平面向量的数量积
§5.3 平面向量的数量积
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 从近几年高考试题来看,有关平面向量数量积的问题一直是高考的热点,主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、模与夹角、垂直问题等.常与函数、三角、解析几何等综合在一起命题.
1.数量积的概念
已知两个非零向量a 与b ,我们把数量_________叫做a 与b 的数量积(或内积) ,记
a ·b
作 ,其中θ是a 与b 的夹角,|b |cos θ叫向量b 在a 方向上的 ,即|a |
a ·b 的几何意义:数量积a ·b 等于___________. 2.数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律
①交换律:___________________; ②数乘结合律:____________________; ③分配律:_____________________________. (2)常用结论
①(a ±b ) 2=________________________; ②(a +b )·(a -b ) =_________________; ③ a 2+b 2=0⇔______________________; ④||a |-|b ||________|a |+|b |. 3.数量积的性质
设a ,b 都是非零向量,e 是与b 方向相同的单位向量,θ是a 与e 的夹角,则 ① e ·a =____________. ② a ⊥b ⇔____________.
③当a 与b 同向时,a ·b =____________; 当a 与b 反向时,a ·b =____________. 特别地,a ·a =___________或|a |=____________. ④ cosθ=____________.
b |≤____________. |a ·⑤
4.数量积的坐标表示
设a =(x 1,y 1) ,b =(x 2,y 2) ,则
①a ·b =_____________;a 2=_____________; |a |=________________. ② a ⊥b ⇔____________________.
|x 1x 2+y 1y 2|≤________________________. ③
【自查自纠】 1. |a ||b |cos θ a ·b 投影 a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积 2.(1)①a ·b =b ·a ②(λa )·b =λ(a ·b ) =a ·(λb ) ③(a +b )·c =a ·c +b ·c (2)①a 2±2a ·b +b 2 ②a 2-b 2 ③a =0且b =0 ④≤
3.①|a |cosθ ②a ·b =0 ③|a ||b | -|a ||b |
a ·b
|a |2 a ·a ⑤|a ||b |
|a ||b |
2
4.①x 1x 2+y 1y 2 x 1+y 21
x
1+
y 1
②x 1x 2+y 1y 2=0 x 1+y 1x 2+y 2
辽宁) 已知向量a =(1,-1) ,b =(2,x ) .若a · (2012·b =1,则x =( )
11
A .-1 B
C D .1
22解:a ·b =1×2+(-1)×x =2-x =1, ∴x =1. 故选D .
→→→2
黄冈高三期末) 若AB (2012··BC +AB =0,则△ABC 必定是( ) A .锐角三角形 C .钝角三角形
B .直角三角形 D .等腰直角三角形
→→→2→→→→→→→
解:AB ·BC +AB
=0⇒AB ·(BC +AB ) =0⇒AB ·AC =0⇒AB ⊥AC . 则△ABC 必定是直角三角形.故选B .
北京海淀一模) 若向量a ,b 满足|a |=|b |=|a +b |=1,则a · (2013·b 的值为( ) 11A .- B . C .-1 D .1
22解:∵|a |=|b |=|a +b |=1,∴|a +b |2=(a +b ) 2=a 2+2a ·b
+b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=1,∴2a ·b
1
=-1,故a ·b 故选A .
2
若非零向量a ,b 满足|a |=|b |,(2a +b )·b =0,则a 与b 的夹角θ为________.
1
解:∵(2a +b
)·b =0,∴2|a ||b |cos θ+b 2=0. 由|a |=|b |可得cos θ=-. 故填120°.
2→→全国新课标Ⅱ (2013·) 已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE ·BD =____________.
→→
解:设AB =a ,AD =b ,则|a |=|b |=2. 且a ·b =0. 11→→⎛1⎫∴AE ·BD =⎝b +2a ⎭·(b -a ) =b 2-2=4×4=2. 故填2.
22
类型一 数量积的定义及几何意义
(1)若a ,b ,c 均为非零向量,则下列说法正确的是____________.(填写序号
即可)
|a |·|b |⇔a ∥b ; ①a ·b =±
②a ⊥b ⇔a ·b =0; ③a ·c =b ·c ⇔a =b ;
④(a ·b )·c =a ·(b ·c ) .
解:a ·b =|a ||b |cos θ,θ为a ,b 的夹角,则cos θ=±1,①正确;②显然正确;③错误,如a =-b ,a ⊥c ,则a ·c =b ·c =0,但a ≠b ;④错误,因为数量积的运算结果是一个数,即等式左边为c 的倍数,等式右边为a 的倍数.故填①②.
→→山东省实验中学第一次诊断) △ABC 的外接圆的圆心为O ,(2)(2012·半径为1,若AB +AC →→→→=→,则向量BA =2AO ,且OA 在向量BC 方向上的投影为( ) AC
||||
3
A .
2C .3
B .
3 23 2
D 解:由已知可以知道,△ABC 的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处,因此△ABC 是直
πππ→→=→,∴角三角形.且∠A OA ∠C =∠B ∴AB =3,AC =1,故BA 在CA 236
||||
→→cos π=3故选BC 方向上的投影为BA
62
||
A .
x 1x 2+y 1y 2(其中两向量夹角为θ,a =a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上与投影概念的基础上,利用二者的关系
【评析】数量积a ·b =|a ||b |cosθ=(x 1,y 1) ,b =(x 2,y 2)) .其几何意义是:的投影|b |cosθ的乘积.在理解数量积解题.
辽宁协作体) 用向量证明:对任意实数x 1,x 2,y 1,y 2有x 1x 2+ (1)(2012·
y 1y 2x 1+y 1x 2+y 2.
证明:设向量a =(x 1,y 1) ,b =(x 2,y 2) ,a ,b 的夹角为θ,则x 1+y 1=|a |x 2+y 2=|b |,
x 1x 2+y 1y 2=a ·b ,
又∵a ·b =|a ||b |cos θ≤|a ||b |=x 1+y 1x 2+y 2.
∴x 1x 2+y 1y 2x 1+y
1x 2+y 2.
→→湖北) 已知点A (-1,1) ,B (1,2) ,C (-2,-1) ,D (3,4) ,则向量AB (2)(2013·在CD 方
向上的投影为 ( )
3A .
2
315B 2315D .-
2
32C .-
2
→→→→解:∵AB =(2,1) ,CD =(5,5) ,∴由向量数量积的几何意义知向量AB 在CD 方向上→→
AB ·CD 1532→→→
的投影为|AB |cos〈AB ,CD 故选A .
→2
5+5|CD |
类型二 数量积的基本运算
2π
已知e 1,e 2a =e 1-2e 2,b =k e 1+e 2,若a ·b =0,
3
则实数k 的值为________.
12
解:因为a ·b =(e 1-2e 2)·(k e 1+e 2) =k e 2+(1-2k )(e ·e ) -2e ,且|e |=|e |=1,e ·e =-,11221212
2
⎛-1-2=0,解得k =5. 5. 所以k +(1-2k )·⎝244
【评析】实数与数量积的运算虽有诸多相似之处,但应明确二者的区别,如a ·b =0a 或b 为0,a ·b =a ·c b =c ,(a ·b )·c ≠a
·(b ·c ) 等.
已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角θ=60°,则(a +2b )·(a -3b ) =________.
解:(a +2b )·(a -3b ) =a ·a -a ·b -6b ·b =|a |2-|a ||b |cosθ-6|b |2=62-6×4×cos60°-6×42=-
72. 故填-72.
类型三 用数量积表示两个平面向量的垂直关系
福建) 已知向量a =(x -1,2) ,b =(2,1) ,则a ⊥ (1)(2012·b 的充要条件是( ) 1
A .x =- B .x =-1 C .x =5 D .x =0
2
解:由向量垂直的充要条件得2(x -1) +2=0,所以x =0. 故选D .
辽宁) 已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是( ) (2)(2012·A .a ∥b
C. |a |=|b |
B .a ⊥b D .a +b =a -b
2
2
|a +b |=|a -b |,∴|a +b |=|a -b |, 解法一:∵
∴a 2+2a ·b +b 2=a 2-2a ·b +b 2,得a ·b =0,∴a ⊥b .
|a +b |=|a -b |,解法二:a +b ,a -b 分别是以a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线.∵
∴平行四边形的对角线相等.∴该平行四边形为矩形,∴a ⊥b . 故选B .
【评析】两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0,即:a =(x 1,y 1) ,b =(x 2,y 2) ,则a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立,因为我们又可视零向量与任意向量垂直.
安徽) 设向量a =(1,2m ) ,b =(m +1,1) ,c =(2,m ) ,若(a +c ) ⊥ (1)(2012·b ,
则|a |=_____.
1解:a +c =(3,3m ) ,(a +c )·b =3(m +1) +3m =0⇒m |a |=2.
2
广西) 已知向量m =(λ+1,1) ,n =(λ+2,2) ,若(m +n ) ⊥(2)(2013·(m -n ) ,则λ=( ) A .-4 B .-3 C .-2 D .-1
解:易知m +n =(2λ+3,3) ,m -n =(-1,-1) ,∵(m +n ) ⊥(m -n ) ,∴(m +n )·(m -n ) =0,∴-2λ-3-3=0,解得λ=-3. 故选B .
类型四 向量的夹角与模
(1)已知|a |=|b |=2,(a +2b )·(a -b ) =-2,则a 与b 的夹角为________.
解:设a 与b 的夹角为θ,由(a +2b )·(a -b ) =-2得|a |2+a ·b -2|b |2=4+2×2×cos θ-2×4
1ππ
=-2,解得cos θ∴θ=
233
韶关第一次调研) 平面向量a 与b 的夹角为60°(2)(2012·,a =(2,0) ,|b |=1,则|a +b |=( )
3
2
B. 7 C .3 D .7
解:|a +b |=a 2+2a ·b +b 2=7,故|a +b |7. 故选B .
【评析】由向量数量积的定义a ·b =|a ||b |cosθ(θ为a ,b 的夹角) 可知,数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一,再考虑到数量积还可以用坐标表示,因此又可以借助坐标进行运算.当然,无论怎样变化,其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高,应熟练掌握其解法.
(1)若平面向量α,β满足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β为邻边的平行四边形的
1
面积为,则α和β的夹角θ的取值范围是________.
2
111⎡π5π⎤. 解:由题意得,|α||β|sinθ=,∵|α|=1,|β|≤1,∴sin θ=. 又∵θ∈(0,π),∴θ∈⎣66⎦22|β|2π5π故填⎡⎣6,6.
(2)若a ,b ,c 均为单位向量,且a ·b =0,(a -c )·(b -c )≤0,则|a +b -c |的最大值为( ) 2-1
B .1
2
D .2
解:|a +b -c |=(a +b -c )
=a +b +c +2a ·b -2a ·c -2b ·c ,
由于a
·b =0,a ,b ,c 为单位向量,所以上式=3-2c ·(a +b ),又由于(a -c )·(b -c ) ≤0,得(a +b )·c ≥c 2=1,所以|a +b -c |=3-2c ·(a +b )≤1,故选B.
类型五 几何图形中向量的数量积
→→→→→→
(1)在边长为1的正三角形ABC 中,设BC =2BD ,CA =3CE ,则AD ·BE =
________.
解法一:由题知,D 为BC 的中点,E 为CA 的三等分点,以D 为原点,以BC 所在的直线为x 轴,以AD 所在的直线为y 轴,建立如图平面直角坐标系,可得A ⎛03⎫
,D (0,2⎭
⎝
13315→→→→0⎫,E ⎛⎫,故AD =⎛0,-⎫,BE =⎛,所以AD ·0) ,B ⎛BE =-=⎝2⎭⎝36⎭262⎭⎝⎝661-4
1→→⎛→1→⎫⎛
→1→⎫BC 求解.故填- 解法二:由AD ·BE =⎝AB +2BC ⎭·3⎭⎝4
→→北京) 已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点.则DE (2)(2012··CB 的值为→→
____________;DE ·DC 的最大值为____________.
→→→→→→→→=1. 解:DE ·CB =(DA +AE )·CB =DA ·CB =DA
||
2
→→→→→→→
DE ·DC =(DA +AE )·DC =AE ·DC . 当E 与B 重合时该式取最大值1. 故填1;1.
→→浙江) 在△ABC 中,(3)(2012·M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB ·AC =____________. →→→→→→→→→→→→→解法一:AB ·AC =(AM +MB )·(AM +MC ) =AM 2+AM ·(MB +MC ) +MB ·MC =AM 2+
→→MB ·MC =9-25=-16.
→→→→→→→→→
解法二:因为AB +AC =2AM ,AB -AC =CB ,两式分别平方、相减得4AB ·AC =4AM 2
→→→-CB 2=4×9-100=-64,故AB ·AC =-16. 故填-16.
【评析】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是:①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易) ;②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难) ;③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.
→→
(1)在正三角形ABC 中,D 是BC 上的点,若AB =3,BD =1,则AB ·AD =________.
1515→→→→→
解:如图所示,AB ·AD =AB ·(AB +BD ) =9+3×cos120°=,故填22
江苏) 如图,在矩形ABCD 中,AB 2,BC =2,点E 为BC 的中点,点F 在 (2)(2012·
→→→→
边CD 上,若AB ·AF 2,则AE ·BF 的值是____________.
→→
解法一:以A 为坐标原点,AB ,AD 的方向分别为x ,y 轴正方向建立直角坐标系,则B 2,→→0) ,E 2,1) ,D (0,2) ,C ,2) .∴AB =2,0) ,AE =2,1) ,
→→
设点F 为(x ,2) ,则由AB ·AF 2,得2x =2,∴x =1. →∴BF =(1-2,2) ,
→→∴AE ·BF 2(12) +22.
→→→→→→=1,→2-1. 解法二:AB ·AF =AB ·(AD +DF ) 2⇒DF CF
||
||
→→→→→→∴AE ·BF =(AB +BE )·(BC +CF ) →→→→→→→→=AB ·BC +AB ·CF +BE ·BC +BE ·CF =02×2-1) +1×2+0=2. 故填2.
→→湖南) 如图,在平行四边形ABCD 中,AP ⊥(3)(2012·BD ,垂足为P ,且AP =3,则AP ·AC =
__________.
→→→→→→→→→→→→解:设AC ∩BD =O ,则AC =2(AB +BO ) ,AP ·AC =AP ·2(AB +BO ) =2AP ·AB +2AP ·BO =→→→→→→2AP ·AB =2AP ·(AP +PB ) =2AP 2=18.
故填18.
1.平面向量的加法、减法及数乘运算的结果仍是一个向量,但是平面向量数量积运算的结果不是一个向量,而是一个实数.
2.注意平面向量的数量积与数的乘法的区别:在数的乘法中,若ab =0,则a ,b 中至少有一个为0. 但在向量的数量积中,由a ·b =0不能推得a =0或b =0,因为当两个非零向量a ,b 垂直时,也有a ·b =0. 特别应注意平面向量的数量积不满足结合律,即(a ·b )·c =a ·(b ·c ) 不一定成立.
3.注意两个非零向量a ,b 的夹角与a ,b 所在直线的夹角的区别.前者的取值范围是
π0,⎤. [0,π],后者的取值范围是⎡⎣2⎦
4.求向量模的常用方法:利用公式|a|2=a 2即|a |=a 将模的运算转化为向量的数量积. 5.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.