基本不等式--及其应用
基本不等式�a+b2≥ab�在高中数学中具有极其重要的地位,从知识体系角度说,基本不等式不仅本身就是一个重要的数学知识模块,而且能与高中数学多个分支知识进行融合;从思维能力角度说,基本不等式是创造性与严谨性的有机结合、发散性思维与收敛性思维的辨证统一。因此,基本不等式是高中数学体系中的重要模块,也是高考中的的常见题型及运用载体。
一、基本不等式与线性规划知识的融合
在高中学习的线性规划知识除本身就是不等式组确定的体系外,在求线性或非线性目标函数最值的过程中往往会运用到基本不等式。
题1
已知实数�x,y满足
x-y-2≤0,
x+2y-5≥0,
y-2≤0,求u=x�2+y�2x+y�的取值范围。
(图1)
解:�x-y-2≤0,
x+2y-5≥0
y-2≤0�表示的平面区域为如图1,
�u=x�2+y�2xy
=x�2xy+y�2xy
=xy+yx�
由图1可知�k=yx∈13,2,�
得�u=k+1k∈2,103。�
二、基本不等式与函数单调性知识的融合
基本不等式的应用与函数�f(x)=x+1x的性质密不可分,经常借助函数f(x)=x+1x�的性质解决相关问题。
题2 不等式� log2x+1x+6≤3�的解集为。
本题考查的是对数函数单调性和不等式的解法,我们可以这样求解:
解:由
� log2x+1x+6≤3= log28,得0 ∴ x+1x≤2,
x+1x+6>0.�
思路一 解不等式组得�x∈(-3-22,-3+22)∪{1}。�
当然这个不等式组的求解是比较烦的,如果借助函数�f(x)=x+1x�的图象与性质,则将会很快地解决这道填空题。
思路二 结合函数�f(x)=x+1x,
函数y=2与函数y=-6�的图象(如图2所示),可以观察求出不等式的解集
(图2)
三、基本不等式与三角函数知识的融合
题3 已知�△ABC的三边a,b,c所对的角
分别是A,B,C,且BC边上的高AD=BC,求 cb+bc�的取值范围是。
解:
�cb+bc≥2cb•bc=2,当且仅当 cb=bc,即b=c�时取“=”。
在�△ABC中,cosA=b�2+c�2-a�22bc=b�2+c�22bc-a�22bc。�
由�S� △ABC=12bcsinA=12AD•BC=12a�2,
∴ a�2bc=sinA。�
∴ �cb+bc=c�2+b�2bc=2cosA+sinA=5sin(A+φ)≤5�
故�cb+bc的取值范围是[2,5]�
四、基本不等式运用中的“相等”问题
在运用基本不等式解决有关最大值与最小值的问题时,要注意“一正,二定,三相等”的基本要求,特别是“相等”成立的条件。
1x+ay≥9对任意的x,y�恒成立,求实数a的最小值。
错解:
∵ �x+y≥2xy,
1x+ay≥ 21x•ay=2axy,�
∴ �(x+y)1x+ay≥2xy•2axy= 4a。�
由已知得�4a≥9,得正实数a的最小值为8116。�
这种错解的原因是没有注意到“=”成立的条件。
正解:
�(x+y)1x+ay=1+a+
yx+axy≥1+a+2yx•axy=1+a+2a。�
由已知得�1+a+2a≥9,得a≥2,�故正实数�a�的最小值为4。
(江苏省兴化中学)
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