定比分点公式应用三部曲
2001年第18期 数学通讯13
定比分点公式应用三部曲
傅钦志
(衢县石梁镇中学, 浙江 324015)
定比分点公式是解析几何中的一个重要公式, 它的应用十分广泛. 历年高考试题中, 不少解析几何试题都可以应用它简捷求解
(如1999年第24题, 2000年第22题) . 但是
x =-4, y =-6.
∴P (-4, -6) .
解法2 设P (x , y ) 外分AB , 则λ=
=-,
PB 3
同学们在学习时,
往往只注意到这个公式的直接应用, 忽视了它的潜在应用价值. 笔者根据教学实践, 习过程中, 1 , (x =
y =
2=-4,
-3
-2+(-
:起点坐标, 终点坐标, 分点坐标和比值λ, 任知其中三类便可求出第四类. 公式中的“三点一比”, 任一点都可视为分点, λ的值随着分点的改变而改变, 定比λ可简记作(
例1 已知两点
A (-2, -2) , B (2, 6) ,
) ×6=-6.
1-3
即P (-4, -6) .
注 在应用定比分点公式时, 可以改变观察角度, 重新选取起点、分点与终点. 如果选得恰当, 可使计算量减少.
例2 已知两点P 1(x 1, y 1) , P 2(x 2,
y 2) , 直线l :A x +B y +C =0(点P 2不在l
)
.
分点—终点
延长BA 到点P , 使|A P |=|AB |, 求点
2
P 的坐标(见图1) .
上) , 直线l 交P 1, P 2所确定的直线于点P. 求P 分P 1P 2所成的比.
解 设
(
图1 例1图
=λ, 则点P 的坐标为PP 2
解法1 设P (x ,
y ) , 把B 视为起点, A
λλ) . ∵点P 在直线l 上, ,
1+λ1+λ
视为分点, P 视为终点,
=2. 由A P
-2=-2=
则λ=
, 1+2, 1+2
+C =0, 即
1+λ1+λ
(A x 2+B y 2+C ) λ+A x 1+B y 1+C =0.
∴A λ+B λ解得
∵P 2不在l 上, ∴A x 2+B y 2+C ≠0,
∴λ=-.
A x 2+B y 2+C
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2 挖掘信息, 逐渐会灵活应用
数学通讯 2001年第18期
分点公式来证明, 往往能优化证明过程. 3 纵横联系, 要能综合应用
不少数学问题, 虽然不能直接利用定比分点公式, 但可根据题中的数式结构特征、位置关系, 创设出使用公式的条件, 通过适当转化, 使问题获解.
例3 已知曲线c :y =-x 2+m x -1, 点A (3, 0) , B (0, 3) , 求曲线c 与线段AB 有两交点时m 的取值范围.
解 显然, 点B 不在c 上. 设线段AB 与
c 的交点P 分AB 所成的比为λ, 则P (
在高考和各地的模拟考试中, 有关定比分点公式的试题一般是以综合题型出现, 且多为卷中的压轴题, 对综合应用知识的能力提出了高要求.
例5 (1999年全国高考题) 如图2, 给出定点A (a , 0) (a >0) 和直线l :x =-1. B 是直线l 上的动点, ∠B OA 的平分线交AB 于点C ,
求点C 的轨迹方程, 并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.
解B (1, b ) , (, y ) , 由角平分, λ===|B C ||OB |
x =, 由
=CB
图2 例5图
, 1+λ
2
) . 由P 在c 上可得4λ+(5-3m ) λ+1+λ
10-3m =0. 易知, 该方程有两个不等实根且
一根为正另一根非负, 其充要条件是
Δ=(5-3m ) 2-16(10-3m ) >0, λ>0, 1+λ2=4λ121+λ
解得m ∈(3,
].3
+b 2
λy =
1+λ
整
例4 求证
:对任意x ∈R , 有
-≤3. 32cos x -3sin x -5
理可得
(x -a ) (a +y (a +
+b 2) =-a (1+a ) (1)
证 设-
, , 1分别32cos x -3sin x -5sin x
1+b 2) =ab (2)
a -x
(2) ÷(1) 得(a -x ) b =(1+a ) y ,
对应数轴上三点P 1, P , P 2. P 是P 1P 2的分点, 则当
≠-1
∴b =(3)
时, λ=1+sin x
) -(-3-2cos x -3sin x -5
=
2
) (4) 又由(1) 得1+b 2=(
a -x
(3) 代入(4) 并整理得(1-a ) x 2+(1+a ) y 2
-2ax =0(0≤x
≥0, ∴原不等式得证. 当sin x =-1时, 容易验证, 不等式右端取等号; 当cos x =1时, 不等式的左端取等号, 故所证不等式对x ∈R 均成立.
方程. 下略.
注 该题利用定比分点公式使思路来得自然, 易入手.
(收稿日期:2001-05-08)
注 本题证明时巧用λ的定义及数轴上有向线段的数量公式, 收到了很好的效果. 对于形如a ≤x ≤b 的不等式, 如果利用定比