二次函数答案

1、 学案P133（2012山东省青岛市，24，12）（12分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°……

PE QE 【解析】（1）要使PQ ⊥AB ，只要说明△PQE ∽△ACB ，所以= ，可得求t 值.

AB BC

（2）五边形PQBCD 的面积=梯形DEBC 的面积-△PEQ 的面积，易求梯形DEBC 的面积，求△PEQ 的面积，要

作EQ 边上高，利用△PME ∽△ABC 可求出高. （3）可先假设其存在，即S △PQE ：S 五边形PQBCD =1:29，根据（2）中关系代入计算，若得出结果与假设一致，则假设正确，反之，则假设不成立． 【答案】解：⑴如图①，在Rt △ABC 中，AC=6，BC=8，∴6+8=10. ∵D 、E 分别是AC 、AB 的中点.

1

∴AD=DC=3，AE=EB=5，DE ∥BC 且DE=BC =4,因为PQ ⊥AB ，∴∠PQB=∠C=90°，又DE ∥BC ，∴∠AED=

2∠B ，∴△PQE ∽△ACB ，∴

PE QE = . AB BC

4-t 2t-541

由题意得：PE=4-t,QE=2t-5,即解得t= .

10814

⑵过点P 作PM ⊥AB 于M ，由△PME ∽△ABC ，得S P Q =E

113

E Q ⋅P (5-⋅) 225

P M P E PM 4-t 3

. ∴==, 得PM=(4-t) ，∴

A C A B 6105

1339339339

（4+8）⨯3=18.∴y=18-(t 2-t +6)=-t 2+t +12 (2-. S t -梯形DCBE +=6⨯2510510510

⑶假设存在时刻t, 使S △PQE ：S 五边形PQBCD =1:29，

此时S

△PQE

=

13391

S 四边形BCDE . ∴t 2-t +6=⨯18，即2t 2-13t+18=0. ∴3051030

98133648

t 1=2,t2=(舍去). 当t=2时，PM=⨯，

（4-2）=，ME=⨯（4-2）=. EQ=5-2×2=1，MQ=ME+EQ=+1=

2555555136. . ∵PQ ·h=

h=2552、. （2012山东省荷泽市，10）

如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角形，其顶点为A （0，1），B （2，0），O （0，0），将三角板绕原点O 逆时针旋转90∘，得到△A 'B 'O .

(1)一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式 （2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的４倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（３）在（２）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质。

1

【解析】根据三角形的旋转确定抛物线三个点的坐标，利用待定系数法求函数的关系式，四边形PB ′A ′B 的面积是由三个三角形的面积拼接而成，列出四边形的面积公式，利用解方程的方法求出自变量x 的值，如果x 的值存在，这说明点P 是存在的，由P 点的位置可得出四边形是梯形，由两腰的相等关系，可以判断四边形是等腰梯形.

【答案】(1) ∆A 'B 'O 是由∆ABO 绕原点O 逆时针旋转90︒得到的，

又A (0,1),B (2,0),O (0,0)，∴A '(-1,0), B '(0,2).----------1分

设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0) ， 抛物线经过点A '、B '、B ， ⎧0=a -b +c ⎧a =-1⎪⎪

，解之得⎨b =1， ∴⎨2=c

⎪c =2⎪0=4a +2b +c

⎩⎩

∴满足条件的抛物线的解析式为y =-x 2+x +2.----------3分

（2） P 为第一象限内抛物线上的一动点，

设P (x , y ) ，则x >0, y >0，P 点坐标满足y =-x 2+x +2. 连结PB , PO , PB ',

∴S 四边形PB 'A 'B =S ∆B 'OA ' +S ∆P B 'O +S ∆P OB

2

B '

P

111 =⋅1⋅2+⋅2⋅x +⋅2⋅y

222A ' 22-1 O 2 1 =x +(-x +x +2) +1=-x +2x +3.----------5分

假设四边形PB 'A 'B 的面积是∆A 'B 'O 面积的4倍，则 -x 2+2x +3=4，

即x 2-2x +1=0，解之得x =1，此时y =-12+1+2=2，即P (1,2).----------7分 ∴存在点P (1,2)，使四边形PB 'A 'B 的面积是∆A 'B 'O 面积的4倍. ----------8分

（3）四边形PB 'A 'B 为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．

①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等. ----------10分

或用符号表示：

①∠B 'A 'B =∠PBA '或∠A 'B 'P =∠BPB '; ②PA '=B 'B ; ③B 'P //A 'B ; ④B 'A '=PB .----------10分 3、学案P134 13、（2012贵州毕节16分）如图，直线l 1经过点A （－1，0）--------- 【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 经过A （－1，0），B （3，0），C （0

，

⎧ a =⎪⎧ a -b +c =0⎪

2⎪

。∴

⎪- ∴⎨9a +3b +c =0

，解得⎪抛物线的解析式为：⎨b =⎪⎪c =⎩⎪c =⎪⎪⎩

1 A

（2）证明：设直线l 1的解析式为y =kx +b ，由直线l 1经过A （－1，0），C （0

，，得

∴

⎨

⎧⎧⎪k =⎪-k +b =0

，解得⎨，∴直线l 1的解析式为：y

=-

。

⎪⎪⎩

b =⎩b = 2

直线l 2经过B （3，0），C （0

，l 2解析式为：y

=

x 。

22，

x -1)-∴对称轴为x =1，D （1，0），顶点坐标为F （1

， ）。点E 为x =1与直

线l 2：y

= x x =1，得y

= ，∴E （1

， ）。点

∵

抛物线G 为x =1与直线l 1：y

=-

的交点，令x =1，得y

=-，∴G （1

，

），F （1

，），G （1

，-），它们均位于对称轴x =1上。∴DE =EF =FG

-。∴各点坐标为：D （1，0），E （1

，（3）如图，过C 点作C 关于对称轴x =1的对称点P 1，CP 1交对称轴于H 点，连接CF ，PG 。△PCG 为等腰三角形，有三种情况：

①当CG =PG 时，如图，由抛物线的对称性可知，此时P 1满足P 1G =CG 。 ∵C （0

，，对称轴x =1，∴P 1（2

，）。②当CG =PC 时，此时P

点在抛物线上，且CP 的长度等于CG 。如图，C （1

，），H 点在x =1上，∴H （1

，。 在Rt △CHG 中，CH =1，HG =|y G －y H

|=|-－

（

|=

∴由勾股定理得：

CG ∴PC =2． 2。

如图，CP 1=2，此时与①中情形重合。又Rt △OAC 中，

AC =C 、G 在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形。

点A 满足PC =2的条件，但点A 、2，∴

③当PC =PG 时，此时P 点位于线段CG 的垂直平分线上. ∵l 1⊥l 2，∴△ECG 为直角三角形。 由（2）可知，EF =FG ，即F 为斜边EG 的中点。∴CF =FG ，∴F 为满足条件的P 点，∴P 2（1

，又cos ∠CGE =

）。

CG =，∴∠CGE =30°。∴∠HCG =60°。又P 1C =CG ，∴△P 1CG 为等边三角形。 EG ）。 ）∴P 1点也在CG 的垂直平分线上，此种情形与①重合。综上所述，P 点的坐标为P （

或P 2（1

，12，

3

4、2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y =﹣x 2+bx +c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．

（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；

（2）设点M （3，m ），求使MN +MD 的值最小时m 的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．

【答案】解：（1）由抛物线y =﹣x 2+bx +c 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，

⎧-1-b+c=0⎧b=2

，解得⎨。∴抛物线的函数关系式为y =-x 2+2x +3。 ⎨

⎩-4+2b+c=3⎩c=3

设直线AC 的函数关系式为y =kx +n ，由直线AC 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得

⎧-k+n=0⎧k=1

，解得。∴直线AC 的函数关系式为y =x +1。 ⎨⎨

2k+n=3n=1⎩⎩

（2）作N 点关于直线x =3的对称点N ′， 令x =0，得y =3，即N （0，3）。

∴N ′（6， 3）

由y =-x 2+2x +3=-(x -1)+4得 D （1，4）。

设直线DN ′的函数关系式为y =sx +t ，则

2

1⎧

s=-⎪⎧6s+t=3⎪5

，解得⎨。

4 ⎨

s+t=421⎩⎪t=

⎪⎩5

∴故直线DN ′的函数关系式为y =-x +

1521。 5

根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M （3，m ）在直线DN ′上时，MN +MD 的值最小， ∴m =-⨯3+

1

52118=。 55

18。 5

∴使MN +MD 的值最小时m 的值为

（3）由（1）、（2）得D （1，4），B （1，2），

①当BD 为平行四边形对角线时，由B 、C 、D 、N 的坐标知，四边形BCDN 是平行四边形，

此时，点E 与点C 重合，即E （2，3）。

②当BD 为平行四边形边时，

∵点E 在直线AC 上，∴设E （x ，x +1），则F （x ，-x 2+2x +3）。 又∵BD =2

∴若四边形BDEF 或BDFE 是平行四边形时，BD =EF 。 ∴-x 2+2x +3-(x +1)=2，即-x 2+x +2=2。

若-x 2+x +2=2，解得，x =0或x =1（舍去），∴E （0，1）。 若-x 2+x +2=-

2，解得，，∴

E 或

E 。 ⎭⎭⎝⎝

⎝

、。 ⎭⎝⎭

综上，满足条件的点E 为（2，3）、（0，1）

、（4）如图，过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，

设Q （x ，x +1），则P （x ，﹣x 2+2x +3）。 ∴PQ =（-x 2+2x +3）（-x -1）=-x 2+x +2。 ∴S ∆APC =S ∆APQ +S∆CPQ =PQ ⋅AG

1

2

131227=-x 2+x +2）⨯3=-x -+。 2228

∵-

∴当x=时，△APC 的面积取得最大值，最大值为 5

32

1227。 8

5．（2012湖北襄阳12分）如图，在矩形OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处．分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax+bx+c经过O ，D ，C 三点．

（1）求AD 的长及抛物线的解析式；

（2）一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似？

（3）点N 在抛物线对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 与点N ，使以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 与点N 的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

2

【答案】解：（1）∵四边形ABCO 为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10。

由折叠的性质得，△BDC ≌△EDC ，∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD。 由勾股定理易得EO=6。∴AE=10﹣6=4。

设AD=x，则BD=CD=8﹣x ，由勾股定理，得x +4=（8﹣x ），解得，x=3。 ∴AD=3。

∵抛物线y=ax+bx+c过点D （3，10），C （8，0），

2

2

2

2

2⎧

a=-⎪⎧9a+3b=10216⎪3

∴⎨，解得⎨。∴抛物线的解析式为：y =-x 2+x 。

33⎩64a+8b=0⎪b=16

⎪⎩3

（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE ，

由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5。而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t 。 当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE ∽△QPC ， ∴

CQ CP t 10-2t 40

，即=，解得t =。 =

EA ED 4513

当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE ∽△PQC ，

∴

PC CQ 10-2t t 25

，即。 ==，解得t =

AE ED 457

4025

或时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似。 137

6 ∴当t =

（3）存在符合条件的M 、N 点，它们的坐标为：①M 1（﹣4，﹣32），N 1（4，﹣38）；

②M 2（12，﹣32），N 2（4，﹣26）；③M 3（4，

1432

），N 3（4，﹣）。

33

【考点】二次函数综合题，折叠和动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质。

【分析】（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED ≌△CBD ，在Rt △CEO 中求出OE 的长，从而可得到AE 的长；在Rt △AED 中，AD=AB﹣BD 、ED=BD，利用勾股定理可求出AD 的长．进一步能确定D 点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式。

（2）由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE ，若以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t 的值。

（3）假设存在符合条件的M 、N 点，分两种情况讨论：

①EC 为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC 中点，若四边形MENC 是平行四边形，

那么M 点必为抛物线顶点。

由y =-x 2+

2

316232322

。 x =-(x -4)+得抛物线顶点，则：M （4，）

3333

14

）。 3

∵平行四边形的对角线互相平分，∴线段MN 必被EC 中点（4，3）平分，则N （4，﹣②EC 为平行四边形的边，则EC

MN ，

设N （4，m ），则M （4﹣8，m+6）或M （4+8，m ﹣6）； 将M （﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38， 此时 N （4，﹣38）、M （﹣4，﹣32）；

将M （12，m ﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26， 此时 N （4，﹣26）、M （12，﹣32）。

综上所述，存在符合条件的M 、N 点，它们的坐标为：①M 1（﹣4，﹣32），N 1（4，﹣38）；

②M 2（12，﹣32），N 2（4，﹣26）；③M 3（4，

1432

），N 3（4，﹣）。

33

7