二次函数与反比例函数专题复习
2015年反比例函数与二次函数专题复习
一.选择题(共9小题)
2
1.(2014•博野县模拟)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,有以下结论:①a+b+c<0;②a ﹣b+c>1;③abc >0;④4a ﹣2b+c<0;⑤c ﹣a >1.其中结论正确的个数是( )
2
2.(2013•雅安)二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为( )
2
2
3.(2012•资阳)如图是二次函数y=ax+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax +bx+c<0的解集是( )
2
4.(2013•株洲)二次函数y=2x+mx+8的图象如图所示,则m 的值是( )
2
5.(2011•潍坊)已知一元二次方程ax +bx+c=0(a >0)的两个实数根x 1,x 2满足x 1+x2=4和x 1•x 2=3,那么二次函
2
2
2
6.如图,已知二次函数y=ax+bx+c的部分图象,由图象可知关于x 的一元二次方程ax +bx+c=0的两个根分别是x 1
=1.6,x 2=( )
7.(2009•黔东南州)抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是( )
8.(2014•怀化)已知一次函数y=kx+b的图象如图,那么正比例函数y=kx和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是( )
9.(2014•宁夏)已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)在函数y=的图象上,当x 1>x 2>0时,下列结论正确的是
二.填空题(共11小题)
22
10.(2012•融安县一模)将二次函数y=2x﹣4x+7配方成y=a(x+m)+k的形式为.
11.(2009•南汇区一模)己知抛物线y=x﹣(a+2)x+9的顶点在x 轴上,则a= _________ .
12.(2014•扬州)如图,抛物线y=ax+bx+c(a >0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y 轴的直线,若点P (4,0)在该抛物线上,则4a ﹣2b+c的值为 _________ .
2
2
13.(2014•长汀县模拟)如图,是二次函数y=ax+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x 轴一交点为
2
A (3,0),则由图象可知,不等式ax +bx+c<0的解集是.
2
14.(2013•黄石)若关于x 的函数y=kx+2x﹣1与x 轴仅有一个公共点,则实数k 的值为
15.(2013•德州一模)如图,抛物线y=ax+bx与直线y=kx相交于O (0,0)和A (3,2)两点,则不等式ax +bx<kx 的解集为 _________ .
2
2
2
16.(2013•德州)函数
y=与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a ,b ,则+的值为.
17.(2012•黑河)如图,点A 在双曲线
上,点B 在双曲线
y=上,且AB ∥x 轴,C 、D 在x 轴上,若四边形
ABCD 为矩形,则它的面积为
18.(2011•黔南州)如图,⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切,圆心A 和圆心B 都在反比例函数y=的图象上,则图中阴影部分的面积等于 _________ (结果保留π).
19.(2011•桂林)双曲线y 1、y 2在第一象限的图象如图,
,过y 1上的任意一点A ,作x 轴的平行线交y 2于
B ,交y 轴于C ,若S △AOB =1,则y 2的解析式是 _________ .
20.(2011•遵义)如图,已知双曲线
,
,点P 为双曲线
上的一点,且PA ⊥x
轴于点A ,PB ⊥y 轴于点B ,PA 、PB 分别依次交双曲线于D 、C 两点,则△PCD 的面积为 _________ .
三.解答题(共10小题) 21.(2009•漳州)阅读材料,解答问题.
利用图象法解一元二次不等式:x ﹣2x ﹣3>0.
2
解:设y=x﹣2x ﹣3,则y 是x 的二次函数.∵a=1>0,∴抛物线开口向上.
2
又∵当y=0时,x ﹣2x ﹣3=0,解得x 1=﹣1,x 2=3.
2
∴由此得抛物线y=x﹣2x ﹣3的大致图象如图所示. 观察函数图象可知:当x <﹣1或x >3时,y >0.
∴x ﹣2x ﹣3>0的解集是:x <﹣1或x >3.
2
(1)观察图象,直接写出一元二次不等式:x ﹣2x ﹣3<0的解集是 _________ ;
2
(2)仿照上例,用图象法解一元二次不等式:x ﹣1>0.(大致图象画在答题卡上)
2
2
22.(2014•曲靖模拟)一个涵洞成抛物线形,它的截面如图.现测得,当水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点O 与水面的距离为2.4m .ED 离水面的高FC=1.5m,求涵洞ED 宽是多少?是否会超过1m ?(提示:设涵洞所成抛物线为y=ax(a <0))
2
23.(2014•荆州四月调考)某公司开发了一种新型的家电产品,又适逢“家电下乡”的优惠政策.现投资40万元用于该产品的广告促销,已知该产品的本地销售量y 1(万台)与本地的广告费用x (万元)之间的函数关系满足y 1
=
.该产品的外地销售量y 2(万台)与外地广告费用t (万元)之间的函数关系可用如图
所示的抛物线和线段AB 来表示.其中点A 为抛物线的顶点.
(1)结合图象,求出y 2(万台)与外地广告费用t (万元)之间的函数关系式; (2)求该产品的销售总量y (万台)与本地广告费用x (万元)之间的函数关系式; (3)如何安排广告费用才能使销售总量最大?
24.(2014•曲靖模拟)如图,已知二次函数y=ax﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A (﹣1,0)和点C (0,﹣5). (1)求该二次函数的解析式和它与x 轴的另一个交点B 的坐标. (2)在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P (2,﹣2),连接OP ,找出x 轴上所有点M 的坐标,使得△OPM 是等腰三角形.
2
25.(2013•南充)某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x (元/件)与每天销售量y (件)之间满足如图所示的关系: (1)求出y 与x 之间的函数关系式;
(2)写出每天的利润W 与销售单价x 之间的函数关系式;若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少?
26.(2013•德州)如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB ,O 为坐标原点,OA=1,tan ∠BAO=3,将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°,得到△DOC ,抛物线y=ax+bx+c经过点A 、B 、C . (1)求抛物线的解析式;
(2)若点P 是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t , ①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ,连接PE ,交CD 于F ,求出当△CEF 与△COD 相似时,点P 的坐标; ②是否存在一点P ,使△PCD 的面积最大?若存在,求出△PCD 的面积的最大值;若不存在,请说明理由.
2
27.(2013•重庆)如图,已知抛物线y=x+bx+c的图象与x 轴的一个交点为B (5,0),另一个交点为A ,且与y 轴交于点C (0,5).
(1)求直线BC 与抛物线的解析式;
(2)若点M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点,过点M 作MN ∥y 轴交直线BC 于点N ,求MN 的最大值; (3)在(2)的条件下,MN 取得最大值时,若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一点,以BC 为边作平行四边形CBPQ ,设平行四边形CBPQ 的面积为S 1,△ABN 的面积为S 2,且S 1=6S2,求点P 的坐标.
2
28.(2013•湘潭)如图,在坐标系xOy 中,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A (1,0),B (0,2),抛物线
y=x +bx﹣2的图象过C 点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l .当l 移动到何处时,恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分?
(3)点P 是抛物线上一动点,是否存在点P ,使四边形PACB 为平行四边形?若存在,求出P 点坐标;若不存在,说明理由.
2
29.(2014•天水模拟)如图,已知A (﹣4,n ),B (2,﹣4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数象的两个交点;
(1)求反比例函数和一次函数的解析式; (2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积; (3)求不等式
的解集(请直接写出答案).
的图
30.(2013•茂名)如图,反比例函数
的图象与一次函数y=kx+b的图象相交于两点A (m ,3)和B (﹣3,n ).
(1)求一次函数的表达式;
(2)观察图象,直接写出使反比例函数值大于一次函数值的自变量x 的取值范围.
2015年反比例函数与二次函数专题复习
参考答案与试题解析
一.选择题(共9小题)
2
1.(2014•博野县模拟)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,有以下结论:①a+b+c<0;②a ﹣b+c>1;③abc >0;④4a ﹣2b+c<0;⑤c ﹣a >1.其中结论正确的个数是( )
2.(2013•雅安)二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为( )
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3.(2012•资阳)如图是二次函数y=ax+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax +bx+c<0的解集是( )
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4.(2013•株洲)二次函数y=2x+mx+8的图象如图所示,则m 的值是( )
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.(2011•潍坊)已知一元二次方程ax +bx+c=0(a >0)的两个实数根x 1,x 2满足x 1+x2=4和x 1•x 2=3,那么二次函
22
6.如图,已知二次函数y=ax+bx+c的部分图象,由图象可知关于x 的一元二次方程ax +bx+c=0的两个根分别是x 1=1.6,x 2=( ) 22
7.(2009•黔东南州)抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是( )
8.(2014•怀化)已知一次函数y=kx+b的图象如图,那么正比例函数y=kx和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是( )
9.(2014•宁夏)已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)在函数y=的图象上,当x 1>x
2>0时,下列结论正确的是
二.填空题(共11小题)
22210.(2012•融安县一模)将二次函数y=2x﹣4x+7配方成y=a(x+m)+k的形式为
11.(2009•南汇区一模)己知抛物线y=x﹣(a+2)x+9的顶点在x 轴上,则a= 4或﹣8 .
2
12.(2014•扬州)如图,抛物线y=ax+bx+c(a >0)的对称轴是过点(1,0)且平行于y 轴的直线,若点P (4,0)在该抛物线上,则4a ﹣2b+c的值为 0 . 2
13.(2014•长汀县模拟)如图,是二次函数y=ax+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x 轴一交点为
2A (3,0),则由图象可知,不等式ax +bx+c<0的解集是. 2
14.(2013•黄石)若关于x 的函数y=kx+2x﹣1与x 轴仅有一个公共点,则实数k 的值为.
2
15.(2013•德州一模)如图,抛物线y=ax+bx与直线y=kx相交于O (0,0)和A (3,2)两点,则不等式ax +bx<kx 的解集为 0<x <3 .
22
16.(2013•德州)函数y=与y=x﹣2图象交点的横坐标分别为a ,b ,则+的值为 ﹣2 .
17.(2012•黑河)如图,点A 在双曲线
ABCD 为矩形,则它的面积为 2 . 上,点B 在双曲线y=上,且AB ∥x 轴,C 、D 在x 轴上,若四边形
18.(2011•黔南州)如图,⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切,圆心A 和圆心B 都在反比例函数y=的图象上,则图中阴影部分的面积等于 π (结果保留π).
19.(2011•桂林)双曲线y 1、y 2在第一象限的图象如图,
B ,交y 轴于C ,若S △AOB =1,则y 2 ,过y 1上的任意一点A ,作x 轴的平行线交y 2于
20.(2011•遵义)如图,已知双曲线,,点P 为双曲线上的一点,且PA ⊥x
. 轴于点A ,PB ⊥y 轴于点B ,PA 、PB 分别依次交双曲线于D 、C 两点,则△PCD 的面积为
三.解答题(共10小题)
21.(2009•漳州)阅读材料,解答问题.
利用图象法解一元二次不等式:x ﹣2x ﹣3>0.
2解:设y=x﹣2x ﹣3,则y 是x 的二次函数.∵a=1>0,∴抛物线开口向上.
2
又∵当y=0时,x ﹣2x ﹣3=0,解得x 1=﹣1,x 2=3.
2∴由此得抛物线y=x﹣2x ﹣3的大致图象如图所示.
观察函数图象可知:当x <﹣1或x >3时,y >0.
∴x ﹣2x ﹣3>0的解集是:x <﹣1或x >3.
2(1)观察图象,直接写出一元二次不等式:x ﹣2x ﹣3<0的解集是 ;
2(2)仿照上例,用图象法解一元二次不等式:x ﹣1>0.(大致图象画在答题卡上)
22
22.(2014•曲靖模拟)一个涵洞成抛物线形,它的截面如图.现测得,当水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点O 与水面的距离为2.4m .ED 离水面的高FC=1.5m,求涵洞ED 宽是多少?是否会超过1m ?(提示:设涵洞所成抛物线为
2y=ax(a <0))
23.(2014•荆州四月调考)某公司开发了一种新型的家电产品,又适逢“家电下乡”的优惠政策.现投资40万元用于该产品的广告促销,已知该产品的本地销售量y 1(万台)与本地的广告费用x (万元)之间的函数关系满足y 1=.该产品的外地销售量y 2(万台)与外地广告费用t (万元)之间的函数关系可用如图所示的抛物线和线段AB 来表示.其中点A 为抛物线的顶点.
(1)结合图象,求出y 2(万台)与外地广告费用t (万元)之间的函数关系式;
(2)求该产品的销售总量y (万台)与本地广告费用x (万元)之间的函数关系式;
(3)如何安排广告费用才能使销售总量最大?
24.(2014•曲靖模拟)如图,已知二次函数y=ax﹣4x+c的图象与坐标轴交于点A (﹣1,0)和点C (0,﹣5).
(1)求该二次函数的解析式和它与x 轴的另一个交点B 的坐标.
(2)在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P (2,﹣2),连接OP ,找出x 轴上所有点M 的坐标,使得△OPM 是等腰三角形. 2
25.(2013•南充)某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x (元/件)与每天销售量y (件)之间满足如图所示的关系:
(1)求出y 与x 之间的函数关系式;
(2)写出每天的利润W 与销售单价x 之间的函数关系式;若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大,最大利润是多少?
26.(2013•德州)如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB ,O 为坐标原点,OA=1,tan ∠BAO=3,将此三角形
2绕原点O 逆时针旋转90°,得到△DOC ,抛物线y=ax+bx+c经过点A 、B 、C .
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P 是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t ,
①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ,连接PE ,交CD 于F ,求出当△CEF 与△COD 相似时,点P 的坐标; ②是否存在一点P ,使△PCD 的面积最大?若存在,求出△PCD 的面积的最大值;若不存在,请说明理由.
27.(2013•重庆)如图,已知抛物线y=x+bx+c的图象与x 轴的一个交点为B (5,0),另一个交点为A ,且与y 轴交于点C (0,5).
(1)求直线BC 与抛物线的解析式;
(2)若点M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点,过点M
作MN ∥y 轴交直线BC 于点N ,求MN 的最大值;
(3)在(2)的条件下,MN 取得最大值时,若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一点,以BC 为边作平行四边形CBPQ ,设平行四边形CBPQ 的面积为S 1,△ABN 的面积为S 2,且S 1=6S2,求点P 的坐标. 2
28.(2013•湘潭)如图,在坐标系xOy 中,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A (1,0),B (0,2),抛物线y=x +bx﹣
2的图象过C 点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l .当l 移动到何处时,恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分?
(3)点P 是抛物线上一动点,是否存在点P ,使四边形PACB 为平行四边形?若存在,求出P 点坐标;若不存在,说明理由. 2
29.(2014•天水模拟)如图,已知A (﹣4,n ),B (2,﹣4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数象的两个交点;
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积;
(3)求不等式的解集(请直接写出答案). 的图
30.(2013•茂名)如图,反比例函数的图象与一次函数y=kx+b的图象相交于两点A (m ,3)和B (﹣3,n ).
(1)求一次函数的表达式;
(2)观察图象,直接写出使反比例函数值大于一次函数值的自变量x 的取值范围.