第五讲 马喝水的问题
第五讲 马喝水的问题
问题：相传古希腊亚历山大亚里城有一位著名学者，名叫海伦. 有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个令他百思不得其解的问题：“如图，我每天策马往返于两个边防站A 与B 之间，途中都要到小河l 边为坐骑饮水. 怎样走路程最近呢？”你能解答这个问题吗？能画出最近的路线吗？
变式一：如图所示，点P 为一处马厩，AB 为草原的边缘（下方为草原），CD 为一条河流. 清晨，牧马人要从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后再回到马厩. 请帮他设计一条最近的行走路线.
变式二：如下图，A 为马厩，B 为帐篷，牧马人某天要从马厩牵出马，先到草地边的某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线. 作出图形并说明理由.
典型例题：
例1. 已知：如图，在平面直角坐标系xoy 中，Rt △OCD 的一边OC 在x 轴上，∠C=90°，点
D 在第一象限，OC=3，DC=4，反比例函数的图象经过OD 的中点A. （1）求该反比例函数的解析式； （2）若该反比例函数的图象与Rt △OCD 的另一边DC 交于点B ，在x 轴上求一点P ，使PA+PB最小.
典型练习题
1. 如图1，菱形ABCD 的周长为16cm ，∠ABC=60°，E 是AB 的中点，点P 是BD 上的一动点，那么AP+PE的最小值等于_______cm.
D
A
图2
2. 如图2，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是_____________．
3．如图，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________． 4. 桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。
D
E
C
5. 如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD
PE 的和最小，则这个最小值为（
） A ． B ． C ．3 D
6. 如图（4），正三角形
ABC 的边长为2，M 是BC 边上的中点，P 是AC 边上的一个动点，求PB+PM的最小值.
7. 如图，正比例函数y =
1
x 的图象与反比例函数2
k
y =(k ≠0) 在第一象限的图象交于A 点，过A 点作
x x 轴的垂线，垂足为M ，已知∆OAM 的面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA +PB 最小.
x
8. （湖北荆门中考题）一次函数y =kx +b 的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），B （0，4）． （1）求该函数的解析式；
（2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点，求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．
拔高题
1. （陕西省2009，16题，3分）如下图, 在锐角△ABC 中，
AB=BAC=45°, ∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN的最小值是
___________.
2. （淄博市2007模拟试题,17,4分）如下图，菱形ABCD 中，AB=2, ∠BAD=60°，点E 、F 、P 分别是AB 、BC 、AC 上的动点，则PE+PF的最小值为___________.
3（恩施市中考题）
P
图（1）
图（2）
图（3）
恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷(A ) 和世界级自然保护区星斗山(B ) 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB =50km ，A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1=PA +PB ，图（2）是方案二的示意图（点A 关于
P 到A 、B 的距离之和S 2=PA +PB ．直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P ），
（1）求S 1、S 2，并比较它们的大小； （2）请你说明S 2=PA +PB 的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、
B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．