简单的线性规划
第8期 简单的线性规划教材解读
四川德阳 李昌辉
一、要点解析
1.二元一次不等式表示平面区域的判断
(1)对于直线AxByC0,只需在此直线的某一侧取一个特殊点x0,y0,从Ax0By0C的正负即可判断AxByC>0(<0)表示直线哪一侧的平面区域。若直线AxByC0不过原点,通常取(0,0)代入。简记为“直线定界,原点定域”。
下方,简记为“同上异下”.
2、简单的线性规划
(1)解线性规划的步骤:
①在平面直角坐标系中作出可行域;
②在可行域内找到最优解所对应的点;
③求出目标函数的最大值或最小值。
(2)解线性规划应用题的步骤:
①列表,转化为线性规划问题;
②找出线性约束条件;
③确定线性目标函数z=f(x,y);
④画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域);
⑤利用线性目标函数作平行直线系f(x,y)=t(t为参数);
⑥观察图形,找到直线f(x,y)=t在可行域上使t取得欲求最值的位置,以确定最优解,给出答案。
二、典例解析
在近几年的高考中对线性规划及应用的考查试题难度不大,试题类型以填空题和选择题为主,也有部分省市考查了线性规划的实际应用,主要考查学生数形结合的解题能力。
(一)选择题:
(2010四川卷理7文8)某加工厂用某原料由车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产
品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为( )
(A)甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱
(B)甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55
(C)甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50(D)甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30解析:设甲车间加工原料x箱,乙车间加工原料yxy7010x6y480
x,yN则
目标函数z=280x+300y
结合图象可得:当x=15,y=55时z最大。 本题也可以将答案逐项代入检验。 答案:B
小结:本题命题意图是考查不等式中的线性规划,的最值问题,考查同学们数形结合的数学思想。
(二)填空题:
(2010安徽卷理13)设x,y满足约束条件
2xy208xy40
x0 , y0,若目标函数zabxy(a0,b0)的最大值为8,则ab的最小值为________。
答案:4
1解析:不等式表示的区域是一个四边形,4个顶点是(0,0),(0,2),(,0),(1,4), 2
易见目标函数在(1,4)取最大值8,
所以8ab4ab4,所以ab4,在ab2时是等号成立。所以ab的最小值为4.
小结:线性规划问题首先作出可行域,若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值,求出直线交点坐标代入得ab4,要想求ab的最小值,显然要利用基本不等式。
(三)解答题
(2010广东卷理19文19)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C。另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和64个单位的维生素C。
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的
营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐? 解:设该儿童分别预订x,y个单位的午餐和晚餐,共花费z元,则z2.5x4y; 可行域为
12x8y64,3x2y16,6x6y42,xy7,6x10y64,3x5y32,
x0,xN,x0,y0,yN.y0. 即
作出可行域如图所示:
经试验发现,当x4,y4时,花
费最少,为2.544426元. 答:应当为该儿童分别预定4个单位
的午餐和4个单位的晚餐。
小结:线性规划问题首先作出可行域,若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值,若区域不封闭,则应对目标函数平移,求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大或最小值。
三、温馨提示
1、不等式中若没有“=”号,平面区域不包括边界,若有“=”,则包括边界;
2、一个二元一次不等式组确定平面上的一个区域,它是组内各不等式所确定的区域的交集;
3、代点法中取试验点的窍门是:如果原点不在划分区域的边界直线上,取原点试验是最简便的,否则就找一个检验所在区域及代入方程计算简单的点;
4、在线性规划的实际应用中,往往在求出最优解的同时要求找出整数最优解,可以用精确图解网格法求整数最优解或利用穷举法求整数最优解。
作者简介:
李昌辉:男,38岁,中国数学会会员、四川省中学数学专委会会员、德阳市教育学会会员、中国数学奥林匹克教练员、四川师范大学课程与教学论数学教育硕士研究生、中学数学教学参考特约编辑、四川师范大学研究生处仿真学校2008级数学教研组组长、四川省考试院特聘高考数学科阅卷教师、2007年全国高考四川省优秀阅卷教师;2005-2007年主研的课题《高中数学教学中学生元认知能力的培养研究》获旌阳区科研课题一等奖,有多篇专业学术论文在权威刊物上发表或获奖,论文《平面向量中元认知能力的培养》获德阳市教科所一等奖,四川省二等奖。
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