高考数学概率与统计部分知识点梳理

高考复习专题之：概率与统计

一、概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

)0时称为不可能事件P(A)=0；１．随机事件A的概率0P(A)1，其中当P(A)1时称为必然事件；当P(A

注：求随机概率的三种方法： （一）枚举法

例1如图1所示，有一电路AB是由图示的开关控制，闭合a，b，c，

d，e五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路．则使电路形成通

路的概率是 ．

分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意

两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。

解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有10种，分别是ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，其中能形成通路的有6种，所以p(通路)=

63

= 105

评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算. （二）树形图法

例2小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，

两人同时出象牌，则两人平局．如果用A、B、C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A1、B1、C1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？

分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。

解：画树状图如图树状图。由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种．所以P（一次出牌小刚胜小明）=

13

点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率 （三）列表法

例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数．请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）组成的两位数是偶数的概率；（2）组成的两位数是6的倍数的概率．

分析：本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数

是6的倍数的可能情况。

解：列的表格如下：根据表格可得两位数有：23，24，32，34，42，43．所以（1）两位数是偶数的概率为

21．（2）两位数是6的倍数的概率为．

33

点评：当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率 2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=

m

。 n

3、互斥事件：（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生）。计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)。 4、对立事件：（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。计算公式是：P（A）+ P(B)＝１；P(A)=1－P(A)；

5、独立事件：（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P(A•B)＝P(A) • P(B) 。提醒：（1）如果事件A、B独立，那么事件A与、与B及事件与也都是独立事件；（2）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（AB）＝1－P(A)P(B)；（3）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（）＝1－P()P()。

6、独立事件重复试验：事件A在n次独立重复试验中恰好发生了的概率Pn(k)Cnp(1p)．．．．．k次．展开式[(1p)p]n的第k+1项)，其中p为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。

提醒：（1）或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：①先设事件A=“„”， B=“„”；②列式计算；③作答。 二、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则ab也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f()也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为：x1,x2,,xi,

ξ取每一个值x1(i1,2,)的概率P(xi)pi，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

k

k

nk

(是二项

112i注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：[0,5]即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次

knk

的概率是：P(ξk)Ck[其中k0,1,,n,q1p] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的npq

knk随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记Ckb(k;np). npq

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4. 几何分布：“k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为Ak，事A不发生记为Ak,P(Ak)q，那么P(ξk)P(A1A2Ak1Ak).根据相互独立事件的概率乘法分式：

k1

P(ξk)P(A1)P(A2)P(Ak1)P(Ak)qp(k1,2,3,)于是得到随机变量ξ的概率分布列.

我们称ξ服从几何分布，并记g(k,p)qp，其中q1p.k1,2,3

5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取n(1nN)件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为P(ξk)

kkCMCNnM

n

CN

(0kM,0nkNM).〔分子是从M件次品中取k件，从

r

0，则k的范围可以写为k=0，1，„，n.〕 N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定m＜r时Cm

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为P(ξk)

nk

CkaCb

C

n

ab

k0,1,,n..

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把ab个产品编号，则抽取n次共有(ab)n个可能结果，等可能：(ηk)含Cab

kn

k

nk

个结果，故P(ηk)

knk

Cknab

(ab)n

Ckn(

aakank

).[我们先为k个次)(1),k0,1,2,,n，即～B(n

ababab

品选定位置，共Ckn种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P(ξk)P(ηk)，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.

1122nn数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2. ⑴随机变量ab的数学期望：EE(ab)aEb ①当a0时，E(b)b，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当a1时，E(b)Eb，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和. ③当b0时，E(a)aE，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ⑵单点分布：Ec1c其分布列为：P(1)c.

⑶两点分布：E0q1pp，其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布：E



k

n!

pkqnknp 其分布列为～

k!(nk)!

B(n,p).（P为发生的概率）

⑸几何分布：E

1

其分布列为～q(k,p).（P为发生的概率） p

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为P(xk)pk(k1,2,)时，则称

D(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn为ξ

的方差. 显然D0，故D.为ξ的根方差或标准差.随机

变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D越小，稳定性越高，波．．．．．．．．．．动越小. ．．．．4.方差的性质.

⑴随机变量ab的方差D()D(ab)a2D.（a、b均为常数） ⑵单点分布：D0 其分布列为P(1)p ⑶两点分布：Dpq 其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布：Dnpq ⑸几何分布：D

qp2

5. 期望与方差的关系.

⑴如果E和E都存在，则E()EE

⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则E()EE,D()DD

⑶期望与方差的转化：DE2(E)

2 ⑷E(E)E()E(E)（因为E为一常数）EE

0. 四、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间[a,b)内的概率等于它与x轴.

直线xa与直线xb所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数f(x)叫做ξ的密度函数，由于“x(,)” 是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：f(x)

12

e



)

(x)222

. （xR,,为常数，且0），

称ξ服从参数为,的正态分布，用～N(,2)表示.f(x)的表达式可简记为N(,2)，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若～N(,2)，则ξ的期望与方差分别为：E,D2. ⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交. ②曲线关于直线x对称.

③当x时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当x＜时，曲线上升；当x＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.

⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为(x)

12e

x2

2

(x)，则称ξ服从标准正态分布. 即

～N(0,1)有(x)P(x)，(x)1(x)求出，而P（a＜ξ≤b）的计算则是P(ab)(b)(a).

注意：当标准正态分布的(x)的X取0时，有(x)0.5当(x)的X取大于0的数时，有(x)0.5.比如

0.50.5必然小于0，如图. ()0.07930.5则⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～N(,2)则ξ

常用F(x)表示，且有P(ξx)F(x)(

xμ

). σ

S阴=0.5Sa=0.5+S

4.⑴“3”原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(,2).②确定一次试验中的取值a是否落入范围(3,3).③做出判断：如果a(3,3)，接受统计假设. 如果a(3,3)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布N(,2)则 ξ落在(3,3)内的概率为99.7％ 亦即落在(3,3)之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.