高中导数练习题
导数
【考点透视】
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念.
2.熟记基本导数公式;掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数.
3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 【例题解析】 考点1 导数的概念
对概念的要求:了解导数概念的实际背景,掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1. f '(x ) 是f (x ) =
13
x +2x +1的导函数,则f '(-1) 的值是 3
2
2
[解答过程] f '(x ) =x +2, ∴f '(-1) =(-1)+2=3.
例2. 设函数f (x ) =x -a , 集合M={x |f (x ) 0}, 若M P , 则实数a 的取值范围是
x -1
( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [解答过程]由x -a 1时,1x -1
x -a a -1⎛x -a ⎫x -1-(x -a ) y =, ∴y /= =>0. ⎪=22x -1⎝x -1⎭x -1x -1()()
/
∴a >1.
综上可得M P 时, ∴a >1.
例3. 若曲线y =x 4的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直,则l 的方程为( )
A .4x -y -3=0 B .x +4y -5=0
C .4x -y +3=0 D .x +4y +3=0
[解答过程]与直线x +4y -8=0垂直的直线l 为4x -y +m =0,即y =x 4在某一点的导数为4,而y '=4x 3,所以y =x 4在(1,1) 处导数为4,此点的切线为4x -y -3=0. 故选A.
例4. 已知两抛物线C 1:y =x 2+2x , C 2:y =-x 2+a , a 取何值时C 1,C 2有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.
解答过程:函数y =x 2+2x 的导数为y ' =2x +2,曲线C 1在点P(x 1, x 12+2x 1) 处的切线方程为
22
y -(x 1+2x 1) =2(x 1+2)(x -x 1) ,即 y =2(x 1+1) x -x 1 ①
曲线C 1在点Q (x 2, -x 22+a ) 的切线方程是y -(-x 2+a ) =-2x 2(x -x 2) 即
y =-2x 2x +x 22+a ② 若直线l 是过点P 点和Q 点的公切线,则①式和②式都是l 的方程,故得
22
x 1+1=-x 2, -x 1=x 2+1,消去x 2得方程,2x 1+2x 1+1+a =0
2
若△=4-4⨯2(1+a ) =0,即a =-1时,解得x 1=-1,此时点P 、Q 重合.
2
2
∴当时a =-1,C 1和C 2有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为y =x -1 .
2
4
考点3 导数的应用
1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值); 5. 构造函数证明不等式. 典型例题
例5.函数f (x ) 的定义域为开区间(a , b ) ,导函数f '(x ) 在(a , b ) 内的图象如图所示,则函数f (x ) 在开区间(a , b ) 内有极小值点( )
A .1个 B .2个 C .3个 D . 4个
[解答过程]由图象可见, 在区间(a,b )内的图象上有2个极小值点. 故选B.
例6 .设函数f (x ) =2x 3+3ax 2+3bx +8c 在x =1及x =2时取得极值. (Ⅰ)求a 、b 的值;
(Ⅱ)若对于任意的x ∈[0,3],都有f (x )
2
思路启迪:利用函数f (x ) =2x 3+3ax 2+3bx +8c 在x =1及x =2时取得极值构造方程组求a 、b 的值.
解答过程:(Ⅰ)f '(x ) =6x +6ax +3b ,
因为函数f (x ) 在x =1及x =2取得极值,则有f '(1)=0,f '(2)=0.
2
即⎨
⎧6+6a +3b =0,
⎩24+12a +3b =0.
解得a =-3,b =4.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f (x ) =2x -9x +12x +8c ,
3
2
f '(x ) =6x 2-18x +12=6(x -1)(x -2) .
当x ∈(0,1) 时,f '(x ) >0; 当x ∈(1,2) 时,f '(x ) 0.
所以,当x =1时,f (x ) 取得极大值f (1)=5+8c ,又f (0)=8c ,f (3)=9+8c .
3]时,f (x ) 的最大值为f (3)=9+8c . 则当x ∈[0,
3],有f (x )
2
所以 9+8c 9,
因此c 的取值范围为(-∞,-1) (9,+∞) .
例7.设函数f (x )=ax -(a +1)ln(x +1),其中a ≥-1,求f (x ) 的单调区间.
[考查目的]本题考查了函数的导数求法, 函数的极值的判定, 考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力
[解答过程]由已知得函数f (x ) 的定义域为(-1, +∞) ,且f ' (x ) =ax -1(a ≥-1),
x +1
(1)当-1≤a ≤0时,f ' (x ) 0时,由f ' (x ) =0, 解得x =1.
a
f ' (x ) 、f (x ) 随x 的变化情况如下表
从上表可知
当x ∈(-1, 1) 时,f ' (x )
a
a
当x ∈(1, +∞) 时,f ' (x ) >0, 函数f (x ) 在(1, +∞) 上单调递增.
a
a
综上所述:当-1≤a ≤0时,函数f (x ) 在(-1, +∞) 上单调递减.
当a >0时,函数f (x ) 在(-1, 1) 上单调递减,函数f (x ) 在(1, +∞) 上单调递增.
a
a
典型例题
例8. 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? [考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程]设长方体的宽为x (m ),则长为2x (m),高为 h =
18-12x
=4. 5-3x (m)4
3⎫⎛
0<x ⎪.
2⎭⎝
故长方体的体积为
V (x ) =2x 2(4. 5-3x ) =9x 2-6x 3(m3)
3
(0<x <).
2
从而V '(x ) =18x -18x 2(4. 5-3x ) =18x (1-x ).
令V ′(x )=0,解得x =0(舍去)或x =1,因此x =1. 当0<x <1时,V ′(x )>0;当1<x <
2
时,V ′(x )<0, 3
故在x =1处V (x )取得极大值,并且这个极大值就是V (x )的最大值。
从而最大体积V =V ′(x )=9×12-6×13(m 3),此时长方体的长为2 m,高为1.5 m. 答:当长方体的长为2 m时,宽为1 m,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为3 m3。
1. y=e sin x cos(sinx ) ,则y ′(0)等于( ) A.0
B.1
x +5
C. -1 D.2
2. 经过原点且与曲线y =x +9相切的方程是( ) A. x +y =0或x +y =0
25
B. x -y =0或x +y =0
25
C. x +y =0或x -y =0
25
D. x -y =0或x -y =0
25
3. 设f (x ) 可导,且f ′(0)=0,又lim f '(x ) =-1, 则f (0)( )
x →0
x
A. 可能不是f (x ) 的极值 C. 一定是f (x ) 的极小值
B. 一定是f (x ) 的极值 D. 等于0
4. 设函数f n (x )=n 2x 2(1-x ) n (n 为正整数) ,则f n (x ) 在[0,1]上的最大值为( ) A.0
B.1
C. (1-2) n
2+n
D. 4(n ) n +1
n +2
5、函数y=(x2-1) 3+1在x=-1处( )
A 、 有极大值 B 、无极值 C 、有极小值 D 、无法确定极值情况
6.f(x)=ax3+3x2+2,f ’(-1)=4,则a=( )
A 、10 B 、13 C 、16 D 、19
3
3
3
3
7. 过抛物线y=x2上的点M (1, 1)的切线的倾斜角是( )
24
A 、300 B 、450 C 、600 D 、900
8. 函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是( )
A 、(0,1) B 、(-∞,1) C 、(0,+∞) D 、(0,1)
2
9. 函数y=x3-3x+3在[-3,
25
2
]上的最小值是( )
C 、33 D 、5
8
A 、
89 B 、1 8
10、若f(x)=x3+ax2+bx+c,且f(0)=0为函数的极值,则( ) A 、c ≠0 B 、当a>0时,f(0)为极大值 C 、b=0 D 、当a
11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是( ) A 、(2,3)
B 、(3,+∞)
C 、(2,+∞)
D 、(-∞,3)
12、方程6x 5-15x 4+10x3+1=0的实数解的集合中( )
A 、至少有2个元素 B 、至少有3个元素 C 、至多有1个元素 D 、恰好有5个元素
13. 若f ′(x 0)=2,lim f (x 0-k ) -f (x 0) =_________.
k →0
2k
14. 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ), 则f ′(0)=_________.
15. 函数f (x )=loga (3x 2+5x -2)(a >0且a ≠1) 的单调区间_________.
16. 在半径为R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_________时它的面积最大. 三、解答题
17. 已知曲线C :y =x 3-3x 2+2x , 直线l :y =kx , 且l 与C 切于点(x 0, y 0)(x 0≠0) ,求直线l 的方程及切点坐标.
18. 求函数f(x)=p2x 2(1-x)p (p∈N +) ,在[0,1]内的最大值.
19. 证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数. 20. 求函数的导数 (1)y =(x 2-2x +3)e 2x ; (2)y =x .
1-x
21. 有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动,求当其下端离开墙脚1.4 m时,梯子上端下滑的速度. 22. 求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n
-1
,(x ≠0, n ∈N *).
23. 设f (x )=ax 3+x 恰有三个单调区间,试确定a 的取值范围,并求其单调区间. 24. 设x =1与x =2是函数f (x )=a ln x +bx 2+x 的两个极值点. (1)试确定常数a 和b 的值;
(2)试判断x =1,x =2是函数f (x ) 的极大值还是极小值,并说明理由.
25. 已知a 、b 为实数,且b >a >e , 其中e 为自然对数的底,求证:a b >b a . 26. 设关于x 的方程2x 2-ax -2=0的两根为α、β(α<β), 函数f (x )=4x -a .
x 2+1
(1)求f (α) ·f (β) 的值;
(2)证明f (x ) 是[α,β]上的增函数;
(3)当a 为何值时,f (x ) 在区间[α,β]上的最大值与最小值之差最小?