血管的三维重建问题
A 题 血管的三维重建问题A 题 血管的三维重建问题摘要: 摘要: 本论文讨论基于切片的血管三维重建问题.其背景是:采取存储二维切片信息,使用时再利用切片信 息重建原物体三维形态的方法,可以有效地保存和利用三维信息.此技术在实际中有很大的用途,在医学 和其他领域有广泛的应用.如要将人体全部三维信息,包含内部错综复杂的结构,完整地存储在计算机中, 以现在的技术也是有一定难度的,但若改用存储人体切片信息,使用时重建再现的方法,则是利用现有技 术可以解决的. 本论文基于题中对血管形态的假设,建立管道中轴线参数方程,并综合考虑实际情况中由于切片厚度 及数字图像离散化带来的偏差,通过在每张切片图像中搜索其中阴影区域所能包含的最大圆面,确定管半 径为 R=29, 在此基础上, 将每张切片图像中阴影区域所能包含的半径大于等于 R 的圆面圆心作为中轴线与 各切片交点(即中心点)的候选点集合.本模型使用了三种改进算法对该候选点集进行筛选以确定实际交 点.最终迭代算法简述如下: 1. 对每个切片,建立中心点的候选点集,并取点集的中位点 中位点为中心点初值 中位点 2. 利用得到的中心点建立中轴线方程 3. 利用中轴线方程推导导数信息,根据导数信息比例选取中心点的候选点集的某点作为中心点的新 值 4. 重复步骤 2,3,直至结果达到较稳定状态为止 5. 输出中心点及中轴线方程 在模型建立中,对选取侯选点集,求中位点,利用导数信息进行比例选取均给出完整的算法,并且对 半径确定,候选点选取,采用导数作为比例选取依据等问题给出详尽的证明. 考虑到实际血管的中轴线应充分光滑,计算最终中轴线参数表达式时采取了六阶多项式拟合. 最后用还原的血管形态模拟切片过程可以得到一系列数字图像,与原切片图像进行比较,可以检验模 型的合理性及精度.该模型最终计算结果如下.血管中轴线示意图从模型结果中看出,中心点分布均匀稳定,模拟检验的切片数字图像与原切片的数字图像吻合较好, 模型结果精度及稳定性符合要求. 本模型算法简明,理论严密,比例选取算法使结果中心点尽可能收敛于真实中心点,迭代算法保证了 结果的精度和稳定性,符合题目要求. 利用本模型可解决简单的切片三维重建问题,如应用于在医学,地质,地理等领域进行粗略的分析和 三维重建. - 第1页 -A 题 血管的三维重建问题一, 问题的提出及背景断面可用于了解生物组织,器官等的形态.例如,将样本染色后切成厚约 1 的切片, m 在显微镜下观察该横断面的组织形态结构. 如果用切片机连续不断地将样本切成数十, 成百 的平行切片,可依次逐片观察.根据拍照并采样得到的平行切片数字图像,运用计算机可重 建组织,器官等准确的三维形态. 假设某些血管可视为一类特殊的管道, 该管道的表面是由球心沿着某一曲线 (称为中轴 线)的球滚动包络而成.例如圆柱就是这样一种管道,其中轴线为直线,由半径固定的球滚 动包络形成. 现有某管道的相继 100 张平行切片图像, 记录了管道与切片的交面. 为简化起见, 假设: 管道中轴线与每张切片有且只有一个交点, 球半径固定, 切片间距以及图像像素的尺寸均为 1. 计算管道的中轴线与半径,给出具体的算法,绘制中轴线在 XY,YZ,ZX 平面的投影图.二, 问题的分析本问题属于基于切片信息的三维形态重建问题, 根据所给的切片数字信息可以直接作图 再现血管的三维形态,如下:图 1. 血管三维再现图从上图中基本可以了解血管的三维形态, 但由于显微镜的工作原理以及数字图像离散化 会造成一定的阴影和误差,其实际形态与再现图是有一定偏离的.根据题中假设,假设某些 血管可视为一类特殊的管道, 该管道的表面是由球心沿着某一曲线滚动的半径固定的球包络 而成,该曲线称为中轴线,球半径也称为管半径.- 第2页 -A 题 血管的三维重建问题本模型将基于上述假设重建血管的三维形态,使其精确化,参数化.示意图如下:图 2. 血管三维模型图切片数字图像产生偏差的原因有两方面: 切片数字图像产生偏差的原因有两方面: 生偏差的原因有两方面 首先,数字图像离散化造成图像的分辨率有限,如题中给出图像像素尺寸为 1.这将造 成局部细节被忽略,距离相近的两个点被视为一个点,点之间距离被舍入等等偏差.本模型 中根据实际情况假设距离舍入服从四舍五入原则. 其次, 由显微镜的工作原理可知, 一定厚度切片的显微图像是由其中所有组织的成像叠 加而成的,而切片厚度是不可避免的,这将造成切片内不同层面图像的干扰,也就是说,每 张切片图中的图像实际上是多个层面图像的叠加. 然而, 题中假设管道中轴线与每张切片有 且只有一个交点,即不考虑切片厚度,因此以下叙述也将切片称为切平面,忽略其厚度. 由于所给原始数据是 512 × 512 单色 BMP 图像格式,便于观察,但不便于模型处理, 因此首先将图像转化为 512 × 512 的二维 0-1 矩阵 M i 形式,其 0-1 分布与图像对应,1 表示 黑色像素点,左上角为 M i (1,1) , M i 为记录第 i 张切片的图象信息的 0-1 矩阵,为方便起 见,本文中也用 M i 来表示第 i 张切平面. M 为 M i 的集合,记为M = {M i, 0 ≤ i ≤ 99}跟据题中建立的坐标系,某点 ( x, y , z ) 的 0-1 值与矩阵 M 中元素的对应关系为:( x, y , z ) M z ( y 257,x 257)由假设,中轴线与每张切片有且只有一个交点,设该交点为 Pi(0 ≤ i ≤ 99) ,- 第3页 -A 题 血管的三维重建问题根据题中建立的坐标系可以设 x = X (t ) 中轴线参数方称为 y = Y (t ) , z = Z (t ) 由题设也可写为 其中 Z ( t ) = t0 ≤ t ≤ 99x = X ( z) , y = Y ( z)其中 0 ≤ z ≤ 99因此中轴线与第 i 张切片的交点 Pi = X (i ) , Y (i ) . 三, 模型的假设及符号说明模型假设: 模型假设: 一. 假设样本血管可视为一类特殊的管道, 该管道的表面是由球心沿着某一曲线的球滚 动包络而成,球半径固定. 二. 假设管道中轴线与每张切片有且只有一个交点,即将切片视为无厚度的切平面. 三. 假设切片间距以及图像像素的尺寸均为 1. 四. 假设管道中轴线处处连续,且充分光滑. 五. 假设两点间距离舍入服从四 步骤三:r←r+1,转步骤二 步骤四:返回 r-1 的选取和确定作进一步讨论: 以下将对 Pi 的选取和确定作进一步讨论 【算法一】 算法一】 :将某一切平面 M i 所有的点代入 GetMaxR ( M i , P ) ,将求得的半径排序,选取 : 半径最大的圆面圆心作为 Pi ,循环即得所有中心点坐标及对应最大圆面半径.流程图见附 图六.- 第5页 -A 题 血管的三维重建问题使用该算法求得中心点坐标及对应最大圆面半径见附表一.所求出的 Pi 构成中轴线的 散点图及拟合曲线见图 4:【算法一】:中轴线 Z XY 三次插值曲线 折点 三次拟合曲线图 4.【算法一】散点图及拟合曲线由假设,血管中轴线充分光滑,由此可用三次多项式拟合散点数据,中轴线参数解析表 达式为: x = 2.22 × 10 4 z 3 + 3.38 × 10 2 z 2 1.90 × z 1.48 × 102 3 3 1 2 y = 1.32 × 10 z + 1.77 × 10 z 4.07 × z + 1.97 × 100 ≤ z ≤ 99从上图可以看出,由【算法一】得到的中轴线形态与血管三维再现图基本吻合,但光滑 度较差,可以明显看出插值曲线局部存在折点,因此有必要对算法进行改进. 在模型计算过程中,注意到在每个切平面上的包络区域中可容纳的最大圆面并不惟一; 管半径也不唯一,为 29 或 30.这表面上与【命题一】矛盾,但实质上并不矛盾. 最大圆面不唯一是由于数字图像离散化的结果, 【命题一】假设坐标及半径均为连续精 最大圆面不唯一 确的,即使两个相近的数字也是可以分辨的,但实际情况并非如此理想.由于题设切片间距 以及图像像素的尺寸均为 1,而图像像素是图中可分辨的最小尺度.例如以 Pi 为球心,R = 29 为 半 径 的 球 与 第i+1个 切 平 面 相 交 的 圆 面 半 径 为 :R 2 Dis tan ce( Pi , M i ) 2 = 29 2 12 = 28.9828 ,在数字图像中将被舍入为 29,其结果是该圆面也可能被误判为最大圆面,这样所得 Pi +1 实际为 Pi 在 M i +1 上的投影.从而造成存- 第6页 -A 题 血管的三维重建问题在多个最大圆面. 管半径的不唯一是由于题设管道中轴线与每张切片有且只有一个交点, 而实际中切片总 管半径的不唯一 是有厚度的,再加上数字图像离散化的影响:对于管半径为 29 的血管,其切片图像产生 1 个单位的偏差是符合实际情况的.而且从计算结果也可以看出,出现最大半径为 30 的切平 面的位置处在中轴线沿 Z 轴变化较平缓部分,这部分也是最容易产生偏差的. 基于以上分析及【算法一】的结果,可以确定管半径 R=29.若定义在某切平面 M i 上 用 调用 GetMaxR ( M i , P ) 可 所有被判定为最大圆面圆心的集合为 Pi 的候选点集, SPi 表示. 以得到 M i 上所有半径 r ≥ R 即半径为 29 和 30 的圆面圆心的集合 SPi . 【算法二 :综合某切片内所有 Pi 的侯选点集 SPi 的信息,确定 Pi 的坐标,可以提高结 算法二】 算法二 果的精度. 经计算, SP 中有为 13596 个点.图 5. 从切平面 M 50 上 P 的候选集 SP 的 50 50XY 投影图例如由上图可以看出 P50 的候选集 SP50 呈带状分布,而【算法一】选取的 P50 点处于其 候选点集边缘,其效果必然不理想.从算法来看, 【算法一】是在 SP50 中选取最先遇到的点, 弃掉其后的所有点,这种选取原则造成【算法一】结果图中的中轴线产生折点.- 第7页 -A 题 血管的三维重建问题如果可以将 Pi 所有的候选点集以某种次序排序,选取其中位点,该点应较接近其真实 点 Pi ,其结果相对于【算法一】的取法应有较大改善.具体算法如下:中心点候选点集的中位点算法 步骤一:找出中心点候选点集中位于其区域两端的点,过此两点有唯一直 线L 步骤二:将点集中所有点映射到该直线上,由于点集基本呈带状分布,该 映射为一一映射.按映射点在直线上的位置进行排序,找出映射点集的中 位点,其对应原点即所求中位点 步骤三:输出中位点的坐标.所求出的 Pi 坐标见附表,中轴线的散点图及拟合曲线如右图【算法二】中轴线图 6. 【算法二】散点图及拟合曲线- 第8页 -A 题 血管的三维重建问题由散点数据拟合生成的六次多项式拟合曲线表达式为: 0 ≤ z ≤ 99 x = 7.40 × 109 z 6 2.36 × 10 6 z 5 + 2.58 × 10 4 z 4 1.12 × 102 × z 3 + 2.12 × 10 1 z 2 1.53z 1.59 × 102 9 6 6 5 5 4 4 3 3 2 y = 5.76 × 10 z 1.15 × 10 z + 5.46 × 10 z + 3.32 × 10 × z 5.65 × 10 z + 0.367 z 0.776中轴线三视图 阴 影 为 SP,散 点 为 各 P点 , 连线分别为插值及拟合曲线从上图可以看出 中 轴 线 位 于 P点 候 选 点 集 形 成 的 阴 影 区 域 中 央 , 结果符合预定目标,效果有明显改善.图 7. 中轴线三视图从上图中可以看出, 【算法二】结果基本满足题目要求,在模型的检验和结果分析 模型的检验和结果分析中将 模型的检验和结果分析 对该算法进行具体结果分析及检验. 对 P 点在其候选区域的相对位置作进一步分析,有以下结论: 【结论一】 :当且仅当中轴线上某点与某切平面距离小于等于 5,其在该切平面上的投 影点有可能被识别为中轴线与该切平面的交点,产生误判. 若点 P 到某切平面 M i 的距离 D ≤ 5 , 则以点 P 为球心, R=29 为半径的球与切平面 M i 的相交所得圆面的半径 r =R 2 D 2 ≥ 29 2 52 = 28.5657 ,这在离散化的数字图像中将被视为 29 ,该点被误判.另一方面,若D > 5 , r = R 2 D 2 ≤ 29 2 6 2 = 28.3725r 将被舍入为 28,因此可证明结论.由以上结论可对【算法二】作进一步改进.- 第9页 -A 题 血管的三维重建问题【算法三 :综合相邻多个切片信息,确定 Pi 的坐标,进一步提高结果的精度. 算法三】 算法三 由【结论一】可知处于某切平面 M i 上下五层之间的中轴线段在该切平面 M i 上的投影 线段 L 上的 所有点均有可能被判为中轴线与该切平面的交点,这也可从上面图 5 中 P 的候 选点集呈带状分布得到初步验证.理想情况下图 5 中 P 的候选点集应呈线状分布,但由于 实际中偏差不可避免, 而且由图中可以看出实际带状分布与线状分布相当接近. 以下讨论将 其视为线状分布,设为直线 L. 如右图所示,由于中轴线各段的 斜率小 中轴线 斜率不同,将造成实际中轴线与切平 斜率大 面的交点并不位于 L 的中点,斜率大 的中轴 1 线部分投影较长,实际交点应靠近斜 率小的一端. 由于实际离散化的结果, 4 接近的点不被分辨,只有两点距离大 于 1 才会被分辨.因此一段线段将被 【算法二】中位点 实际中轴线与切平面交点 视为一串离散点,点的个数将取决于 线段的长度.如图中,实际 L 将被识 图 8. 中位点误差说明图 别为 5 个离散点,而中轴线与切平面 的交点位于 第 4 个交点上.实际交点在点串中位置与其中轴线两端斜率关系叙述如下: 如右图所示:若将切平面间的中 轴线视为直线段,则若该段中轴线斜 率为 K,其在切平面上的投影长度为 1 K=Tan( θ ) 1/K,因此某切平面 M 上下五层之间 的中轴线段分别在该切平面 M 上的投 影线段 Lu , Ld 的长度可以累加求得,1/KL = Lu + Ld .而实际中轴线与切平面的交点即位于直线 L 上的 Lu比Ld 分 点上.由此可得 图 9. 切线分界图 【结论二】 :实际中轴线与切平面的交点近似位于其候选点集(设其呈线状分布)的Lu比Ld 分点上.下面给出算法三的具体算法. 首先利用【算法二】得到的中轴线来获取各点的导数信息: x = x (t ) 该曲线的参数方程可表示为: y = y (t ) z = t - 第 10 页 -A 题 血管的三维重建问题由前面假设,该曲线处处光滑可导,则在曲线上 A 点(坐标为 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 处)切线的 方向为 dx dt ,x0dy dt,y0dz dt .因为 dz = 1 ,所以有 dt z0 dy dy dz dy = = dt dz dt dzdx dx dz dx = = dt dz dt dz则切线的方向为 dx dt ,x0dy dt ,1 . y0 设切线与横切面夹角为 θ ,如图有:tgθ =1 dx dy + dz dz 2 2tgθ 就是所要求得的斜率.2图 10. 切线投影图1 dx dy 设k = ,有 k = + tgθ dz dz 2由于切平面 M i 上直线 L 理论上是由 M i 上下相邻五层内中轴线上的点投影而成的,这 样基于【结论一】【结论二】就得到: ,i +5 i 1Lu =j =i +1∑kj, Ld =j =i 5∑kj, t i = Lu Ld =j =i +1∑ki +5jj =i 5∑ki 1j我们基于【算法二】得到的中轴线求得每一层交点的 k 值,进一步求得分配系数 ti ,将 位于 Lu比Ld 分点上的分界点作为中轴线与切平面 M i 的交点.其效果理论上应较【算法二】 有所改善.为保证计算结果精度,采取迭代的方法,将第一步得到的中轴线结果作为输入再 次进行运算.由于两次迭代结果十分相近,因此将第二次迭代结果作为最终结果.- 第 11 页 -A 题 血管的三维重建问题【算法三】求得的中心点坐标及导数信息见附表 3,4,中轴线的散点图及拟合曲线如下图:图 11.【算法三】散点图及拟合曲线由假设, 血管的中轴线应充分光滑, 由散点数据拟合生成的六次多项式拟合曲线表达式 为: 0 ≤ z ≤ 99 x = 6.64 × 109 z 6 2.11 × 106 z 5 + 2.27 × 10 4 z 4 9.41 × 10 3 × z 3 + 1.65 × 10 1 z 2 1.08z 1.60 × 102 9 6 6 5 5 4 3 3 2 2 y = 5.39 × 10 z 1.03 × 10 z + 3.87 × 10 z + 1.33 × 10 × z 3.26 × 10 z + 0.547 z 0.723五, 模型的检验及结果分析由于本模型是在题目假设前提下利用切片信息对血管形态进行三维重建, 因此模型结果 的优劣可以用还原的血管形态模拟得到切片数字图像, 将其与原切片的数字图像相比, 即可 知模型重建结果的合理性和准确性.对于使用【算法二】和【算法三】求出的中轴线与切平 面的两组交点 P1i 和P 2 i (i = 0 99) ,采用直观的模拟法进行检验以证明其合理性并比较两 组结果的精度:具体步骤如下: 让半径为 R=29 的球沿 Pi 所构成的中轴线连续滚动得到血管的三维实体,再用切平面' z = i = 0...99 截取该实体得到截面 M i' ,通过对两组截面 M i 与 M i 的对比,即可判断模型结果正确性和精度.- 第 12 页 -A 题 血管的三维重建问题以下是生成的截面 M i 与原截面 M i 的重合比较图样,由于篇幅限制,只给出较有代表 性的几幅. 图样说明: 图样说明: :原图样为空白,而模拟图样为阴影的部分.记为 A :原图样为阴影,而模拟图样为空白的部分.记为 B :原图样和模拟图样都为阴影的部分.记为 C 则表中以明显看出. 因此对模型的精度评价将主要考虑中部的再现, 首尾仅作参考. 2. 两种算法在生成中心点时都存在一定的误差, 基本上误差都可以被控制在 5%左右. 3. 从【算法二】和【算法三】的对比中可以看出, 【算法三】较【算法二】有所改善, 但相差不大.但从第 1 幅图样可以看出, 【算法三】生成的模拟切片图样都被限定在原图样 的阴影部分内,而【算法二】则有一部分超出原图样阴影范围.这说明【算法二】生成的中 心点较实际中心点可能会有较大的偏移,而【算法三】使用中轴线的导数信息,对中心点的 选取也更为合理和稳定.所以【算法三】较【算法二】更优.六, 模型的进一步讨论由于原始切片数字图像精度只能达到 1,理论上应有 ± 0.5 的误差允许范围,因此模型 此外模型结果中求得中轴线与各切平面交点均为整数坐 结果中半径应处于 29 ± 0.5 范围内. 标,这将造成舍入误差.事实上模型中假设中轴线是过切面的某个象素点的.实际情况中, 中轴线可能不过任何象素点, 而是从相邻的象素点之间穿过, 但理论上模型结果给出中轴线 应充分接近实际中轴线, 因此在不超过原始数据精度条件下, 模型精度总是可以达到要求的. 根据血管形态特点, 其中轴线应该是连续并充分光滑的, 但求得的离散点插值结果不是 很光滑,因此有必要进行多项式拟合,以得到充分光滑的曲线,这样处理之后拟和中轴线应 更加接近实际中轴线的形态.七, 模型的评价优点: 该模型融合多个切片的信息来确定血管的中轴线,可以较精确地从血管的切片 数字图像中得到血管中轴线和管半径. 有较高的稳定性和精度. 本模型所采用的算法简明且 易于实现,效率较高,可以在题目所允许的范围内保证较高的精度,并且采取了仿真模拟对 比的方法对模型进行了检验,取到了较好的效果. 缺点:该模型在求 SPi 时花费时间较大. 综上所述, 本模型基本上较好地解决本题假设下基于切片数字图像的血管的三维重建问 题,结果稳定性和精度令人满意.参考文献: 参考文献: 1. 《Visual C++数字图象处理》 3. 《应用Matlab建模与仿真》 第12页2.3.1节.何斌等编著,人民邮电出版社,2001年4月. 陈桂明等编著,电子工业出版社,2000年5月. 2. 《计算机图形学及其在工程中的应用》 王莉等编著,人民交通出版社,1988年10月.完成时间:2001年 完成时间:2001年9月24日星期一 24日星期一 - 第 15 页 -A 题 血管的三维重建问题附录附表 1: :算法一:管道中轴线与各切平面交点 Pz(0 ≤ z ≤ 99)Y 76 83 88 91 98 Z 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 50 R 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 X 12 16 27 29 3748 57 67 75 80 87 93 104 113 123 130 141 144 149 154 157 161 163 167 172 12 Y 165 165 164 164 163 161 159 156 153 151 148 145 139 133 126 120 109 106 100 94 90 84 81 74 65 165 Z 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 75 R 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29X -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -161 -162Y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 6 7 20 0Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0R 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30 29X -161 -161 -160 -160 -160 -160 -160 -159 -159 -159 -158 -157 -156 -156 -153 -152 -158 -157 -156 -154 -153 -152 -150 -149 -147 -161Y 19 19 28 28 27 28 28 35 35 35 40 44 48 48 57 60 40 44 48 54 57 60 65 67 72 19Z 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 25R 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30X -145 -141 -138 -136 -131 -128 -122 -118 -114 -106 -105 -100 -96 -87 -84 -77 -73 -67 -55 -49 -39 -31 -25 -14 -3 -145102 109 113 117 124 125 129 132 138 140 144 146 149 154 156 159 161 162 164 165 76- 第 16 页 -A 题 血管的三维重建问题附表二: 附表二算法二:管道中轴线与各切平面交点 Pz(0 ≤ z ≤ 99)Y 117 123 128 133 136 140 143 145 148 152 153 155 159 161 163 164 165 166 165 164 165 162 160 159 157 117 123 Z 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 50 51 X 74 80 86 94 100 108 115 121 129 136 147 151 157 161 165 168 172 173 176 179 180 182 185 186 186 74 80 Y 153 150 148 146 140 137 133 128 122 114 104 98 91 84 78 71 66 61 56 50 44 37 31 24 15 153 150 Z 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 75 76X -162 -162 -161 -161 -162 -162 -162 -161 -161 -161 -162 -161 -162 -162 -161 -162 -162 -162 -161 -161 -162 -162 -162 -161 -161 -162 -162Y 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 17 19 0 0Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0 1X -161 -160 -161 -159 -160 -158 -159 -158 -157 -155 -155 -154 -151 -151 -150 -147 -146 -143 -142 -139 -136 -133 -129 -127 -121 -161 -160Y 22 24 28 30 33 35 38 41 45 49 53 56 61 64 68 71 75 77 81 86 89 94 100 104 109 22 24Z 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 25 26X -113 -106 -102 -96 -91 -86 -79 -73 -68 -63 -56 -50 -42 -35 -26 -16 -7 3 11 21 31 40 50 60 66 -113 -106- 第 17 页 -A 题 血管的三维重建问题附表三: 附表三:算法三:第一次迭代管道中轴线与各切平面交点 Pz ,K(0 ≤ z ≤ 99)K X 12 16 27 29 37 48 57 67 75 80 87 93 104 113 123 130 141 144 149 154 157 161 163 167 172 12 Y 165 165 164 164 163 161 159 156 153 151 148 145 139 133 126 120 109 106 100 94 90 84 81 74 65 165 Z 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 75 K7.046504 7.166938 7.300573 7.447924 7.609433 7.785464 7.97631 8.182189 8.403255 8.639595 8.891247 9.158193 9.440378 9.737709 10.05006 10.37729 10.71924 11.07572 11.44656 11.83156 12.23052 12.64327 13.0696 13.50932 13.96227 7.046504X -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -162 -161 -162Y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 6 7 20 0Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0K 5.769178 5.34368 4.930488 4.530246 4.143798 3.772266 3.417156 3.080516 2.765149 2.474901 2.214986 1.992247 1.815012 1.692004 1.629878 1.630133 1.687647 1.792288 1.932273 2.096853 2.277431 2.467594 2.6627 2.859429 3.055397 5.769178X -161 -161 -160 -160 -160 -160 -160 -159 -159 -159 -158 -157 -156 -156 -153 -152 -158 -157 -156 -154 -153 -152 -150 -149 -147 -161Y 19 19 28 28 27 28 28 35 35 35 40 44 48 48 57 60 40 44 48 54 57 60 65 67 72 19Z 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 25K 3.248884 3.438636 3.623732 3.80349 3.977403 4.145095 4.30629 4.460788 4.608448 4.74918 4.882932 5.009686 5.129454 5.242273 5.348201 5.447322 5.539737 5.625569 5.704958 5.778068 5.845079 5.906195 5.961641 6.011665 6.056537 3.248884X -145 -141 -138 -136 -131 -128 -122 -118 -114 -106 -105 -100 -96 -87 -84 -77 -73 -67 -55 -49 -39 -31 -25 -14 -3 -145Y 76 83 88 91 98 102 109 113 117 124 125 129 132 138 140 144 146 149 154 156 159 161 162 164 165 76Z 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 506.096555 6.132043 6.163354 6.190869 6.215005 6.236208 6.254962 6.271786 6.287239 6.301915 6.316452 6.331523 6.347843 6.366161 6.387263 6.411965 6.441112 6.475566 6.516206 6.563917 6.619578 6.684058 6.758202 6.842821 6.938683 6.096555- 第 18 页 -A 题 血管的三维重建问题附表四: 附表四:算法三:第二次迭代管道中轴线与各切平面交点 Pz ,K K(0 ≤ z ≤ 99)K X 411 409 407 404 400 396 392 386 379 375 365 359 351 344 338 326 319 314 308 302 300 293 287 280 272 411 Y 327 334 341 349 356 362 369 375 383 390 399 404 411 415 419 428 430 433 435 438 438 440 442 443 443 327 Z 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 75 K 7.066997 7.193325 7.333549 7.488175 7.65763 7.842258 8.042327 8.258028 8.489483 8.73675 8.999832 9.278682 9.573214 9.883306 10.20881 10.54955 10.90535 11.27602 11.66134 12.06111 12.47512 12.90319 13.34509 13.80064 14.26965 7.066997X 257 257 257 257 258 258 258 259 259 260 260 261 262 262 263 263 264 265 266 266 267 268 270 272 274 257Y 95 95 96 96 95 96 96 95 95 95 96 96 95 96 96 96 95 95 95 96 95 95 95 95 96 95Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 0K 5.899183 5.461277 5.035584 4.622678 4.223312 3.838494 3.469595 3.118495 2.787814 2.481228 2.203878 1.962798 1.76706 1.626953 1.55136 1.543714 1.599346 1.70699 1.853078 2.025315 2.21408 2.412384 2.615297 2.819368 3.022171 5.899183X 276 278 283 286 287 290 292 296 299 304 308 311 315 319 322 327 331 334 337 342 346 350 358 362 367 276Y 97 97 96 96 97 97 97 98 100 101 101 102 104 105 108 108 110 112 114 118 119 123 127 131 137 97Z 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 25K 3.221984 3.417567 3.608024 3.792697 3.971104 4.142891 4.307802 4.465654 4.616323 4.759733 4.895844 5.024651 5.146176 5.260465 5.367588 5.467636 5.560721 5.646973 5.726545 5.799606 5.866351 5.926992 5.981765 6.030932 6.074776 3.221984X 373 378 383 387 393 395 400 402 406 408 410 413 415 418 418 421 421 423 423 422 422 419 418 417 414 373Y 142 148 153 160 165 172 177 183 188 195 202 208 215 222 231 239 248 257 268 279 288 295 304 314 320 142Z 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 506.113611 6.147776 6.177642 6.203611 6.22612 6.24564 6.262681 6.277792 6.29156 6.304617 6.317636 6.331329 6.346454 6.363805 6.384214 6.408545 6.437689 6.472561 6.514086 6.563194 6.620809 6.687837 6.765157 6.853608 6.953978 6.113611- 第 19 页 -A 题 血管的三维重建问题附图五: 附图五:该过程可以 确定在某位图信 息矩阵 中以某点 P为圆心的最大圆 为圆心的最大圆 面 并返回此最大圆 面的半径R 面的半径R输入位图信息矩阵M 以及所求点P的坐标令R←0是令R←R+1判断以点P为圆心,半径为R的 圆内及圆周上的所有点 是否都落在位图M的阴影区域中?否 输出 R-1- 第 20 页 -A 题 血管的三维重建问题 附图六: 附图六:- 第 21 页 -