基本初等函数
函数的概念
1.函数的概念:
设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f (x ) 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。记作:y =f (x ) ,x ∈A 。其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域。 注意:(1)“y =f (x ) ”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y =g(x ) ”;
(2)函数符号“y =f (x ) ”中的f (x ) 表示与x 对应的函数值,一个数,而不是f 乘x 。 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 3.两个函数的相等:
函数的定义含有三个要素,即定义域A 、值域C 和对应法则f 。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。 4.区间
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示。 5.映射
一般地,设A 、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f :A →B ”。
映射和函数的区别:映射是两个集合之间的对应关系,集合A 所有元素在B 中有元素对应,集合B 中的元素在A 中不一定有对应的元素。但是函数,自变量x 所有的值在因变量y 里面都有对应,而因变量y 的所有元素在自变量x 中也有对应; 6.分段函数
若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数又称分段函数; 7.复合函数
若y =f (u),u=g(x ), x ∈(a ,b ) ,u ∈(m,n),那么y =f [g(x )]称为复合函数,u 称为中间变量,它的取值范围是g(x ) 的值域。
典例解析
题型1:函数概念
⎧2-x , x ∈(-∞,1]1
1. 设函数f (x )=⎨,则满足f (x )=的x 值为 。
4log x, x ∈(1,+∞) ⎩81
x -1
⎧⎪2e , x <2,
则f (f (2))的值为( ) 2. 设f (x ) =⎨2
⎪⎩log 3(x -1) ,x ≥2.
A .0 B .1 C .2 D .3
题型2:判断两个函数是否相同
1.试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1)f (x )=x 2,g (x )=x 3;
(2)f (x )=
|x |
⎧x ≥0, x ,g (x )=⎨1⎩-1x
(3)f (x )=2n x 2n +1,g (x )=(2n x )2n -
1(n ∈N *); (4)f (x )=x
x +1,g (x )=x 2+x ;
(5)f (x )=x 2-2x -1,g (t )=t 2-2t -1。
题型3:函数定义域问题
1. 求下述函数的定义域:
f (x ) =2x -x 2
(1)lg(2x -1)
+(3-2x ) 0;
⎧⎪
2x -x 2≥0解:(1) ⎪⎨2x -1>0
x -1≠1
,解得函数定义域为(1, 1) (1, 3) (3, 2⎪2222].
⎪⎩3-2x ≠0
2. 已知函数f (x )定义域为(0,2) ,求下列函数的定义域:
(1) f (x 2
) +23;
(2)y =2
解:(1)由0<x 2
<2, 得
3. 已知函数f (x )=
x -1
ax 2+ax -3
的定义域是R ,则实数a 的取值范围是(A .a >
13
B .-12<a ≤0
C .-12<a <0
D .a ≤
13
解:由a =0或⎧⎨a ≠0,
⎩
Δ=a 2
-4a ⨯(-3)
例5.求下列函数的值域:
(1)y =3x 2
-x +2;(2
)y =;(3)y =
3x +1
x -2
;
)
12323
y =3x 2-x +2=3(x -) 2+≥,
61212
23
∴y =3x 2-x +2的值域为[, +∞) 。
12
解:(1)(配方法)
改题:求函数y =3x 2-x +2,x ∈[1,3]的值域。
解:(利用函数的单调性)函数y =3x 2-x +2在x ∈[1,3]上单调增, ∴当x =1时,原函数有最小值为4;当x =3时,原函数有最大值为26。 ∴函数y =3x 2-x +2,x ∈[1,3]的值域为[4,26]。
(2)求复合函数的值域:
设μ=-x -6x -5(μ≥0)
,则原函数可化为y 又∵μ=-x 2-6x -5=-(x +3) 2+4≤4, ∴0≤μ≤
42
。
[0,2],
∴y =的值域为[0,2]。
(3)(法一)反函数法: y =
3x +12x +1
的反函数为y =,其定义域为{x ∈R |x ≠3},
x -3x -2
∴原函数y =
3x +1
的值域为{y ∈R |y ≠3}。 x -2
3x +13(x -2) +77
, ==3+
x -2x -2x -2
(法二)分离变量法:y =∵
77
≠0,∴3+≠3, x -2x -2
∴函数y =
3x +1
的值域为{y ∈R |y ≠3}。 x -2
1x
1
,求f (x ) ; x 3
题型5:函数解析式
3
例6.(1)已知f (x +) =x +
(2)已知f (+1) =lg x ,求f (x ) ;
3解:(1)∵f (x +) =x +
2
x
1x 1131=(x +) -3(x +) , 3x x x
∴f (x ) =x -3x (x ≥2或x ≤-2)。
3
22
+1=t (t >1),则x =, x t -122
(x >1) 。 ∴f (t ) =lg ,f (x ) =lg
t -1x -1
(2)令
题型6:函数应用
例1.某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆。租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元。
(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解:(1)当每辆车的月租金定为3600元时,未租出的车辆数为:
3600-3000
=12,所以这时租出了88辆车。
50
(2)设每辆车的月租金定为x 元,则租赁公司的月收益为: f (x )=(100-
x -3000x -3000
)(x -150)-×50,
5050
x 212
整理得:f (x )=-+162x -21000=-(x -4050)+307050。
5050
所以,当x =4050时,f (x )最大,其最大值为f (4050)=307050。
即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为307050元.
函数的性质
1.奇偶性
(1)定义:如果对于函数f (x ) 定义域内的任意x 都有f (-x )=-f (x ) ,则称f (x ) 为奇函数;如果对于函数f (x ) 定义域内的任意x 都有f (-x )=f (x ) ,则称f (x ) 为偶函数。 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x ,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:
1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○
2 确定f (-x ) 与f (x ) 的关系; ○
3 作出相应结论: ○
若f (-x ) = f (x ) 或 f (-x ) -f (x ) = 0,则f (x ) 是偶函数; 若f (-x ) =-f (x ) 或 f (-x ) +f (x ) = 0,则f (x ) 是奇函数。 (3)简单性质:
①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称;
②设f (x ) ,g (x ) 的定义域分别是D 1, D 2,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇 2.单调性
(1)定义:一般地,设函数y =f (x ) 的定义域为I , 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1f (x 2) ),那么就说f (x ) 在区间D 上是增函数(减函数);注意:
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○
2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1
(2)如果函数y =f (x ) 在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y =f (x ) 在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x ) 的单调区间。
(3)设复合函数y = f[g(x )],其中u =g(x ) , A 是y = f[g(x )]定义域的某个区间,B 是映射g : x →u =g(x ) 的象集:
①若u =g(x ) 在 A 上是增(或减)函数,y = f(u ) 在B 上也是增(或减)函数,则函数y = f[g(x )]在A 上是增函数;
②若u =g(x ) 在A 上是增(或减)函数,而y = f(u ) 在B 上是减(或增)函数,则函数y = f[g(x )]在A 上是减函数。
(4)判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f (x ) 在给定的区间D 上的单调性的一般步骤:
1 任取x 1,x 2∈D ,且x 1
2 作差f (x 1) -f (x 2) ; ○
3 变形(通常是因式分解和配方)○; 4 定号(即判断差f (x 1) -f (x 2) 的正负)○;
5 下结论(即指出函数f (x ) 在给定的区间D 上的单调性)○。 (5)简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内:
增函数f (x ) +增函数g (x ) 是增函数;减函数f (x ) +减函数g (x ) 是减函数; 增函数f (x ) -减函数g (x ) 是增函数;减函数f (x ) -增函数g (x ) 是减函数。 3.最值
(1)定义:
最大值:一般地,设函数y =f (x ) 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:①对于任意的x ∈I ,都有f (x ) ≤M ;②存在x 0∈I ,使得f (x 0) = M。那么,称M 是函数y =f (x ) 的最大值。
最小值:一般地,设函数y =f (x ) 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:①对于任意的x ∈I ,都有f (x ) ≥M ;②存在x 0∈I ,使得f (x 0) = M。那么,称M 是函数y =f (x ) 的最大值。 注意:
1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x 0∈I ,使得f (x 0) = M; ○
2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x ∈I ,都有f (x ) ○
≤M (f (x ) ≥M )。
(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; ○
2 利用图象求函数的最大(小)值; ○
3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○
如果函数y =f (x ) 在区间[a ,b ]上单调递增,在区间[b ,c ]上单调递减则函数y =f (x ) 在x =b 处有最大值f (b ) ; 4.周期性
(1)定义:如果存在一个非零常数T ,使得对于函数定义域内的任意x ,都有f (x+T)= f(x ) ,则称f (x ) 为周期函数;
(2)性质:①f (x+T)= f(x ) 常常写作f (x +
T T
) =f (x -), 若f (x ) 的周期中,存在一个最22
小的正数,则称它为f (x ) 的最小正周期;②若周期函数f (x ) 的周期为T ,则f (ωx ) (ω≠0)是周期函数,且周期为5. 例题
例1.讨论下述函数的奇偶性:
T |ω|
。
(1)f (x ) = 解:(1)函数定义域为R ,
x +1 先化简:f (x ) =+1=4x +4-x +1,显然f (x ) 为偶函数;从这可以看出,x
4
化简后再解决要容易得多。
例2.设函数f (x )在(-∞,+∞)内有定义,下列函数:①y =-|f (x )|;②y =xf (x 2);③y =-f (-x );④y =f (x )-f (-x )。
必为奇函数的有_____(要求填写正确答案的序号) 答案:②④;解析:y =(-x )f [(-x )2]=-xf (x 2)=-y ;y =f (-x )-f (x )=-y 。 点评:该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。 例3.设f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x ≥0时,f (x )=log 3(1+x ),则f (-2)=____ _。
答案:-1;解:因为x ≥0时,f (x )=log 3(1+x ),又f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),设x <0,所以f (x )=-f (-x )=-f (1-x ),所以f (-2)=-lo g 33=-1。 例4.已知定义在R 上的函数y = f (x ) 满足f (2+x )= f (2-x ) ,且f (x ) 是偶函数,当x ∈[0,2]时,f (x )=2x -1,求x ∈[-4,0]时f (x ) 的表达式。
解:由条件可以看出,应将区间[-4,0]分成两段考虑: ①若x ∈[-2,0],-x ∈[0,2], ∵f (x ) 为偶函数,
∴当x ∈[-2,0]时,f (x )= f(-x )=-2x -1,
②若x ∈[-4,-2) , ∴4+ x∈[0,2) ,
∵f (2+x )= f(2-x ) , ∴f (x )= f(4-x ) ,
∴f (x )= f(-x )= f[4-(-x )]= f(4+x )=2(x +4)-1=2x +7; 综上,f (x ) =⎨
⎧2x +7⎩-2x -1
(-4≤x ≤=2)
.
(-2
例4.(1)求函数y =log 0.7(x 2-3x +2) 的单调区间;
解:(1)函数的定义域为(-∞, 1) ⋃(2, +∞) ,
分解基本函数为y =log 0. 7t 、t =x 2-3x +2
显然y =log 0. 7t 在(0, +∞) 上是单调递减的,而t =x 2-3x +2在(-∞, 1), (2, +∞) 上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则:
所以函数y =log 0.7(x 2-3x +2) 在(-∞, 1), (2, +∞) 上分别单调递增、单调递减。 例5.已知偶函数f (x ) 在(0,+∞) 上为增函数,且f (2)=0,解不等式f [log 2(x 2+5x +4)]≥0。
解:∵f (2)=0,∴原不等式可化为f [log 2(x 2+5x +4)]≥f (2)。 又∵f (x ) 为偶函数,且f (x ) 在(0,+∞) 上为增函数, ∴f (x ) 在(-∞,0) 上为减函数且f (-2)=f (2)=0。 ∴不等式可化为 log 2(x 2+5x +4)≥2 ① 或 log 2(x 2+5x +4)≤-2 ② 由①得x 2+5x +4≥4,∴x ≤-5或x ≥0 ③ 由②得0<x 2+5x +4≤
1
得 4
④
-5--5+≤x <-4或-1<x ≤ 22由③④得原不等式的解集为
{x |x ≤-5或
-5--5+≤x ≤-4或-1<x ≤或x ≥0}。 22
基本初等函数
1.指数与对数运算
(1)根式的概念:
①定义:若一个数的n 次方等于a (n >1, 且n ∈N ) ,则这个数称a 的n 次方根。即若
*
x n =a ,则x 称a 的n 次方根n >1且n ∈N *) ,
1)当n 为奇数时,a 的n 次方根记作a ;
2)当n 为偶数时,负数a 没有n 次方根,而正数a 有两个n 次方根且互为相反数,记作±a (a >0) 。
②性质:1)(n a ) n =a ;2)当n 为奇数时,a =a ;
n
⎧a (a ≥0)
3)当n 为偶数时,a =|a |=⎨。
-a (a
(2).幂的有关概念
①规定:1)a =a ⋅a ⋅ ⋅a (n ∈N *;2)a =1(a ≠0) ; n 个
n
3)a
-p
1
=p (p ∈Q ,4)a n =a m (a >0, m 、n ∈N * 且n >1) 。 a
m
②性质:1)a r ⋅a s =a r +s (a >0, r 、s ∈Q ); 2)(a r ) s =a r ⋅s (a >0, r 、s ∈ Q ); 3)(a ⋅b ) r =a r ⋅b r (a >0, b >0, r ∈ Q )。 (注)上述性质对r 、s ∈R 均适用。 (3).对数的概念
①定义:如果a (a >0, 且a ≠1) 的b 次幂等于N ,就是a b =N ,那么数b 称以a 为底N 的对数,记作log a N =b , 其中a 称对数的底,N 称真数。
1)以10为底的对数称常用对数,log 10N 记作lg N ;
2)以无理数e (e =2. 71828 ) 为底的对数称自然对数,log e N ,记作ln N ; ②基本性质:
1)真数N 为正数(负数和零无对数);2)log a 1=0; 3)log a a =1;4)对数恒等式:a
log a N
=N 。
③运算性质:如果a >0, a ≠0, M >0, N >0, 则 1)log a (MN ) =log a M +log a N ; 2)log a
M
=log a M -log a N ; N
3)log a M n =n log a M (n ∈R )。 ④换底公式:log a N =
log m N
(a >0, a ≠0, m >0, m ≠1, N >0),
log m a
n
log a b 。 m
n
1)log a b ⋅log b a =1;2)log a m b =
2.指数函数与对数函数
(1)指数函数:
①定义:函数y =a (a >0, 且a ≠1) 称指数函数, 1)函数的定义域为R ;2)函数的值域为(0, +∞) ;
3)当01时函数为增函数。
x
②函数图像:
1)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限;
2)指数函数都以x 轴为渐近线(当01时,图象向右无限接近x 轴);
3)对于相同的a (a >0, 且a ≠1) ,函数y =a x 与y =a -x 的图象关于y 轴对称。 ③函数值的变化特征:
(2
①定义:函数
y =log a x (a >0, 且a ≠1
) 称对数函数, 1)函数的定义域为(0, +∞) ;2)函数的值域为R ;
3)当01时函数为增函数;
4)对数函数y =log a x 与指数函数y =a (a >0, 且a ≠1) 互为反函数。 ②函数图像:
1)对数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、四象限;
x
2)对数函数都以y 轴为渐近线(当01时,图象向下无限接近y 轴);
4)对于相同的a (a >0, 且a ≠1) ,函数y =log a x 与y =log 1x 的图象关于x 轴对称。
a
③函数值的变化特征:
典例解析
题型1:指数运算
211
--3-240.50.25
例1.(1)计算:[(3) 3-(5) +(0.008)3÷(0.02)2⨯(0.32)2]÷0.0625;
89
(2)化简:
a -8a b 4b +2ab +a
2
4313
2323
÷(a
-
23
23b a ⋅a 2-) ⨯。
3a a ⋅a
2
1
[1**********]254
解:(1)原式=) 3-() 2+() ÷50⨯]÷()
[1**********]
1
471421172
=[-+25⨯⨯]÷=(-+2) ⨯2=; 932995210
a [(a ) -(2b ) ](a ) +a ⋅(2b ) +(2b )
1
32
13
13
132
13
133
133
(2)原式=
÷
a -2b (a ⋅a )
⨯111 a
(a 2⋅a 3) 5
23
13132312
=a (a -2b ) ⨯
12
12
131313
a a -2b
13
13
⨯
a a
5616
=a ⨯a ⨯a =a 2。
13
例2.已知x +x
12
-
=3,求
x 2+x -2-2x +x
32
-32
的值。
-3
解:∵x +x
-
12
=3,
∴(x +x ) =9,
∴x +2+x -1=9,
∴x +x -1=7,
∴(x +x -1) 2=49,
∴x 2+x -2=47, 又∵x +x
∴32-3212-122=(x +x ) ⋅(x -1+x -1) =3⋅(7-1) =18, =47-2=3。 18-312-12x 2+x -2-2x +x 3
2-3
2-3
2例3.计算 (1)(lg2)+lg2⋅lg50+lg25;(2)(log32+log 92) ⋅(log43+log 83) ;
解:(1)原式=(lg2)2+(1+lg5)lg2+lg52=(lg2+lg5+1)lg2+2lg5 =(1+1)lg 2+2lg5=2(lg2+lg5) =2;
(2)原式=(lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3+) ⋅(+) =(+) ⋅(+ lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2
3lg 25lg35⋅=; 2lg36lg 24 =
题型3:指数、对数方程
例4.方程log 2(x -1) =2-log 2(x +1) 的解为。
解:考察对数运算。原方程变形为log 2(x -1) +log 2(x +1) =log 2(x -1) =2,即2
⎧x -1>0x 2-1=4,得x =±5。且⎨有x >1。从而结果为。
⎩x +1>0
x -1⎧⎪2e , x <2,则f (f (2))的值为( ) 例5.设f (x ) =⎨2⎪⎩log 3(x -1) ,x ≥2.
A .0 B .1 C .2 D .3
-1f (logx ) =x +x (a >0, 且a ≠1) 试求函数f (x ) 的单调区间。 a 例6.已知
解:令log a x =t ,则x =a t ,t ∈R 。
-t x -x 'f (t ) =a +a f (x ) =a +a 所以即,(x ∈R )。
因为f (-x )=f (x ) ,所以f (x ) 为偶函数,故只需讨论f (x ) 在[0,+∞)上的单调性。 任取x 1,x 2,且使0≤x 1≤x 2,则
f (x 2) -f (x 1)
=(a x 2+a -x 2) -(a x 1+a -x 1)
(a x 1-a x 2)(1-a x 1+x 2) =a x 1+x 2
x 1x 2x 1+x 2>1,(1)当a >1时,由0≤x 1≤x 2,有00,
即f (x ) 在[0,+∞]上单调递增。
(2)当0
(x 2) -f (x 1) >0,即f (x ) 在[0,+∞]上单调递增。
综合所述,[0,+∞]是f (x ) 的单调增区间,(-∞,0)是f (x ) 的单调区间。 题型6:对数函数的概念与性质
例7.函数y =log 2x -2的定义域是( )
A .(3, +∞) B .[3, +∞) C .(4, +∞) D .[4, +∞) 例8.当a >1时,函数y =loga x 和y =(1-a ) x 的图象只可能是( )
例8.已知函数f (x ) =log a (ax -x )(a >0, a ≠1为常数)
(1)求函数f (x ) 的定义域;
(2)若a =2,试根据单调性定义确定函数f (x ) 的单调性。
解:(1)由ax -x >0x
∵a >0,x ≥0 ∴⎧⎨x ≥0⇒x >1
⎩x
∴f (x ) 的定义域是x ∈(1
a 2, +∞) 。
(2)若a =2,则f (x ) =log 2(2x -x ) 设x 1>x 2>1
4 , 则
(2x 1-x 1) -(2x 2-x 2) =2(x 1-x 2) -(x 1-x 2) =(x 1-x 2)[2(x 1+x 2) -1]>0 ∴f (x 1) >f (x 2) 故f (x ) 为增函数。 (幂函数) 所以