快乐假期3-3
勾股定理复习导航
一、知识要点回顾
1、勾股定理
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c ,那么 a2 + b2= c2。 公式的变形:
a2 = c2- b2, b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理
如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点:
①、已知的条件:某三角形的三条边的长度.
②、满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③、得到的结论:
这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角.
④、如果不满足条件(2),就说明这个三角形不是直角三角形。
二、考点剖析
1、应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高
例1、如图1所示,等腰,则中, cm. ,
是底边上的高,若 2、应用勾股定理在三角形中求边长
例2、如图2,已知△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,则边BC的长为( )
A.21 B.15 C.6 D.以上答案都不对
3、应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题
例3、某楼梯的侧面视图如图3所示,其中米,,
,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的长度
应为 .
4、应用勾股定理解决梯子问题
例4、长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角,如图4所示,则梯子的顶端沿墙面升高了 m.
5、应用勾股定理解决勾股树问题
例5、如图6所示,是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是:
A.13 B.26 C.47 D.94
6、应用勾股定理解决阴影面积问题
例6、已知:如图7所示,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积
为 .
分析:
用直角边表示直角三角形的面积,是问题解决的关键。
解:等腰直角三角形AEC的面积是:
×,且2=;等腰直角三角形ABD的面积是:
×,且2=;等腰直角三角形BCF的面积是:
所以,阴影部分的面积和为:
×,且2=;
+
+=(2+2+2) =(++),
在直角三角形ABC 中,根据勾股定理,得:+=,
所以,
+
+=(2+2+2) =×2×
==×=。
7、应用勾股定理解决数学风车问题
例7、图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中,若直角边AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图乙所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长(图乙中的实线)是______________
。
分析:
因为,直角边AC=6,BC=5,当将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍后,得到四个直角边分别是12和5的直角三角形,所求的最长实边恰好是这些直角三角形的斜边长,因此,斜边长为:
边长是6,所以,这个风车的外围周长为:4×13+4×6=76。
解:这个风车的外围周长为76。
例8、如图10所示,某港口P位于东西方向的海岸线上,“远航号”和“海天号”两艘轮船同时从港口离开,各自沿着一个固定的方向航行。“远航号”每小时航行16海里,“海天号”每小时航行12海里,它们离开港口一个半小时后,两船相距30海里,如果知道“远航号”的航行方向是东北方向,你能知道“海天号”是沿着哪个方向航行吗 ?
=13,较短的实