不等式的性质(导学案)
不等式的性质
1、知识与技能:(1)理解不等式的基本性质及证明不等式的逻辑推理方法;
(2)掌握不等式的性质在实际生活中的应用.
2、过程与方法:以实例引入知识内容,提升学生的求知欲;抓住解不等式的知识载体, 复习与新知识学习相结合;加强知识的巩固与练习,
3、情感、态度、价值观:体会不等式在实际生活中的重要地位和应用;培养学生的数
学思维能力和计算技能.
知识回顾:
1. 判断两个实数大小的充要条件是:
abab0
abab0
abab0.
2.作差比较法:
作差——变形——判断符号.
二、新课导学
※学习探究
探究任务:
测量三个人的身高,发现小李比小王高,小王比小张高,那么肯定能够得到“小李比小张”的结论.
新知:
性质1 如果ab,且bc,那么ac.
证明 ∵aba-b0,bcb-c0
∴a-c=a-b+b-c0
∴ac
说明:性质1叫做不等式的传递性.
性质2 如果ab,那么acbc.
说明:(1)性质2叫做不等式的加法性质,它表明,不等式的两边加(或减)同一个数,不等号的方向不变.
如下图所示,在天平两边的托盘里同时加上质量为c的砝码,天平的倾斜方向不变.
(2)利用性质2,可以由a+bc得到ac-b,这表明对不等式可以移项.
性质3 如果ab,c0,那么acbc;
如果ab,c0,那么acbc.
说明:性质3叫做不等式的乘法法性质,它表明,不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
※知识巩固
例3 选用适当的符号(“”或“”)填空,并说出应用了不等式的哪条性质.
(1)设ab,a3b3;
(2)设ab,6a6b;
(3)设ab,4a4b;
(4)设ab,52a52b.
解(1)a3b3,应用不等式性质2;
(2)设6a6b,应用不等式性质3;
(3)设4a4b,应用不等式性质3;
(4)52a52b,应用不等式性质2
与性质3.
例4 已知ab0,cd0,求证acbd.
证明 因为ab,c0,
由不等式的性质3知,acbc,
同理由于cd,b0,故bcbd
因此,由不等式的性质1知 acbd
想一想:能否利用求差的方法来证明例2的结论呢?此结论可做为不等式的一条性 质.
例5 服装市场按每套90元的价格购进40套童装,应缴纳的税费为销售额的10%,如果要获得不低于900元的纯利润,每套童装的售价至少是多少?
解 设每套童装的售价至少是x元,则
40x-90-40x10%900
解得 x125
答:每套童装的售价至少是125元.
*例6 甲、乙两个商店以同样的价格出售同一种商品,但推出不同的促销方案.在甲商店累计购买此种商品满100元,再购买的商品按原价的90%收费,在乙商店累计购买此种商品满200元,再购买的商品按原价的85%收费,问顾客累计购买此种商品多少元时,在甲商店能获得更大的实惠.
解 设顾客累计购买此种商品低于x元时,在
甲商店能获得更大的实惠,则
100+x-1000.9
整理后,得x
答:顾客累计购物高于100元且低于400元时,在甲商店能获得更大的实惠.
※强化练习(教材练习2.1.2)
1.选用适当的数填空:
(1)设3x6,则x;
(2)设15x1,则x.
2. 已知ab,cd,求证acbd.
※动手试试
1.用符合“>”或“
则 a2b2; a1b1;
a1b1; 2a2b;
2a2b; 3a13b1.
2. 填空:
(1)设x27,则x;
(2)设x53,则x;
5x1 (3)设,则x; 23
(4)设2x37,则x.
三、总结提升
※学习小结
(1)本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么?
(2)通过本次课的学习,在学习方法上有哪些体会?会解决哪些问题?
※当堂检测(时量:5分钟满分:10分):
1. 选用适当的符号(“”或“”)填空:
(1)设ab,a3b3;
(2)设ab,1.5a1.5b;
(3)设ab,a4b4;
(4)设ab,32a32b;
(5)设ab,32a32b.
2. 填空:
(1)设x21,则x;
(2)设x23,则x;
3x1 (3)设,则x; 22
(4)设2x31,则x;
(5)设12x3,则x.
(教材习题2.1)
1. 解下列各不等式并指出应用了哪些不等式的性质:
2x33x2(1); 7
4
(2)24x33x1.
2. 当x为何值时,代数式x52x7的值与代数式的值之差不小于2. 32
3. 橘子的进价是1元,销售中估计有5%的损耗,商家至少要把价格定为多少,才能避免亏本?