什么情况下周期信号的傅里叶变换存在
什么情况下周期信号的傅里叶变换存在
典型非周期信号(如指数信号,矩形信号等)都是满足绝对可积（或绝对可和）条件的能
量信号，其傅里叶变换都存在，但绝对可积（或绝对可和）条件仅是充分条件,而不是必要条件。引入了广义函数的概念，在允许傅里叶变换采用冲激函数的前提下,使许多并不满足绝对可积条件的功率信号(周期和非周期的)以及某些非功率、非能量信号都可以获得傅里叶变换。这样就可以把周期信号和非周期信号的分析方法统一起来, 也可把周期信号的傅里叶级数与傅里叶变换统一起来，使傅里叶变换得到更广泛的应用。
由于在这一类并不满足绝对可积条件周期信号的傅里叶变换中,一般都存在有冲激函
数,所以把它们称为含有冲激函数的傅里叶变换。
广义函数的定义 在信号与系统分析中常遇到一类信号,它本身包含不连续点,或其导数与积分存在不连续点,而且不能以普通函数的概念来定义,而只能以“分配函数”(DistributionFunction)或称为“广义函数”(Generalized Function)的概念来研究的信号,称为奇异信号。
1. 含有冲激函数的傅里叶变换
∞=∞
-jΩt
δ(t)⇔F(Ω)=
1⇔2πδ(Ω)
⎰
δ(t)edt
t=0
=1
sgn(t)⇔
2jΩ
u(t)⇔πδ(Ω)
1jΩ
e
jΩ0t
⇔2πδ(Ω-Ω0)
cosΩ0t⇔π[δ(Ω+Ω0)+δ(Ω-Ω0)] sinΩ0t⇔jπ[δ(Ω+Ω0)-δ(Ω-Ω0)]
周期信号的傅里叶变换
从周期信号的傅里叶级数开始,令周期信号的周期趋于无穷大,这样,周期信号就变成非周期信号,于是傅里叶级数演变成傅里叶变换,周期信号的离散频谱过渡成连续频谱。傅里叶级数用于周期信号的频谱分析,而傅里叶变换则用于非周期信号的频谱分析。现在,我们利用冲激函数的概念,从而可以将傅里叶级数看做傅里叶变换的特殊情况。
设fp(t))是以T0为周期的周期信号,其傅里叶级数表示式为
∞
fp(t)=
∑
k=-∞
ake
jkΩ0t
Ω0=
2πT0
两边取傅里叶变换,得
∞
∞
F[fp(t)]=F(Ω)=F[
∞
∑
k=-∞
ake
jkΩ0t
]=
∑
k=-∞
akF[e
jkΩ0t
]
=2π
ak=
∑
k=-∞
akδ(Ω-kΩ0)
1T0
⎰
T0
fp(t)e
-jkΩ0t
dt
上式表明,周期信号的傅里叶变换或频谱密度函数是由(无穷多个)冲激函数所组成，位于 谐波频率kΩ0处冲激函数的强度是第k个傅里叶级数系数ak2π倍。
举例
1.周期方波信号的傅里叶变换
图1 周期方波
图2 周期方波傅里叶级数的系数
图2有限项fNp (t)近似周期方波f p (t)的傅里叶级数表示式(说明吉伯斯现象)
图3 周期方波的傅里叶系数及其包络
由前面分析 ak=
sinkΩ0T1
kπ
∞
F(Ω)=2
∑
k=-∞
sinkΩ0T1
k
δ(Ω-kΩ0)
3.4.3频谱零内插
对于整数尺度变换因子,频谱系数ak 对ak/N 的零内插导致一个N倍的信号压缩。此时 被压缩信号的一个周期包括了原信号的N个“拷贝”。用公式表示为: f p (Nt)(被压缩N倍的信号)＼a k/N (N点零内插)(3-45) 图3-13示出将原始信号压缩2倍来解释这个结果。
图3-13 信号压缩导致频谱的零内插