2016年广东省六校联盟高考数学模拟试卷(理科)(a卷)(解析版)

2017年高考数学理科模拟试卷（一）（8、9）

一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

1．如果复数（2+ai ）i （a ∈R ）的实部与虚部互为相反数，则a 的值等于（）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．22．下列命题中，是真命题的是（）A ．∃x 0∈R ，e x0≤0

B ．∀x ∈R ，2x ＞x 2

C ．已知a ，b 为实数，则a +b=0

的充要条件是=

﹣1D ．已知a ，b 为实数，则a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件

3．在等比数列{a n }中，首项a 1=1，且4a 3，2a 4，a 5成等差数列，若数列{a n }的前n 项之积为T n ，则T 10的值为（）A ．29﹣1B ．236C ．210﹣1D ．2454．在平面直角坐标系中，不等式组A ．

B ．8

C ．

表示的平面区域的面积是（D ．4，将函数

的图象向左平移m 个单）

）

5．定义行列式运算：

位（m ＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（A ．

B

．

C ．

D ．

6．已知边长为的菱形ABCD 中，∠BAD=60°，沿对角线BD 折成二面角A ﹣BD ﹣C 为120°的四面体ABCD ，则四面体的外接球的表面积为（）A ．25πB ．26πC ．27πD ．28π7．利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a 和b ，则方程（A ．

）B ．

C ．

D ．

有实根的概率为

8．把1，2，3，…，6这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰先增后减，则这样的数列共有多少个？（）A ．31B ．30C ．28D ．32

9．某程序框图如图所示，现将输出（x ，y ）值依次记为：（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）…若程序运行中输出的一个数组是（x ，﹣10）则数组中的x=（

）

A ．32B ．24C ．18D ．16

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）

A ．B ．C ．D ．

的左、右焦点，过点F 2作渐近线的垂线，垂足

11．已知F 1、F 2分别是双曲线C ：

为点A ，若，且点B 在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆内，则C 的离心率取值范围为（）A ．B ．（2，+∞）C ．（1，2）D

．

12．已知函数f （x ）=ex （x ﹣ae x ）恰有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），则a 的取值范围是（）A ．（0，）

B ．（1，3）C ．（，3）

D ．（，1）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知n 为正偶数，且（x 2﹣

）n 的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数

是______（用数字作答）

14．某校在一次期末考试中，全校学生的数学成绩都介于60分到140分之间（满分150分），为了估计该校学生的数学考试情况，从该校2000名学生的数学成绩中随机抽取50名学生的数学成绩，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[60，70），第二组[70，80），…，第八组[130，140]．如图是按照上述分组得到的频率分布直方图的一部分．估计该校2000名学生这次考试的数学成绩的平均分为______．15．已知AD 是△ABC 的中线，=λ+μ（λ，μ∈R ），∠A=120°，

•=﹣2，则||的最小值是______．

16．已知正整数a 1，a 2，a 3，…，a 18满足a 1＜a 2＜…＜a 18，a 1+a 2+a 3+…+a 18=2011，则a 9的最大值为______．

三、解答题：本大题6小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且f （C ）=1，求解：（I ）由三角函数公式化简可得：f （x ）=由

∴函数f （x ）的单调递增区间为（II ）∵f （C ）=+sin （2x +∴

或

）=1，∴sin （2x

+

）=，

，

可得

；

的取值范围．

），

sin2x +（1+cos2x ）=+sin （2x +

，k ∈Z ，∴结合三角形内角的范围可

由余弦定理得c 2=a2+b 2﹣ab ，∴

，∵△ABC 为锐角三角形，∴

，

∴∴

由正弦定理得

18．某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS 系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红包总金额数如表

所示：手机系统一二

三

四五

253209安卓系统（元）

IOS 系统（元）431897

（1）如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”，否则为“咻得少”，请判断手机系统与咻得红包总金额的多少是否有关？

（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以X 表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望E （X ）．下面的临界值表供参考：

0.100.050.0250.0100.0050.001P

（

K 2≥k ）0.15

k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828独立性检验统计量

，其中n=a+b +c +d ．

解：（1）根据题意列出2×2列联表如下：咻得多少

咻得多咻得少

手机系统安卓32IOS 23合计55K 2=

=0.4＜2.706，

合计5

510

所以没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关．（2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，P （X=0）=

=

；P （X=1）=

=；P （X=2）=

=

故X 的分布列为：P

∴数学期望E （X ），E （X ）=0×

+1×+2×

=0.8．

19．如图1，直角梯形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，点G 在EF 上，沿EF 将梯形AEFD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ，如图2．

（Ⅰ）当AG +GC 最小时，求证：BD ⊥CG ；（Ⅱ）当2V B ﹣ADGE =VD ﹣GBCF 时，求二面角D ﹣BG ﹣C 平面角的余弦值．

（Ⅰ）证明：∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，∴EF ∥BC ，又∠ABC=90°，∴AE ⊥EF ，∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，∴AE ⊥平面EBCF ，AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，

如图建立空间坐标系E ﹣xyz ．翻折前，连结AC 交EF 于点G ，此时点G 使得AG +GC 最小．EG=BC=2，又∵EA=EB=2．则A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0），D （0，2，2），E （0，0，0），G （0，2，0），∴=（﹣2，2，2），∴=（﹣2，2，2）（﹣2，﹣2，0）=0，∴BD ⊥CG ．…（Ⅱ）：设EG=k，∵AD ∥平面EFCB ，

∴点D 到平面EFCB 的距离为即为点A 到平面EFCB 的距离．

∵∴又

∵2V B ﹣ADGE =VD ﹣GBCF ，∴

=

=

[（3﹣k ）+4]×2=7﹣k ，

=

，

，，

=（﹣2，﹣2，0）

∴k=1即EG=1…

设平面DBG 的法向量为，∵G （0，1，0），∴，=（﹣2，2，2），则

，即

…

取x=1，则y=2，z=﹣1，∴面BCG

的一个法向量为则cos ＜

＞=

…

由于所求二面角D ﹣BF ﹣C 的平面角为锐角，所以此二面角平面角的余弦值为

…

20．已知点C 为圆（x +1）2+y 2=8的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A （1，0）和AP 上的点M ，满足•=0

，

=2．（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k 的直线l 与圆x 2+y 2=1相切，直线l 与（Ⅰ）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且≤

•

≤时，求k 的取值范围．

，

的椭圆，

，

解：（I ）由题意知MQ 中线段AP 的垂直平分线，∴

∴点Q 的轨迹是以点C ，A 为焦点，焦距为2

，长轴为故点Q 的轨迹方程是

．

（II ）设直线l ：y=kx+b ，F （x 1，y 1），H （x 2，y 2）直线l 与圆x 2+y 2=1

相切

联立

（1+2k 2），x 2+4kbx +2b 2﹣2=0，

△=16k2b 2﹣4（1+2k 2）2（b 2﹣1）=8（2k 2﹣b 2+1）=8k2＞0，可得k ≠0，∴

，

=

=

∴

为所求．

，

=

21．已知函数f （x ）=x2﹣（a +2）x +alnx ，其中常数a ＞0．（Ⅰ）当a ＞2时，求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）设定义在D 上的函数y=h（x ）在点P （x 0，h （x 0））处的切线方程为l ：y=g（x ），若

＞0在D 内恒成立，则称P 为函数y=h（x ）的“类对称点”．当a=4

时，试问y=f（x ）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），∵，

∴

令f ′（x ）＞0，即

…∵a ＞2，∴

，∵x ＞0，∴0＜x ＜1或

…

，…

，

所以函数f （x ）的单调递增区间是（0，1），（Ⅱ）当a=4

时，

所以在点P 处的切线方程为

…

若函数存在“类对称点”P （x 0，f （x 0）），则等价于当0＜x ＜x 0时，f （x ）＜g （x ），当x ＞x 0时，f （x ）＞g （x ）恒成立．…

①当0＜x ＜x 0时，f （x ）＜g （x ）恒成立，等价于

即当0＜x ＜x 0时，

恒成立，

恒成立，

令，则φ（x 0）=0，…要使φ（x 0）＜0在0＜x ＜x 0恒成立，只要φ（x ）在（0，x 0）单调递增即可．又∵∴

，即

．…

，…

②当x ＞x 0时，f （x ）＞g （x ）恒成立时，．…∴．…所以y=f（x ）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…

23．已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sin θ．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为

（t 为参数）．

（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）若直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |=3，求直线l 的斜率．解：（Ⅰ）∵曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sin θ，∴ρ2=2ρcos θ﹣4ρsin θ，

∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2x﹣4y ，即（x ﹣1）2+（y +2）2=5，∵直线l 过点（1，﹣1），且该点到圆心的距离为，∴直线l 与曲线C 相交．

（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 过圆心，|AB |=2≠3，因此直线l 必有斜率，设其方程为y +1=k（x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k ﹣1=0，圆心到直线l 的距离解得k=±1，

∴直线l 的斜率为±1．

=

，

1、解：由复数（2+ai ）i （a ∈R ）的实部与虚部互为相反数，可得﹣a +2=0．故选D ．

2．解：A ．∵∀x ∈R ，e x ＞0，∴∃x 0∈R ，e x0≤0为假命题，B ．当x=2时，2x =x2，则∀x ∈R ，2x ＞x 2不成立，故B 为假命题．C ．当a=b=0时，满足a +b=0但=﹣1不成立，故C 为假命题，D ．当a ＞1，b ＞1时，ab ＞1成立，即a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件，故D 为真命题，故选：D

3．解：在等比数列{a n }中，首项a 1=1，且4a 3，2a 4，a 5成等差数列，∴4a 4=4a3+a 5，

﹣

∴4q 3=4q2+q 4，解得q=2，∴a n =2n 1，∵数列{a n }的前n 项之积为T n ，

∴T 10=20×2×22×24×25×26×27×28×29=20+1+2+3+4+5+6+7+8+9=245．故选：D ．4．解：因为不等式|y ﹣2|≤x ≤2等价于

，它的可行域为：

可行域是三角形，由得交点A （2，4），C 的坐标由解得，为（2，0），B

的坐标（0，2），可行域三角形的面积为：×4×2=4．故选：D ．5．解：f （x ）

=得f （x +m ）=2sin（x +m ﹣为偶函数．故选A ．

6．解：如图所示，∠AFC=120°，∠AFE=60°，

AF=

=3，∴AE=

，

EF=﹣x ）2，

=

sinx ﹣cosx=2sin（x ﹣），由m ﹣

=

），图象向左平移m （m ＞0）个单位，

时，函数

+k π，k ∈Z ，则当m 取得最小值

设OO ′=x，则∵O ′B=2，O ′F=1，∴由勾股定理可得R 2=x2+4=（+1）2+（∴R 2=7，∴四面体的外接球的表面积为4πR 2=28π，故选：D ．

7．

解：由题意知本题是一个几何概型，

化为x 2+2ax +b=0，方程有实根，△≥0即4a 2﹣4b ≥0∴b ≤a

2

∴方程有实根的概率为∫01a 2d a ==．故选B ．

8．解：该数列恰先增后减，则数字6一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，当6前有1个数字时，有C 51=5种，当6前有2个数字时，有C 52=10种，当6前有3个数字时，有C 53=10种，当6前有4个数字时，有C 54=5种，

根据分类计数原理，共有5+10+10+5=30种，故选：B ．9．解：程序在运行过程中各变量值如下表：输出结果n x y 循环前：110第1次：（1，0）32﹣2第2次：（2，﹣2）54﹣4第3次：（4，﹣4）78﹣6第4次：（8，﹣6）916﹣8第5次：（16，﹣8）1132﹣10第6次：（32，﹣10）则数组中的x=32故选：A ．

10．解：由已知中的三视图，可得该几何体是：一个三棱柱挖掉一个三棱锥，所得的组合体，

其直观图如下图所示：

∵三棱柱的体积V=故该几何体的体积为2

﹣

=2=

，挖去的棱锥体积V=，故选：C

=，

11．解：设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），一条渐近线方程为y=x ，过点F 2与渐近线垂直的直线方程为y=﹣（x ﹣c ），联立=2（m ﹣

，n ﹣

，解得A （），可得m=

，

），设B （m ，n ），由﹣，n=

，即B （

﹣，

，可得（

﹣c ，

）

），由点B 在以F 1

为圆心，|OF 1|为半径的圆内，可得|BF 1|＜c ，可得（

+a 2＜c 2，即为

﹣+c ）2+（

）2＜c 2，化为

．故选：A ．

+a 2＜c 2，即c 2＞5a 2，由e=，可得e ＞

12．解：∵函数f （x ）=ex （x ﹣ae x ），∴f ′（x ）=（x +1﹣2a •e x ）e x ，

由于函数f （x ）的两个极值点为x 1，x 2，即x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两不等实根，即方程x +1﹣2ae x =0，且a ≠0，∴

=ex ；设y 1=

（a ≠0），y 2=ex ，

在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示；

要使这两个函数有2个不同的交点，应满足所以a 的取值范围是（0，）．故选：A ．13

．

，解得0＜a ＜，

解：∵展开式中中间项的二项式系数最大∴展开式共7项

当r=3时是第4项

故答案为

∴n=6展开式的通项为所以第4

项的系数是

14．120，130）的频率为

1﹣（0.004×10+0.012×10+0.016×10+0.03×10+0.02×10+0.006×10+0.004×10）=1﹣0.92=0.08；所以估计该校全体学生的数学平均成绩为

65×0.04+75×0.12+85×0.16+95×0.3+105×0.2+115×0.06+125×0.08+135×0.04=97，所以该校的数学平均成绩为97；故答案为：97

15．AC=b，AB=c，又∠A=120°，

•=﹣2，则bccos120°=﹣2，即有bc=4，由AD 是△ABC

的中线，则有即有|

|2=（

+

+2

=（

+

），

）=（b 2+c 2﹣4）≥（2bc ﹣4）=×（8﹣4）=1．

当且仅当b=c时||的最小值是为1，故答案为：1．

16a 1，a 2，a 3，…，a 18满足a 1＜a 2＜…＜a 18，a 1+a 2+a 3+…+a 18=2011，要求a 9的最大值，必须要求a 1到a 8尽可能的取得越小越好，a 10到a 18与a 9越接近越好．当1≤n ≤8时，取a n =n，则a 1+…+a 8=10a 9+

=36．当9≤n ≤18时，不妨取a n =a9+n ﹣9，则

≤2011﹣36．解得a 9≤193．因此a 9的最大值为193．故答案为：193．