第三节高斯定理
第一章 静电场
§3 高斯定理(P70)
1. 设一半径为5厘米的圆形平面,放在场强为300牛顿/库仑的匀强电场中,试计算平面法线与场强的夹角取下列数值时通过此平面的电通量:⑴0;⑵30;⑶90;⑷120;⑸
180。
解:由eEScos可得:
⑴ e13000.052cos000.752.36Nm2/C ⑵ e23000.052cos3000.2.04Nm2/C ⑶ e33000.052cos9000
⑷ e43000.052cos12000.3751.18Nm2/C ⑸ e53000.052cos18000.752.36Nm2/C
2. 均匀电场与半径为a的半球面的轴线平行,试用面积分计算通过此半球面的电通量。 解:eEa2a2E
3. 如附图所示,在半径为R1和R2的两个同心球面上,分别均匀地分布电荷Q1和Q2,求: ⑴ Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的场强分布;
⑵ 若Q1Q2,情况如何?画出此情形的Er曲线。
1解:⑴ 由高斯定理EdS
(S)
0
q
i
得:
Ⅰ区域内,rR1
E10
Ⅱ区域内,R1rR2
E2
Q140r2
Ⅲ区域内,rR2
E3
Q1Q2
2
40r
⑵ 当Q1Q2时
E10,E2
Q140r
2
,E30
4. 根据量子理论,氢原子中心是一个带正电qe的原子核(可以看成点电荷),外面是带负电的电子云。在正常状态(核外电子处在s态)下,电子云的电荷密度分布是球对称的:
e(r)
qe2r/a0
e3
a0
式中a0为一常数(它相当于经典原子模型中s电子圆形轨道的半径,称为玻尔半径),求原子内的电场分布。
解:原子内的电荷分布具有球对称性,因而原子内的电场也是球对称分布的。由高斯定理可得
12
EdS4rEqee(r)dV
(S)
0
rq1
4rEqee3e2ra04r2dr
0a00
2
qee2ra0
E
40r2
222
rr12
a0a0
5. 实验表明:在靠近地面处有相当强的电场,E垂直于地面向下,大小约为100牛顿/库仑;在离地
面1.5千米高的地方,E也是垂直于地面向下的,大小约为25牛顿/库仑。
⑴ 试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度。
⑵ 如果地球上的电荷全部均匀分布在表面,求地面上电荷的面密度。
解:⑴ 设电荷的平均体密度为e,取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面、
底面S平行地面),上下底面处的场强分别为E1和E2,则通过高斯面的电场强度通量为
EdSE2SE1S(E2E1)S
高斯面S包围的电荷
qhS
i
e
2
由高斯定理(E2E1)S
hSe
0
(1)
e0(E2E1)4.431013C/m3
⑵ 设地面面电荷密度为e。由于电荷只分布在地表面,所以电力线终止于地面,取高斯面如图(2)。
1
h
1
由高斯定理EdS
ES
1
0
q
i
0
eS
(2)
e0E8.851010C/m2
6. 半径为R的无穷长直圆筒面上均匀分布带电,沿轴线单位长度的电量为。求场强分布,并画Er曲线。
解:电场分布具有轴对称性,作与圆筒共轴半径为r、长为l的圆柱形高斯面,由高斯定理可得
1
EdS2rlE
当rR时,
0
q
i
q
i
0
E10
当rR时,
ql
i
E2
20r
7. 一对无限长的共轴直圆筒,半径分别为R1和R2,筒面上都均匀带电,沿轴线单位长度的电量分别为1和2。⑴ 求各区域内的场强分布;⑵ 若12,情况如何?画出此情形的Er曲线。
1
解:⑴ 由高斯定理EdS
当rR1时, E10 当R1rR2时,E2
0
q可得
i
1
20r
13
20r
当rR2时, E3
⑵ 当12时,代入⑴中可得
E10,E2
1
,E30 20r
8. 半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电,电荷体密度为e。求场强分布,并画Er曲线。 解:电场分布具有轴对称性,作与圆柱体共轴半径为r、长为l的圆柱形高斯面,由高斯定理可得
1EdS2rlE
当rR时,
2
i
0
e
q
i
qrl
r2le
2rlE0
E1
e
r 20
当rR时,
qRl
2
i
e
eR2
E2
20r
9. 设气体放电形成的等离子体圆柱内的体电荷分布可用下式表示:
e(r)
0
r1a
2
2
式中r是到轴线的距离,0是轴线上的e值,a是个常数(它是e减少到0/4处的半径)。求场强分布。
解:作与圆柱体共轴半径为r、长为l的圆柱形高斯面,由高斯定理可得
1
EdS2rlE
1
0
q
i
0
e(r)dV
1
0
r
0
r
1a
2
2
2rldr
a20r
E22
20(ar)
10. 两无限大的平行平面均匀带电,电荷的面密度分别为e,求各区域的场强分布。 解:电荷面密度为e的无限大均匀带电平面的场强为
E
e
20
由场的叠加原理可得两带电平面间的场强为
E2
e
0
方向垂直带电平面由正电荷指向负电荷。
两带电平面外侧的场强为
E1E30
可以用高斯定理求出同样的结果(作垂直于带电平面的原柱形高斯面)。
11. 两无限大的平行平面均匀带电,电荷的面密度都是e,求各处的场强分布。 解:由场的叠加原理和无限大均匀带电平面的场强公式可得两带电平面间的场强为
E20
两带电平面外侧的场强大小为
E1E3
方向垂直带电平面
e
0
12. 三个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别是e1、e2、e3。求下列情况各处的场强:⑴e1e2e3e;⑵e1e3e,e2e;⑶e1e3e,e2e;⑷e1e,e2e3e。
解:建立如图所示坐标轴(x轴)。每个带电平面产生的场强均为
E
e
(带电平面的左侧),Ee(带电平面的右侧)
2020
则由场强叠加原理,三个无限大的均匀带电平面所分成的4个区域的场强分别为
E2E3Ⅰ区:E1E1
e1e2e3
20
E2E3Ⅱ区:E2E1
e1e2e3
20e1e2e3
20e1e2e3
20
E2E3Ⅲ区:E3E1
E2E3Ⅳ区:E4E1
实际上无限大的均匀带电平面产生的电场是匀强电场,并且关于带电平面对称,因而无限大均匀带电平行平面组产生的电场在平行平面组外也是关于平面对称的,所以可以应用高斯定理求出无限大均匀带电平行平面组的电场分布。上面的结果也可用高斯定理求出。 ⑴ 当e1e2e3e时,4个区的场强分别为 Ⅰ区:E1
3e3e
;Ⅱ区:E2e;Ⅲ区:E3e;Ⅳ区:E4 20202020
⑵ 当e1e3e、e2e时,4个区的场强分别为 Ⅰ区:E1
e
;Ⅱ区:E2e;Ⅲ区:E3e;Ⅳ区:E4e 20202020
⑶ 当e1e3e、e2e时,4个区的场强分别为 Ⅰ区:E1
e;Ⅱ区:E2e;Ⅲ区:E3e;Ⅳ区:E4e 20202020
⑷ 当e1e、e2e3e时,4个区的场强分别为 Ⅰ区:E1
13. 一厚度为d的无限大平板,平板体内均匀带电,电荷的体密度为e,求板内、外场强的分布。 解:如图,建立坐标x轴。带电平板产生的场强是关于平面对称的,作底面面积为S平行于平板、且
关于坐标原点O对称的圆柱形高斯面。由高斯定理可得
e3e;Ⅱ区:E2;Ⅲ区:E3e;Ⅳ区:E4e 20202020
1EdS2ES
在平板内,即x
0
q
i
d
时,qi2xSe,则 2
2ES
2xSe
0
E1
e
x 0
d
时,qidSe,则 2
在平板外,即x
2ES
dSe
0
E2
e
d 20
考虑到电场的方向,平板外的场强可表示为
E2
ed
x
20x
14. 在半导体pn结附近总是堆积着正、负电荷,在n区内有正电荷,p区内有负电荷,两区电荷的代数和为零。我们把pn结看成是一对带正、负电荷的无限大平板,它们相互接触(见附图)。取
坐标x的原点在p、n区的交界面上,n区的范围是xnx0,p区的范围是0xxp。设两区内电荷体分布都是均匀的:
n区:e(x)NDe,
(突变结模型)
p区:e(x)NAe。
这里ND、NA是常数,且NAxpNDxn(两区电荷数量相等)。试证明电场的分布为
n区:E(x)
NDe
00
(xnx)
p区:E(x)
NAe
(xpx)
并画出e(x)和E(x)随x变化的曲线来。
证明:因两区电荷数量相等,且可把pn结看成是一对带正、负电荷的无限大平板,由高斯定理可知:
pn结外的场强为零,电场只存在pn结内。对n区、p区分别作如图所示底面面积为S、
一个底面在pn结外及另一个底面过x处的圆柱形高斯面S1、S2。由高斯定理可得
n区:
S1
1
EdSESeV1
0
ES
1
0
e[x(xn)]S
NDe
0
(xxn)S
E1
p区:
NDe
0
(xxn)
S2
1
EdSESeV2
0
ES
1
0
e(xpx)S
NAe
0
(xpx)S
E2
NAe
0
(xpx)
e(x)和E(x)随x变化的曲线如图:
15. 如果在上题中电荷的体分布为
pn结外:(x)0,
(线性缓变结模型)
xxx:(x)eax。pn
这里a是常数,xnxp(为什么?),统一用
xm
表示。试证明电场的分布为 2
E(x)
ae2
(xm4x2), 80
并画出e(x)和E(x)随x变化的曲线来。
证明:因n区、p区的电量相等,故xnxp。与上题类似,pn结外的场强为零,电场只存在pn
结内。作如图所示底面面积为S、一个底面在pn结外及另一个底面过x处的圆柱形高斯面S。由高斯定理可得
S
1
EdSES
1
xp
0
dV
e
ES
0
x
eSdx
1
0
xp
x
eaxSdx
E
令xp
ea2
(xpx2) 20
xm
,则 2
E
ea2
(xm4x2) 80
e(x)和E(x)随x变化的曲线如图: