4=
a 3+a 5由①,得a 2=
a 1+a 3
代入②,得 2a 1+a 32a 3·a 52a 3=·
2a 3+a 5
a 5(a1+a 2)
a 3+a 5
②③
整理,得a 3=
即 a 3(a3+a 5)=a5(a1+a 3)
a 23+a 3a 5=a 1a 5+a 3a 5∴a 23=a 1·a 5
所以a 1、a 3、a 5成等比数列.
【例15】 已知(b-c)log m x +(c-a)log m y +(a-b)log m z=0.
(1)设a ,b ,c 依次成等差数列,且公差不为零,求证:x ,y ,z 成等比数列.
(2)设正数x ,y ,z 依次成等比数列,且公比不为1,求证:a ,b ,c 成等差数列.
证明 (1)∵a ,b ,c 成等差数列,且公差d ≠0 ∴b -c=a-b=-d ,c -a=2d
代入已知条件,得:-d(logm x -2log m y +log m z)=0 ∴log m x +log m z=2logm y
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∵x ,y ,z 均为正数
∴x ,y ,z 成等比数列
(2)∵x ,y ,z 成等比数列且公比q ≠1
∴y=xq,z=xq2代入已知条件得:
(b-c)log m x +(c-a)log m xq +(a-b)log m xq 2=0
变形、整理得:(c+a -2b)log m q=0
∵q ≠1 ∴log m q ≠0
∴c +a -2b=0 即2b=a+c
即a ,b ,c 成等差数列
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