正态分布.指数分布.对数正态分布和威布尔分布函数及其在工程分析中的应用

正态分布、指数分布、对数正态分布和威布尔分布函数及其在工程分析中的应用

071330225 张洋洋

目录

正态分布函数 ··································································································· 3 正态分布应用领域····························································································· 4 正态分布案例分析····························································································· 5 指数分布函数 ··································································································· 5 指数分布的应用领域 ························································································· 6 指数分布案例分析····························································································· 7 对数正态分布函数····························································································· 7 对数正态分布的应用领域 ··················································································· 9 对数正态分布案例分析 ······················································································ 9 威布尔分布函数······························································································· 10 威布尔分布的应用领域 ····················································································· 16 威布尔分布案例分析 ························································································ 16 附录 ·············································································································· 18 参考文献 ········································································································ 21

正态分布函数【1】

正态分布概率密度函数f （t ）

蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3 绿线：μ=1 σ=3

均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。

均数μ改变，图像会进行平移，标准差σ改变，图形陡峭度发生变化。σ越小，图像越陡。

正态分布可靠度函数R （t ） 蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3

均数μ改变，图像会进行平移，标准差σ改变，图形陡峭度发生变化。σ越小，图像越陡。

正态分布失效率函数λ（t ） 蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3

均数μ改变，图像会进行平移，标准差σ改变，图形陡峭度发生变化。σ越小，图像越陡。

正态分布应用领域【1】

正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布, 它在概率论和数理统计中无论在理论研究还是实际应用上都占有头等重要的地位, 这是因为它在误差理论、无线电噪声理论、自动控制、产品检验、质量控制、质量管理等领域都有广泛应用. 数理统计中许多重要问题的解决都是以正态分布为基础的. 某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量、胆固醇等，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些资料虽为偏态分布，但经数据变换后可成为正态或近似正态分布，故可按正态分布规律处理。

正态分布案例分析【1】

例1.10 某地1993年抽样调查了100名18岁男大学生身高（cm ），其均数=172.70cm，标准差s=4.01cm，①估计该地18岁男大学生身高在168cm 以下者占该地18岁男大学生总数的百分数；②分别求X+-1s、X+-1.96s、X+-2.58s范围内18岁男大学生占该地18岁男大学生总数的实际百分数，并与理论百分数比较。

本例，μ、σ未知但样本含量n 较大，按式（3.1）用样本均数X 和标准差S 分别代替μ和σ，求得u 值，u=（168-172.70）/4.01=-1.17。查附表标准正态曲线下的面积，在表的左侧找到-1.1，表的上方找到0.07，两者相交处为0.1210=12.10%。该地18岁男大学生身高在168cm 以下者，约占总数12.10%。其它计算结果见表3。

表3 100名18岁男大学生身高的实际分布与理论分布

指数分布函数

指数分布概率密度函数f （t ）

蓝线：θ=2 红线：θ=3

θ值改变，图像陡峭度改变，且θ值越小，图像越陡，上升的越快。

指数分布函数F （t ）

蓝线：θ=2 红线：θ=3

θ值改变，图像陡峭度改变，且θ值越小，图像越陡，上升的越快。

指数分布可靠度函数R （t ）

蓝线：θ=2 红线：θ=3

θ值改变，图像陡峭度改变，且θ值越小，图像越陡，下降的越快。

指数分布的应用领域【1】

在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果。这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。指数分布应用广泛，在日本的工业标准和美国军用标准中，半导体器件的抽验方案都是采用指数分布。此外，指数分布还用来描述大型复杂系统（如计算机）的平均故障间隔时间MTBF 的失效分布。但是，由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性．因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，所谓缺乏“记忆”，是指某种产品或零件经过一段时间t0的工作后, 仍然如同新的产品一样, 不影响以后的工作寿命值，或者说，经过一段时间t0的工作之后，该产品的寿命分布与原来还未工作时的寿命分布相

同，显然，指数分布的这种特性，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程。所以，指数分布不能作为机械零件功能参数的分布形式。

指数分布虽然不能作为机械零件功能参数的分布规律，但是，它可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。 指数分布的图形表面上看与幂律分布很相似，实际两者有极大不同，指数分布的收敛速度远快过幂律分布。

指数分布案例分析【2】

对数正态分布函数

蓝线：μ图像随μ蓝线：μ图像随σ

对数正态分布概率密度函数f （t ）

=0 σ=0.5 红线：μ=0.5 σ=0.5 棕线：μ=0.8 σ=0.5 的增大而变得陡峭，且向 f （t ）轴靠近。（上图）

=0 σ=0.5 红线：μ=0 σ=0.7 棕线：μ=0 σ=1 绿线：μ=0 σ=1.3 的增大先下降再上升，且向 f （t ）轴靠近。（下图）

对数正态分布可靠度函数R （t ）

蓝线：μ=0 σ=0.5 红线：μ=0.8 σ=0.5

棕线：μ=0 σ=1 μ越大，图像越陡，下降的越快；σ越小，图像越陡，下降的越快。

对数正态分布失效率函数λ（t ）

蓝线：μ=0 σ=0.5 红线：μ=0.8 σ=0.5 棕线：μ=0 σ=1

图像随μ的增大而变得陡峭，且向 λ（t ）轴靠近。图像随σ的增大先下降再上升，且向 λ（t ）轴靠近。

对数正态分布的应用领域【3】

对数正态分布在实际中有着重要的应用，如在经融市场的理论研究中，著名的期权定价公式以及许多实证研究都用对数正态分布来描述经融资产的价格。在工程、医学和生物学领域里对数正态分布也有着广泛的应用。

对数正态分布案例分析【4】

即此股票有效期为6个月的一份欧式看涨期权的价值为9.52元，如果发现此期权的价格低于9.52元可以考虑买入，如果价格高于9.52元则考虑卖出此期权.

威布尔分布函数

图一

图2

图3

对数正态分布概率密度函数f （t ）

图1：γ=1，η=1 蓝线 m=0.5 红线 m=1 棕线m=2 绿线 m=3

随m 的变大，图像由凹变缓再变凸 。

图2：m=1，γ=1 蓝线 η=0.5 红线 η=1 棕线 η=2 绿线 η=3

随γ的变大，图像由陡变缓。

图3：m=1，η=1 蓝线 γ=0.5 红线 γ=1 棕线 γ=2 绿线 γ=3

随γ的变大，图像由缓变陡。

图1

图2

图3

对数正态分布函数F （t ）

图1：γ=0，η=1 蓝线 m=0.5 红线 m=1 棕线m=2 绿线 m=3

随m 增大，图像越陡，上升越快。

图2：m=1，γ=0 蓝线 η=0.5 红线 η=1 棕线 η=2 绿线 η=3

随η增大，图像越缓，上升越慢。

图3：m=1，η=1 蓝线 γ=0 红线 γ=1 棕线

γ=2 绿线 γ=3

图像随γ变化而平移，γ变大，向右移。

图1

图2 图3

对数正态分布可靠度函数R （t ）

图1：γ=1，η=1 蓝线 m=0.5 红线 m=1 棕线m=2 绿线 m=3

随m 增大，图像下降由先快后慢变成先慢后快。

图2：m=1，γ=1 蓝线 η=0.5 红线 η=1 棕线 η=2 绿线 η=3

随η增大，图像下降由陡变缓。

图3：m=1，η=1 蓝线 γ=0.5 红线 γ=1 棕线 γ=1.5 绿线 γ=2

随γ增大，图像下降由缓变陡。

图1

图2

图3

对数正态分布失效率函数λ（t ）

图1：γ=0，η=1 蓝线 m=0.5 红线 m=1 棕线m=1.5 绿线 m=2

随m 增大，图像由下降到上升。

图2：m=3，γ=0 蓝线 η=0.5 红线 η=1 棕线 η=2 绿线 η=3

随η增大，图像上升变得缓慢。

图3：m=3，η=1 蓝线 γ=0 红线 γ=1 棕线 γ=2 绿线 γ=3

图像随γ变化而平移，γ增大向右平移。

威布尔分布的应用领域【1】

1. 生存分析

2. 工业制造：研究生产过程和运输时间关系

3. 极值理论

4. 预测天气

5. 可靠性和失效分析

6. 雷达系统：对接受到的杂波信号的依分布建模

7. 拟合度：无线通信技术中，相对指数衰减频道模型，威布尔衰减模型对衰减频道建模有较好的拟合度

8. 量化寿险模型的重复索赔

9. 预测技术变革

10. 风速：由于曲线形状与现实状况很匹配，被用来描述风速的分布

威布尔分布案例分析【5】

以白云鄂博矿医风电场选址为例．该地区的多年平均风速为v=5.5m/s(1972～2006年) ，在测风年(2005年6月～2006年5月) 内测风塔上10m 年平均风速v 为6.1m/s．最大风速值为Vmax=16．7以．观测时间T=8760h．测风塔海拔高度为1612m 。拟定风电场测风塔上10m 的月平均风速见表l ：

根据所给的资料．利用上述4种方法分别对威布尔分布的参数k 和c 进行计算．计算结果见表

2

将表2中的k 和c 值输人到威布尔分布函数曲线的仿真系统图1中，通过计算机模拟仿真．得到的拟合曲线如图3。

图3白云鄂博矿区10m 的威布尔分

布函数曲线

由图3可知，上述4种方法拟合出来的曲线基本重合，且通过计算得到的威布尔分布函数。可以确定风速的分布形式．风力发电机组设计的各个参数．因此给实际使用带来了许多方便。根据拟合的威布尔曲线可以很好地描述白云鄂博矿区10In 的风速分布情况．并能得出对该地区的风能资源评价的参数，如平均风功率密度，风能可利用小时数。

附录：

指数函数C 语言程序： #include

#include

#include

float E(float t,float s)

{

if(t

{

float x=-t/s;

float y=1-exp(x); return y;

}

}

void main()

{

float t,float s;

FILE *fp;

char name[10];

printf("please input the file name:"); gets(name);

fp=fopen(name,"w");

if(fp==NULL)

{

printf("cannot open file"); exit(1);

}

else

scanf("%f",&s);

fprintf(fp,"%f\n",s);

for(t=0;t

{

fprintf(fp,"%f ",t);

fprintf(fp,"%f\n",E(t,s)); }

fclose(fp);

}

指数函数F （t ）

#include

#include

float E(float t,float s)

{

if(t

{

float x=t/s;

float y=exp(x)/s; return y;

}

}

void main()

{

float t,float s;

FILE *fp;

char name[10];

printf("please input the file name:"); gets(name);

fp=fopen(name,"w");

if(fp==NULL)

{

printf("cannot open file"); exit(1);

}

else

scanf("%f",&s);

fprintf(fp,"%f\n",s);

for(t=1;t

{

fprintf(fp,"%f ",t);

fprintf(fp,"%f\n",E(t,s)); }

fclose(fp);

}

指数密度函数f （t ）

#include

#include

float E(float t,float s)

{

if(t

{

float x=-t/s;

float y=exp(x);

return y;

}

}

void main()

{

float t,float s;

FILE *fp;

char name[10];

printf("please input the file name:"); gets(name);

fp=fopen(name,"w");

if(fp==NULL)

{

printf("cannot open file"); exit(1);

}

else

scanf("%f",&s);

fprintf(fp,"%f\n",s);

for(t=0;t

{

fprintf(fp,"%f ",t);

fprintf(fp,"%f\n",E(t,s)); }

fclose(fp);

}

指数可靠度函数R （t ）

参考文献

【1】百度百科

【2】张君安 指数分布在应收账项评估中的应用【J 】. 中国资产评估，2014（1）

【3】于洋 对数正态分布的几个性质及其参数估计【J 】. 廊坊师范学院学报，2011，11(5)：8

【4】王志刚 对数正态分布及其在证券中的应用【J 】. 苏州市职业大学学报，2012，23（3）：64.

【5】包小庆 刘志强 吴永忠 刘冬梅. 双参数威布尔分布函数的确定及曲线拟合【J 】. 能源与环境,2004(4)：9.

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