费根鲍姆常数4669-上
2002年第3期25
●数海拾贝●
(上) 费根鲍姆常数41669…
吴振奎
(天津商学院,300122)
在数学中, 除了象π、e 、01618等已为人们熟知的常数外, 现代数学研究又使人们陆续发现了一些新的常数, 比如费根鲍姆常数(Feigenbaum ) δ=[1**********]…就是其中一例.
(, 人们建立了个数为N 的生物群体随时间t 进化(或繁衍) 的数学模型(微分方程形式) :
=rN (k -N ) -mN , d t
其中, x n +1=f (x n ) 在数学上称为差分方程(亦称离散动力系统) .
333
x =f (x ) 在, b ]333
f x ) , 且当1≤k
f (x ) , 则称x 为f (x ) 在[a , b ]上的一
个n 周期点.
我们考察一下简单的Logistic 方程x n +1
=αx n (1-x n ) 的不动点的计算(α>0) .
几何上讲, 这是在笛卡儿坐标系中求直线
y =x (第一象限角分线)
这里r 、m 表示该物种出生、死亡常数, k 表示
环境负载能力. 人们称它为Logistic 方程.
该方程的离散形式是
:
N t +1=N t 1+r 1-N t k
与抛物线
y =αx (1-x ) (因α>0, 开口向下) 的交点.
假设从某个初始点x 0出发(见图1, 图1中R 的横坐标即为x 0) 作x n 轴的垂线与抛物线交于点A ; 再自A
作AB ⊥
AR 交y =x 于B ; 自B 作BC ⊥AB 交抛物线于C , …如此下去可有下面诸图形(以下诸图摘自文[3]) .
.
显然, 它可视为形如y =kx (1-x ) 的函数进行数值计算时的某种迭代模式(求其不动点) , 人们称之为Logistic 映射.
2
当然它也是一元二次方程ax +bx +c =0用数值算法计算其根时的迭代模式.
一般地, 若[a , b ]上的函数y =f (x ) 从x 0出发反复迭代, 可有
x 1=f (x 0) ,
x 2=f (x 1) =f (f (x 0) ) =f (x 0) , x 3=f (x 2) =f (f (x 1) ) =f (f (f (x 0) ) )
3
=f (x 0) ,
2
……
x n +1=f (x n ) =f (f (x n -1) ) =…
n +1个
图
1图2
3
如此下去, 最终可收敛到一个定态点x (它有两个不动点, 一个是0, 一个是1-)
α.
26中等数学
表 1
初始点x 0
011
1
[***********]76
011+10-801
[***********][**************]1
011+2×10-
[1**********]6
[***********]0135182
图
3图
4
迭
3代
…次 10数
…
n
2
…
[1**********]9
…
[1**********]9
…
[1**********]2
…
01
9559244
…
…
[1**********]6
52
…
迭代19次图5
迭代70次图6
, . 换言, 迭代在α=4附近出现了问题. 同时也看到:α的取值不同, 映射稳定不动点、稳定周期点的周期数(定常点的个数) 会有明显差异.
但由于α取值不同, 有时也可以得到一些周期解(此时原来的不动点已失稳, 而周期解稳定, 我们称它为定常解) .
α=217时, 有稳定不动点
图8α=314时, 有周期2解
图9
α=31835时, 有3周期解或有3个定常解
图7
换言之, 人们首先发现:
对于不同的α而言, 从同一初始点出发进行迭代, 收敛情况(或方程迭代结果) 有很大差异.
此外, 人们在迭代中还发现了下面一个令人不解的现象:
对某些α来讲, 初始点的小小差异(一般来讲它对于迭代的收敛的影响不会很大) , 会使迭代结果相去甚远. 表1给出α=4时从相差甚微的不同初始点出发迭代一些步骤后的数据
α=3147时, 有周期4解
图10α=31999时, 产生混沌
图11
特别是图11给出以无穷为周期的解的
[5]
情形, 称之为混沌(以前曾撰文介绍过) .
如此可看到:α的不同取值对于迭代定常点的个数(或周期解的周期数) 不一, 见表2.
表 2
α取值
[1**********]…
2
4
定常点个数1…混沌
(未完待续)