专题:函数单调性_(教师用)
函数的单调性
一、函数单调性的证明
题型一:用定义证明函数的单调性
例1、判断函数f (x )=-x 3+1在(-∞,0) 上是增函数还是减函数,并证明你的结论;如果x ∈(0,+∞),函数f (x ) 是增函数还是减函数?
3解:f (x ) =-x +1在(-∞,0) 上
是减函数,证明如下:
在(-∞,0) 上任取x 1, x 2, 且x 1
f (x 1) -f (x 2) =(-x 13+1) -(-x 23+1)
2=(x 2-x 1)(x 12+x 1x 2+x 2)
x 32⎤⎡=(x 2-x 1) ⎢(x 1+2) 2+x 2 24⎥⎣⎦
又 x 2-x 1>0, x 32 (x 1+2) 2+x 2>024
∴f (x 1) -f (x 2) >0, 即f (x 1) >f (x 2)
所以f(x)在(-∞,0) 上是减函数
练习:1 证明函数f(x)=x{ EMBED Equation.3 |+x在R 上是单调增函数。(配方法) 2 证明函数f (x )= -在定义域上是减函数。(分子有理化)
3 讨论函数f(x)=在x(-1,1)上的单调性,其中a 为非零常数 (含字母参数时,要讨论参数范围)
题型二:图象法对单调性的判断
例1:指出下列函数的单调区间:
1)y =x 2-1( (2)y =-x 2+
2x +3
题型三:利用已知函数单调性进行判断
例1:判断函数
2 y = ( x + 2 ) 4 , 在(1,+∞) 上的单调性. 2,x +x (+2) 2-4
而当x >1时,u =(x +2) 2-4
3为正数且增函数,
结论1:y =f (x )(f (x ) 恒不为0),与 的单调性相反.
结论2: y =f (x ) 与y =kf (x ) 当k >0时,单调性相同;当k
结论3:若f (x ) 与g (x ) 在R 上是增函数,则f (x )+g (x ) 也是增函
结论4:若f (x ) 在R 上是增函数, g (x ) 在R 上是减函数,则f (x ) -g (x ) 也是增函数. 结论5:若f (x )(其中f (x )>0)在某个区间上为增函数,则也是增函数.
题型四:抽象函数的单调性
没有具体的函数解析式的函数,我们称为抽象函数,根据题目研究抽象函数的单调性,是一类重要的题型,证明抽象函数的单调性常用定义法;还有一类型的题目是利用抽象函数的单调性求参数范围。
例1 已知函数f(x)对任意x,yR, 总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x0时,f(x)0,f(1)=--,.
(1) 求证f(x)在R 上是减函数。
(2) 求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值。
练习:
1. 定义域在(0,+)上的函数f(x)满足(:1)f(2)=1; (2) f(xy)=f(x)+f(y); (3) 当xy 时,有f(x)f(y),
若f(x)+f(x-3)2,求x 的取值范围。
2. 已知函数f(x)的定义域为R ,且f()=2,对任意m ,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,当x 时,f(x).
(1).求f(-)的值。 (2)求证f(x)在定义域R 上是增函数。
题型五:复合函数f [g (x )]由f (x ) 和g (x ) 的单调性 1、定义:
设y=f(u),u=g(x),当x 在u=g(x)的中变化时,u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化,因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系,记为y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数,其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量(即函数)
2、复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:
函数 单调性
增 增 减 减
增 减 增 减
增 减 减 增
例1、已知,求的单调性。
例2:设y=f(x ) 的单增区间是(2,6) ,求函数y=f(2-x ) 的单调区间.
解:令t (x ) =2-x , 则由已知得
f (t ) 在t ∈(2,6)上是增函数,
而t (x ) =2-x ∈(2,6) ∴x ∈(-4,0)
∴f (2-x ) 的单减区间是(-4,0)
练习:(1)已知,求函数的单调性。
(2)已知,如果,那么( )
A. 在区间(-1,0)上是减函数 B. 在区间(0,1)上是减函数
C. 在区间(-2,0)上是增函数 D. 在区间(0,2)上是增函数
二、函数单调性的应用
1. 利用函数的单调性比较函数值的大小
例1 如果函数f(x)=x+bx+c,对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1),f(2),f(4)的大小。 例2 已知函数y=f(x)在[0,+)上是减函数,试比较f()与f(a-a+1)的大小。
2. 利用函数的单调性解不等式
例3 已知f(x)是定义在R 上的单调函数,且f(x)的图像过点A(0,2),和点B(3,0)
(1)解方程 f(x)=f(1-x)
(2) 解不等式 f(2x)f(1+x)
(3) 求适合f(x)2或f(x)0的x 的取值范围。
3.利用函数的单调性求参数的取值范围
已知函数的单调性,求函数解析式中参数的范围,是函数单调性的逆向思维问题。这类问题能够加深对概念、性质的理解。
例1:已知函数y=x2-2ax +a 2-1在(-∞,1) 上是减函数,求a 的取值范围.
解:y =x 2-2ax +a 2-1 的减区间是(-∞,a ], 显然,(-∞,1) ⊆(-∞,a ], 即a ≥1
解此类由二次函数单调性求参数范围的题,最好将二次函数的图象画出来,通过图象进行分析,可以将抽象的问题形象化.
练习:1、 已知f(x)=x-2(1-a)x+2在(-,4)上是减函数,求实数a 的取值范围。
2、已知A =[1,b ](b),对于函数f(x)=(x-1)+1,若f(x)的定义域和值域都为A ,求b 的值。
3、已知函数y=f(x)=-x+ax-+在区间[0,1]上的最大值为2, 求实数a 的值。
4、如果f (x )=x 2-(a -1) x +5在区间(0.5,1)上是增函数,那么f (2)的取值范围是什么?
例2:已知:f (x ) 是定义在[-1,1]上的增函数,且f (x -1)
可转化为不等式组
⎧-1≤x -1≤1 ⎪2⎨-1≤x -1≤1 ⎪x -1
⎧0≤x ≤2 ⎪2∴0≤x ≤2⎨
⎪x 1⎩∴1
注: 在利用函数的单调性解不等式的时候,一定要注意定义域的限制.保证实施的是等价转化.
练习: 已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)f(a-1),求a 的取值范围。
例3:已知f (x ) 在其定义域R +上为增函数,f (2)=1,f (xy ) =f(x )+f (y ) 解不等式, f (x )+f (x -2) ≤3 解: f (xy ) =f (x ) +f (y )
∴f (4) =f (2) +f (2) =2
∴f (8) =f (4) +f (2) =3
由题意有f (x 2-2x ) ≤f (8)
f (x ) 为R +上的增函数
⎧x >0⎪ ∴⎨x -2>0解得x ∈(2,4] ⎪x 2-2x ≤8 ⎩
解此类题型关键在于充分利用题目所给的条件,本题就抓住这点想办法构造出f (8)=3,这样就能用单调性解不等式了.
练习:
1.若f (x ) =x 2+2(a -1) x +2在区间(-∞,4) 上是减函数,那么实数a 的取值范围是( )
A .a -3 D .a ≥-3
2.函数f (x ) 在区间(-2,3) 上是增函数,则y =f (x +5) 的一个递增区间是( )
A .(3,8) B .(-7,-2) C .(-2,-3) D .(0,5)
2⎧x +4x ,x ≥0,3.已知函数f (x ) =⎨|若f (2-a 2) >f (a ) ,则实数a 的取值范2⎩4x -x ,x <0.
围是( )
A .(-∞,-1) ∪(2,+∞) B .(-1,2) C .(-2,1)
D .(-∞,-2) ∪(1,+∞)
4.函数f (x ) =-x 2+|x |的递减区间是________.
k k 5、(2010·深圳) 若函数h (x ) =2x -x |+3|在(1,+∞) 上是增函数,则实数k 的
取值范围是________.
3-ax (a ≠1) . a -1
(1)若a >0,则f (x ) 的定义域是________;
(2)若f (x ) 在区间(0,1]上是减函数,则实数a 的取值范围是________. 5.已知函数f (x ) =
6、证明函数在(1,+∞)上为减函数.
7、定义在(-1,1)上的函数是减函数,且满足:,求实数的取值范围。