高中数学竞赛典型题目一

数学竞赛典型题目（一）

1.(2004美国数学竞赛) 设a 1, a 2, , a n 是整数列, 并且他们的最大公因子是1.

令S 是一个整数集, 具有性质:

（1）a i ∈S (i =1, 2, , n )

（2） a i -a j ∈S (i , j ∈{1, 2, , n }), 其中i , j 可以相同

（3）对于x , y ∈S ，若x +y ∈S ，则x -y ∈S

证明：S 为全体整数的集合。

2．(2004美国数学竞赛) a , b , c 是正实数，证明：

(a 5-a 2+3)(b 5-b 2+3)(c 5-c 2+3) ≥(a +b +c ) 3

1003．(2004加拿大数学竞赛)T 为2004的所有正约数的集合，求集合T 的子集

S 中的最大可能的元素个数。其中S 中没有两个元素，一个是另一个的倍数。

4．(2004英国数学竞赛) 证明：存在一个整数n 满足下列条件：

（1）n 的二进制表达式中恰好有2004个1和2004个0；

（2）2004能整除n .

5．(2004英国数学竞赛) 在0和1之间，用十进制表示为0. a 1a 2 的实数x 满足：在表达式中至多有2004个不同的区块形式，a k a k +1 a k +2003(1≤k ≤2004) ，证明：x 是有理数。

6．(2004亚太地区数学竞赛) 求所有由正整数组成的有限非空数集S ，满足：如果m , n ∈S ，则m +n ∈S (m , n )

7．(2004亚太地区数学竞赛) 平面上有2004个点，并且无三点共线，S 为通过任何两点的直线的集合。证明：点可以被染成两种颜色使得两点同色当且仅当S 中有奇数条直线分离这两点。

⎡(n -1)! ⎤8．(2004亚太地区数学竞赛) 证明：⎢2(n ∈N *) 是 偶数。 ⎥⎣n +n ⎦

9．(2004亚太地区数学竞赛) x , y , z 是正实数，证明：

(x 2+2)(y 2+2)(z 2+2) ≥9(xy +yz +zx )

10．（2003越南数学竞赛）函数f 满足f (cotx ) =cos 2x +sin 2x (0

11．（2003越南数学竞赛）定义p (x ) =4x 3-2x 2-15x +9, q (x ) =12x 3+6x 2-7x +1，证明：

（1）每个多项式都有三个不同的实根；

（2）令A 为p (x ) 的最大实根，B 为q (x ) 的最大实根，证明：A 2+3B 2=4

12．（2003越南数学竞赛）令F 为所有满足f :R +→R +且f (3x ) ≥f [f (2x )]+x 对任意x ∈R +成立的函数f 的集合。求最大实数A 使得f (x ) ≥Ax 对所有f ∈F , x ∈R +都成立。

13．（2003美国数学竞赛）证明：对于每个n ，我们可以找到一个n 位数，他的所有数字都是奇数，并且可以被5n 整除。

14．（2003美国数学竞赛）一个凸多边形的所有边和所有对角线都是有理数，连接所有的对角线将多边形分成若干的小凸边形，证明：所有小多边形的边长都是有理数。

15．（2003巴尔干数学竞赛）一个矩形ABCD 的边AB =m , AD =n , 其中m , n 是互质的奇数。矩形被分成了mn 个单位正方形，对角线AC 交单位正方形于点

AC A 1=A , A 2, A 3, , A N =C ，证明：A 1A 2-A 2A 3+A 3A 4- +(-1) N A N -1A N =mn

16．（2002美国数学竞赛）S 为含有2002个元素的集合，并且P 是Ｓ所有子集的集合，证明：对于任意n (0≤n ≤P ) ，我们可以将Ｐ的n 个元素染成白色，其余染成黑色，使得Ｐ的任何两个具有相同元素的并集仍有相同的颜色。

17．（2002美国数学竞赛）求所有定义在实数集上的实值函数满足：f (x 2-y 2) =xf (x ) -yf (y ) 对于任意实数x , y 成立。

18．（2001美国数学竞赛）非负实数x , y , z 满足x 2+y 2+z 2+xyz =4，证明：

xyz ≤xy +yz +zx ≤xyz +2

19．（2002巴尔干数学竞赛）数列

{a n }:a 1=20, a 2=30, a n +1=3a n -a n -1，求所有n 使5a n a n +1+1是完全平方数。

20．（2002巴尔干数学竞赛）Ｎ为正整数的集合，求所有f :N →N 使得

f (f (n )) +f (n ) =2n +2001或2n +2002

21．（2009年协作体）求证：存在无穷多个棱长都是整数的长方体，使其满足每个面的面积都是两个数的平方和，并且其体积等于对角线的平方。

22．（200１巴尔干数学竞赛）一个凸五边形的边长是有理数，并且５个角相等，证明：它是正五边形。

23．（200１巴尔干数学竞赛）正实数a , b , c 满足abc ≤a +b +c ，证明：a 2+b 2+c 2≥abc

24．（200１加拿大数学竞赛）A 0, A 1, A 2位于半径为１的圆上，并且A 1A 2不是直径，点列{A n }定义如下：A n 是∆A n -1A n -2A n -3的外心，证明：A 1, A 5, A 9, A 13 共线，并求所有的A 1, A 2使得A 1A 1001是一个整数的５０次幂。 A 1001A 2001

25．（2002年越南数学竞赛）n 为正整数，证明：方程1111+2+ +2=有唯一的解x n >1，且n →∞时，x n →4 x -12x -1n x -12

26．（2001年越南）对于实数a , b 定义如下数列：x 0, x 1, x 2, . 由x 0=a ，x n +1=x n +b sin x n 确定

（1）若b =1. 证明：对于任何a ，数列有极限;

（2）若b >2. 证明：对于某些a ，数列没有极限.

27．（2000年越南）定义一个正实数序列：x 0, x 1, x 2, . x 0=b ，x n +1=c -c +x n . 求所有实数c ，使得对所有b ∈(0, c ) ，数列存在极限.

2k 是正整数，28．（2002波兰数学竞赛）数列{a n }:a 1=k +1, a n +1=a n -ka n +k ，