全概率公式及其应用技巧
第14卷第2期高等数学研究
V ol. 14, No. 2全概率公式及其应用技巧
符方健
(琼台师范高等专科学校数理系, 海南海口571100)
摘
要 对全概率公式的内涵进行剖析、引申与扩展, 构造性地运用全概率公式计算一些复杂事件的概率, 通
过实例探讨其应用技巧.
关键词 全概率公式; 内涵剖析; 应用技巧中图分类号 O211. 1
文献标识码 A
文章编号 1008 1399(2011) 02 0052 04
全概率公式内涵丰富、应用广泛, 是概率论中一个非常重要的公式. 本文将对全概率公式的内涵进行深入剖析, 引领学生窥其 庐山真面目 , 然后循序渐进地讲解其应用, 从而帮助学生系统、深入地掌握
全概率公式的理论体系.
件BA i 之和的概率. 这就是全概率公式的基本思路. 2. 2 公式的本质
全概率公式的本质是:全概率公式中的P (B) 是一种平均概率, 是条件概率P(B |A i ) 的加权平均, 其中加在每个条件概率上的权重就是作为条件的事件A i 发生的概率.
2. 3 目标事件与完备事件组的关系
样本空间 中的任一目标事件B 总是由 中若干个基本事件构成的, 而当 被完备事件组A 1, A 2, , A n 划分时, 所有基本事件无一例外地被归类于A 1, A 2, , A n 中. 所以, B 中的基本事件也必然属于完备事件组A 1, A 2, , A n . 也可以说, B 中的基本事件被分配到A 1, A 2, , A n 中去了. 这样, 当A 1, A 2, , A n 划分 时, 同时也划分了B.
需要说明的是, B 的元素不一定参与划分者A
i
1 全概率公式
定义1满足
A i A j = (i j , i, j =1, 2, , n)
A i = , i=1
则称A 1, A 2, , A n 为 的一个完备事件组或称为
的一个划分.
定理1
[1]
n
[1]
设( , F, P ) 为概率空间, 若A i F (i =1, 2, , n)
设( , F, P) 为概率空间, A 1, A 2,
, A n 为 的一个划分, 且
P(A i ) >0(i =1, 2, , n) , 则对于任一事件B F, 有
P (B) =
i=1
的全部元素, 所以B 不能用它们的和表示, 而只能用积BA i 表示. 另外, 尽管目标事件B 有时是被完备事件组中部分事件划分了, 但总可以广义地认为是被全部事件划分了, 只是没参与划分的事件是没分着B 的任何元素, 也就是说与B 的积为不可能事件. 这样, B 就可以表示成B 分别与完备事件组中各个事件的积之和.
[2]
P (A
n
i
) P(B |A i ).
上式称为全概率公式.
2 内涵剖析
2. 1 蕴涵的数学思想方法
全概率公式蕴含了化整为零, 化复杂为简单的数学思想.
P (B) =P(
i=1
2. 4 全 的含义
从定理1的描述来看, 使用全概率公式计算目标事件B 的概率, 必须是找到样本空间 的一个完备事件组A 1, A 2, , A n , 而这一完备事件组恰恰可
i
BA
n
)
表示将一个复杂事件B 的概率分解成若干个简单事
收稿日期:2009-04-26; ; 修改日期:2011-01-26. 基金项目:海南省自然科学基金资助项目(808250) .
作者简介:符方健(1968-) , 男, 海南琼海人, 副教授, 主要从事马尔
以理解为是事件B 产生的n 个原因. 全概率公式相
当于将产生B 的全部原因一一进行考察, 将每一个可能性都考虑进来, 这就是 全 的含义所在. 概括来说, 全 指的是对目标事件B 有贡献的全部原因. 应用中要将全部原因找出来, 缺一不可, 才构成
第14卷第2期符方健:全概率公式及其应用技巧
53
2. 5 公式的直观作用
由于公式包含了乘法公式
P(BA i ) =P(A i ) P (B |A i ) ,
即先有A i 后有B , A i 对B 的发生均有一定作用, 只有A i 发生了, 才有B 发生的可能性, A i 是B 发生的全部 原因 . 因此, 我们可视为公式的直观作用是 知因求果 .
2. 6 公式蕴涵的运算
公式中包含了两个主要的运算过程:1) 概率的加法公式
P(B) =P(
2) 概率的乘法公式
P(BA i ) =P(A i ) P (B |A i ).
因此, 全概率公式是加法公式与乘法公式的综合运用.
2. 7 运用公式的关键
运用公式的关键是寻找其中的完备事件组A 1, A 2, , A n . 分割{A n }是为了计算P (B) 而人为地引入的, 选择适当可以使计算大为简化; 选择不适当, 则不利于问题的解决. 2. 8 运用公式的一般步骤
1) 找出样本空间 的完备事件组; 2) 求P(A i ) ; 3) 求P(B |A i ) ;
4) 求目标事件的概率P (B) .
注1 全概率公式是概率论中一个非常重要的公式, 它的理论严密, 概括性强. 要从理论上系统地认识全概率公式, 必须从测度论的角度去研究学习, 要用到转移概率的知识等. 不过, 对于不同学历层次的学生, 要求的深度是不一样的. 基于上面的几点分析, 基本上认识了公式的内涵, 至于从测度论角度去进一步研究可参考文献[3]中第五章或文献[4]中第四章, 本文不再深入探讨. 下面将从简单到复杂、循序渐进地例举一些精彩的例子, 欣赏全概率公式的风采, 体会活用全概率公式的乐趣, 深化对全概率公式理论体系的认识.
i=1
1/3, 1/12和1/4, 乘飞机不会迟到. 求他开会迟到的概率.
分析 引起目标事件 开会迟到 的所有可能的原因(交通工具) 为火车、轮船、汽车或飞机, 显然它们构成了完备事件组. 分析第二层条件可见, P(B |A i ) 也已知. 因此本题可直接应用全概率公式来解.
解 以B 表示事件 开会迟到 , 以A 1, A 2, A 3, A 4
分别表示某人乘火车、轮船、汽车或飞机去的事件. 则A i (i =1, 2, 3, 4) 为一完备事件组. 由全概率公式得
P (B) =
4
BA
n
P (A
i=1
i
) P(B |A i ) =0. 15.
i
) . 3. 2 条件复杂, 扩展应用公式
例2 甲、乙、丙三人向同一敌机射击. 设甲、乙、丙射中的概率分别为0. 4, 0. 5, 0. 7. 又设甲射中时敌机坠毁的概率为0. 6, 甲射不中乙射中时敌机坠毁的概率为0. 3, 只有丙射中时敌机坠毁的概率为0. 1. 求敌机坠毁的概率.
分析 目标事件 敌机坠毁 的发生是由于甲、乙、丙的射击引起, 而 甲射中 , 乙射中 , 丙射中 是可以同时发生的, 是相容事件. 关于如何对相容事件构成的样本空间进行划分, 进而用全概率公式求解, 文[5]曾对全概率公式有所扩展, 证明了下面这个推论.
推论1
[5]
设( , F, P ) 为一概率空间, {B n }为
F 中任意事件列(相容或互不相容, 有限或可列无限多个) , 且对一切n 有
P(B n ) >0, B n = , n
若令
n -1
n =B n - B k , P (B n ) >0, B k=1
则对一切A F, 有
P(A) =
P (B ) P (A |
n
n
B n ).
考虑到题中第二层条件与推论1可见, 本题可用推论1求解.
解 设A 表示 敌机坠毁 , B 1表示 甲射中 , B 2表示 乙射中 , B 3表示 丙射中 , B 4表示 三人皆射不中 . 另设
B 1=B 1, B 2=B 2-B 1, B 3=B 3-(B 1 B 2) ,
3
3 应用探究
3. 1 条件简明, 直接应用公式
例1 某人到武汉参加会议, 他乘火车、轮船、汽车或飞机去的概率分别为0. 2, 0. 1, 0. 3和0. 4. 如
B 4=B 4-i= 1B i =B 4.
则B 1表示 甲射中 , B 2表示 甲射不中而乙射中 , B 3表示 只有丙射中 , B 4表示 三人皆射不.
54
P(B 1) =P(B 1) =0. 4,
P(B 2) =P(B 2) -P (B 1B 2) =0. 3, P(B 3) =P(B3) -P(B1B 3) -P(B 2B 3) +
P(B 1B 2B 3) =0. 21,
c c
P(B 4) =P(B c 1B 2B 3) =0. 09.
高等数学研究2011年3月
P(C |A 0B 1) =P(C |A 1B 1) =4/6, 由推论2得
P (C) =11/18.
3. 4 全概率公式的构造性运用
对全概率公式的内涵掌握得好, 可以构造完备事件组, 解决一些复杂的看似与全概率公式无关的
问题, 从而体验到活用全概率公式的乐趣. 尤其在随机过程与可靠性理论中应用更广泛. 由于篇幅所限, 仅举一例予以说明.
例4 在研究系统的可靠性时, 假定系统由一系列元件以某种方式联接而成. 把元件或系统在时间区间(0, T]内正常工作(即不出现故障) 的概率称作元件或系统(在该时间区间内) 的可靠性(或可靠度). 图1中, 电路由5个元件组成, 它们工作状态是相互独立的, 元件的可靠性都是p , 求系统的可靠性.
且由已知得
P (A |B 1) =0. 6, P (A |B 2) =0. 3,
3) =0. 1, P (A |B 4) =0, P (A |B
根据推论1, 得
P (A ) =
P (B ) P(A |
n
n
B n ) =0. 351.
3. 3 全概率公式在复合试验中的运用
一般地, 在复合试验中, 使用全概率公式求解的问题其试验具有层次性. 前几次试验结果的交叉为样本空间的一个分割, 最后一次试验的结果为目标事件. 以三层次为例, 可得下面推论. 推论2 设事件组
A i (i =1, 2, , n) , B j (j =1, 2, , m ) 是先后两个试验过程中的划分, C 为目标事件. 若
P(C) >0, P (A i ) >0, P(B j ) >0,
P(Ai B j ) >0(i =1, 2, , n, j =1, 2, , m), 那么
P(C)=
i=1j=1
图1 由5个元件组成的电路系统
分析 表面上看, 本题似乎无法用全概率公式求解. 但我们可以考虑以第3个元件为考察对象构
造完备事件组, 进而可用全概率公式求解.
解 设A i (i =1, 2, , 3, 4, 5) 表示 第i 个元件正常工作 , 则
P (A i ) =p (i =1, 2, 3, 4, 5).
设A 表示 系统正常工作 . 注意图1中的电路, 当第3个元件正常工作时, 可视为两个并联系统串联而成(图2) , 当第3个元件发生故障时, 可视为两个串联系统并联而成(图3). 由此可见, A 3与A 3构成一个完备
n
n m
P(Ai )P(Bj |A i )P(C|A i B j ).
n
证明 P(C) =P [(i= 1A i ) C]=
P [i (A i C ) ]==1
i=1
i=1n
P (A C) =
i
i=1j =1
n
P[
n
n
j =1
(A i B j C) ]=
m
i
j
m
P (A B C) =
i
j
m
i=1j=1
P(A ) P(B
|A i ) (C |A i B j ).
例3 已知甲袋中有2个白球1个黑球, 乙袋中有1个白球3个黑球, 丙袋中有2个白球3个黑球. 现从甲袋中任取1球放入乙袋中, 再从乙袋中任取1球放入丙袋中, 最后从丙袋中任取1球. 求最后从丙袋中取出的那个球是黑球的概率.
解 设A i (i =0, 1) 表示 从甲袋中取出i 个黑球放入乙袋中 , B j (j =0, 1) 表示 从乙袋中取出j 个黑球放入丙袋中 , C 表示 从丙袋中取出的那个球是黑球 . 由题意得
P (A 0) =2/3, P (A 1) =1/3, P (B 0|A 0) =2/5, P (B 1|A 0) =3/5, P (B 0|A 1) =1/5, P (B 1|A 1) =4/5,
C 00=P (C |1B 0) =3/6,
图3 两个串联系统相并联图2 两个并联系统相串联
事件组. 易计算得这两个系统的可靠性分别为
P(A |A 3) =p 2(2-p ) 2, P(A |A 3) =p 2(2-p 2) ,
于是可由全概率公式得
P (A ) =P(A 3) P(A |A 3) +
P(A 3) P(A |A 3) =2p 2+2p 3-5p 4+2p 5.
第14卷第2期
高等数学研究
V ol. 14, No. 2重积分和线面积分中的一个典型题目
段耀勇1, 周畅2
(1. 中国人民武装警察部队学院基础部, 河北廊坊065000; 2. 西安邮电学院应用数理系, 陕西西安710121) 摘
要 针对授课班级出错率较高的一道曲面积分题目, 给出四种解法. 分析出错的原因在于练习不够外, 主
要是对重积分概念理解不够透彻.
关键词 高斯公式; 曲面积分; 三重积分中图分类号 O172. 2
文献标识码 A
文章编号 1008 1399(2011) 02 0055 02
问题1 计算
I =
+x
z d x ,
其中 为由y =z 2+x 2与y =1, y =2所围成的表面的外侧(图1).
解法1(直接法) 设 1为立体上表面的上侧, 2为立体下表面的下侧, 3为立体侧面的外侧, 则
I =
1
+x
d z d x +
2
+x
z d x +
3
+x
z d x ,
图1
积分曲面
经过投影, 代入和定号, 得
I =+
收稿日期:2010-01-04; 修改日期:2010-07-20.
作者简介:段耀勇(1969-) , 男, 山东长清人, 理学博士, 教授, 从事数
学史与数学教育研究. Email:duanyaoy ong@126. com. 周畅(1979-) , 女, 河北廊坊人, 理学硕士, 讲师, 从事科学技术史研究. Email:maytheday@126. com.
D x z
1
+x z d x -+z
D x z
2
z d x -+x
D xz
3
+x
z d x.
根据投影区域的特点, 改用极坐标计算, 得
参考文献
[1]杨振明. 概率论[M ]. 2版. 北京:科学出版社, 2004:34. [2]李兆兴, 赵国传. 关于全概率公式的一点注记[J].大庆
师范学院学报, 2005, 25(4) :23.
[3]严士健, 王隽骧, 刘秀芳. 概率论基础[M ].北京:科学出
版社, 1999:334 357.
[4]严加安. 测度论讲义[M ]. 2版. 北京:科学出版社, 2006:
93 107.
[5]符方健. 全概率公式的两个推论及其应用[J]. 河西学院
学报, 2008, 24(2) :30 33.
Analysis and Application of the Law of T otal Probability
FU Fang jian
(Department of M athematics and P hy sics, Q iong tai T eachers Colleg e, H aikou 571100, PR C)
Abstract: T his paper analyzes the law of to tal probability in details. Several types of applications are illustrated by related ex amples.
Keywords: law of total probability, analysis, applicatio n