中考压轴题--圆含答案
中考压轴题(一)--------与圆有关压轴题
AB所对的圆心角为120,已知圆的半径为2cm,并建立如图所示的直角坐标系. 1.如图,在M中,
(1)求圆心M的坐标;
(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(3)点D是弦AB所对的优弧上一动点,求四边形ACBD的最大面积;
(4)在(2)中的抛物线上是否存在一点P,使△PAB和△ABC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明
理由.
[解] (1)如图(1),连结MA,MB. 则AMB120CMB60,OBM30.
1
1). OMMB1,M(0,
2
(2)由A,B,C三点的特殊性与对称性,
知经过A,B,C三点的抛物线的解析式为yax2c.
OCMCMO1,OB
C(0,1),B.
11c1,ayx21.
33
(3)S四边形ACBDS△ABCS△ABD,又S△ABC与ABx
当△ABD边AB上的高最大时,S△ABD最大,此时点D为M与y轴的交点,如图1.
S四边形ACBDS△ABCS△ABD
111
AB·OCAB·ODAB·CD2. 222
AB
(4)方法1:如图2,△ABC为等腰三角形,ABC30
BC
y
P
M
O A B
C
图2
△ABC∽△PAB等价于PAB30,PBABPA6.
x
·cos30AOyPA·sin303. 设P(x,y)且x0,则xPA
11又P的坐标满足yx21,在抛物线yx21上,存在点P,使△ABC∽△PAB.
33由抛物线的对称性,知点(也符合题意.存在点P,它的坐标为. 或(方法2:
如图(3),当△ABC∽△PAB时,PABBAC30,又由(1)知MAB30,
点P在直线AM上.
设直线AM的解析式为ykxb,
k
1.
将A(M(01),
代入,解得直线AM
的解析式为yb1.
y1,
解方程组得P.
y1x213
,PBx60.P30又tanPBx
△ABC∽△PAB.
,
1
,使△ABC∽△PAB.
在抛物线yx2
1上,存在点P3
由抛物线的对称性,知点(也符合题意.存在点P
,它的坐标为
. 或(方法3:
如图3,△
ABC为等腰三角形,且
AB
P(x,y)则 图3 BC
△ABC∽△
PAB等价于PBAB
PA6.
当x
0时,得解得P.
6.
11
又
P的坐标满足yx21,在抛物线yx2
1上,存在点P,使△ABC∽△PAB.
33由抛物线的对称性,知点(也符合题意.存在点P
,它的坐标为
. 或([点评]本题是一道综合性很强也是传统型的压轴题,涉及了函数、方程、相似、圆等大量初中数学的重点知识,解这
类问题要求学生必须稳固的掌握各个领域的数学知识,须注意的是在第4小问中涉及了相似三角形的问题,很有可能会有多解的情况出现,此时就要求学生拥有较强的数形结合思想去探索结论的存在性。 2.(06湖南湘潭卷)已知:如图,
抛物线y2xxx轴分别交于A,B两点,与y轴交于C上一动点(D点与A,O不重合)点,M经过原点O及点A,C,点D是劣弧OA.
(1)求抛物线的顶点E的坐标;
(2)求M的面积;
(3)连CD交AO于点F,延长CD至G,使FG2,试探究当点D运动到何处时,直线GA与M相切,并请说明理由.
[解] (1
)抛物线y
2xx332x2x1
33
2
E的坐标为1
x1
3
(2)连AC;M过A,O,C,∠AOC90AC为O的直径.
AC
SMr23 而OA3,OC
r2
的中点时,直线GA与M相切 (3)当点D运动到OA
理由:在Rt△
ACO中,OA3,OC
tan∠ACO
的中点 ∠ACO60,∠CAO30点D是OAADDO
∠ACG∠DCO30OFOCtan301,∠CFO60
在△GAF中,AF2,FG2∠AFG∠CFO60△AGF为等边三角形∠GAF60
的中点时,GA为M的切线 ∠CAG∠GAF∠CAO90 又AC为直径,当D为OA
[点评]本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究,因此数形结合的解题思想是不可缺少的,解第3小问时可以先自己
作图来确定D点的位置。 3.(06湖南永州卷)如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的直径AD交小圆于M,N两点,大圆的弦AB切小圆于点C,过点C作直线CEAD,垂足为E,交大圆于F,H两点. (1)试判断线段AC与BC的大小关系,并说明理由.
CHAEAO. (2)求证:FC
2
(3)若FC,
CH是方程x40的两根(CHCF),求图中阴影部分图形的周长.
[解] (1)相等.
连结OC,则COAB,故ACBC.
A
2
CBFCCHAC2, (2)由△ACH∽△FCB,得AC
2
CHAEAO. 又由△ACE∽△AOC,得ACAEAO. FC
(3
)解方程得:CH
1,CF1,
CE1)1,AC4,AC2, 在Rt△ACE中,sinA
CE1
,∠A30,∠AOC60,∠CON120. AC2
在△
ACO中,COACtanA2
3AO
ACAMAOOM,,
sin60
3333
12 2
,ANAM2OC3. 弧CN
长
2阴影部分周长
ACANCN
[点评]本题是比较传统的几何型综合压轴题,涉及圆、相似、三角等几何重点知识。
,以点A为圆心,以AO长为半径的圆交x轴于另一点B,过点B作BF∥AE交A于点F,直线FE交x轴于点C. (1)求证:直线FC是A的切线; ,,0)E(0,4. (06
辽宁卷)如图,已知A(1
(2)求点C的坐标及直线FC的解析式;
(3)有一个半径与A的半径相等,且圆心在x轴上运动的P.若P与直线FC相交于M,N两点,是否存在这样的点P,使△PMN是直角三角形.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] (1)证明:连结AF
AE∥BF13,42 又ABAF3412 又AOAF,AEAE
△AOE≌△AFEAFEAOE90
FC是O的切线.
(2)方法①由(1
)知EFOE
AE∥BF,
ACAB
CEEFOC11
CE ① 又
OE2OC2CE2,CE22
2
② CO由①②解得OC0(舍去)或OC2,
直线FC
经过E0,,C(2,0)两点设FC的解析式:ykx
b
2kb0k解得直线FC
的解析式为y.
bb方法②:CF切A于点F,AFCEOC90 又ACFOCE,△COE∽△CFA,
OECO
AF
CF
1CE
2
又OE2OC2
CE2,CE22
②CO
由①②解得CO0(舍去)或CO2C(2,0) (求FC的解析式同上). 方法③AE∥BF,
ACCEAB
EF
OC11CE ① FC切A于点F,AFCCOE90ACEOCE,△COE∽△CFA
OE
CO
,AFCF
1
CECO ② 由①②解得:CO2,(3)存在;
当点P在点C左侧时,若MPN90,过点P作PHMN于点H, MPN90,PM
PN,PHPMcos45
x
① (求FC的解析式同上).
CPPHCP
AFFC,PH∥AF,△CPH∽△CAF,
13AFCACP
2,P2,PO 0
PN90,过点P作PQ⊥MN于点Q
,则PQ当点P在点C右侧P时,设M
PQPH,可知P与P关于点C中心对称,
根据对称性得
OPOCCP
2 2
y
P20
N
M
B
3
存在这样的点P,使得△PMN为直角三角形,
点坐标或. 2
020P
A
4
1
2
P O H E
Q
N
C
P
x
F M
[点评]本题是一道综合性很强的传统型压轴题,其难度比较恰当,选拔功能较强,解第3小题时要注意分类讨论,这是本题最容易失分的地方
5. (06
辽宁沈阳卷)如图,在平面直角坐标系中,直线yx1分别与x轴,y轴交于点A,点B. (1)以AB为一边在第一象限内作等边△ABC及△ABC的外接圆M(用尺规作图,不要求写作法,但要保留作图痕迹);
(2)若M与x轴的另一个交点为点D,求A,B,C,D四点的坐标;
(3)求经过A,B,D三点的抛物线的解析式,并判断在抛物线上是否存在点P,使△ADP的面积等于△ADC的面积?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] (1)如图,正确作出图形,保留作图痕迹 (2
)由直线yx1,求得点A
的坐标为,点B的坐标为01,
在Rt△
AOB中,OAOB1
OA
AB
2,tan∠OBAOB
∠OBA60
∠OAB90∠OBA30
△ABC是等边三角形CAAB2,∠CAB60
∠CAD∠CAB∠OAB90点C
的坐标为
,连结BM
1
△ABC是等边三角形∠MBA∠ABC30∠OBM∠OBA∠MBA90
2
CPPHCP
AFFC,PH∥AF,△CPH∽△CAF,
13AFCACP
2,P2,PO 0
PN90,过点P作PQ⊥MN于点Q
,则PQ当点P在点C右侧P时,设M
PQPH,可知P与P关于点C中心对称,
根据对称性得
OPOCCP
2 2
y
P20
N
M
B
3
存在这样的点P,使得△PMN为直角三角形,
点坐标或. 2
020P
A
4
1
2
P O H E
Q
N
C
P
x
F M
[点评]本题是一道综合性很强的传统型压轴题,其难度比较恰当,选拔功能较强,解第3小题时要注意分类讨论,这是本题最容易失分的地方
5. (06
辽宁沈阳卷)如图,在平面直角坐标系中,直线yx1分别与x轴,y轴交于点A,点B. (1)以AB为一边在第一象限内作等边△ABC及△ABC的外接圆M(用尺规作图,不要求写作法,但要保留作图痕迹);
(2)若M与x轴的另一个交点为点D,求A,B,C,D四点的坐标;
(3)求经过A,B,D三点的抛物线的解析式,并判断在抛物线上是否存在点P,使△ADP的面积等于△ADC的面积?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] (1)如图,正确作出图形,保留作图痕迹 (2
)由直线yx1,求得点A
的坐标为,点B的坐标为01,
在Rt△
AOB中,OAOB1
OA
AB
2,tan∠OBAOB
∠OBA60
∠OAB90∠OBA30
△ABC是等边三角形CAAB2,∠CAB60
∠CAD∠CAB∠OAB90点C
的坐标为
,连结BM
1
△ABC是等边三角形∠MBA∠ABC30∠OBM∠OBA∠MBA90
2
OB⊥BM直线OB是M的切线OB2
ODOA12
ODOD
0 点D
的坐标为
ABD
(3)设经过,,三点的抛物线的解析式是yaxx
把B01,代入上式得a1
抛物线的解析式是yx2存在点P,使△ADP的面积等于△ADC的面积
1
22点P
的坐标分别为P1,P2.
[点评]本题是一道综合性很强的压轴题,主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识,第3小题是比较
常规的结论存在性问题,运用方程思想和数形结合思想可解决。
6.已知:抛物线M:yx2(m1)x(m2)与x轴相交于A(x1,,0)B(x2,0)两点,且x1x2. (Ⅰ)若x1x20,且m为正整数,求抛物线M的解析式;(Ⅱ)若x11,x21,求m的取值范围;
2),若存在,求出m的值;若不存在,试说(Ⅲ)试判断是否存在m,使经过点A和点B的圆与y轴相切于点C(0,
明理由;
7),与(Ⅰ)中的抛物线M相交于P,Q两点,且使(Ⅳ)若直线l:ykxb过点F(0,
式.
PF1
,求直线l的解析FQ2
[解] (Ⅰ)解法一:由题意得, x1x2m20. 解得,m2.m为正整数,m1.yx21. 解法二:由题意知,当x0时,y0(m1)0(m2)0. 以下同解法一) 解法三:(m1)24(m2)(m3)2, x
2
(m1)(m3)
,x11,x22m.
2
又x1x20,(以下同解法一.) x22m0. m2.
(x1)(xm2)0, 解法四:令y0,即x(m1)x(m2)0,.(以下同解法三.)
x11,x22m
2
(Ⅱ)解法一:
x11,x21,x110,x210.(x11)(x21)0,
即x1x2(x1x2)10.
x1x2 (m1),x21x2m
(m2)(m1)10.解得 m1m的取值范围是m1.
解法二:由题意知,当x1时,
(2) y1(m1)m. 0解得:m1.m的取值范围是m1.
解法三:由(Ⅰ)的解法三、四知,x11,x22m.
x11,x21,2m1, m1.m的取值范围是m1. (Ⅲ)存在.
解法一:因为过A,B两点的圆与y轴相切于点C(0,2),所以A,B两点在y轴的同侧,x1x20.
OB, 即22x1x2.x1x24, 由切割线定理知,OCOA
2
m6 x1x24.m24..
解法二:连接OB,OC.圆心所在直线x
bm11m
, 2a22
1m1m
D 设直线x与x轴交于点,圆心为O, 则ODOC2,OCOD.
22
ABx2x1
m3,BD
m3AB
, BD. 22
2
2
m31m222
在Rt△ODB中, ODDBOB. 即22.解得 m6.
22
22
(Ⅳ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1x11,y2x21.
过P,Q分别向x轴引垂线,垂足分别为P,,0)Q(x2,0).
1(x1 则PP1∥FO∥QQ1.
所以由平行线分线段成比例定理知,
POPF1
.
OQ1FQ
因此,
0x11
,即x22x1. x202
过P,Q分别向y轴引垂线,垂足分别为P,y1),Q2(0,y2), 2(0 则PP2∥QQ2.所以△FP2P∽△FQ2Q.
P2FFP
.
FQ2FQ
2
212(x121)x21.7y112
.212y1y2. x14,x12,或x12.
22
y272232x14x11.
7k0b,b7,
3).直线l过P(2,,3)F(0,7), 当x12时,点P(2, 解得
3k2b.k2.
3).直线l过P(2,,3)F(0,7), 当x12时,点P(2,
7k0b,b7,
解得故所求直线l的解析式为:y2x7,或y2x7.
3k(2)b.k2.
7. 如图,在平面直角坐标系中,
已知点B(以AB为边在x轴下方作正方形ABCD,0)(m0),,A(m
,点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆除点D以外的另一个交点,连结BE与AD相交于点F. (1)求证:BFDO;
(2)设直线l是△BDO的边BO的垂直平分线,且与BE相交于点G.若G是△BDO的外心,试求经过B,F,O三点的抛物线的解析表达式;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点P,使该点关于直线BE的对称点在x轴上?若存在,求出所有这样的点的坐标;若不存在,请说明理由.
[解] (1)在△ABF和△ADO中,
四边形ABCD是正方形,ABAD,∠BAF∠DAO90.
ABF≌△ADO, 又∠ABF∠ADO,△
BFDO. (2)由(1),有△ABF≌△ADO,AOAFm.点
Fm,m.
G是△BDO的外心,点G在DO的垂直平分线上.点B也△
DBO为等腰三角形,BOBD.
在DO的垂直平分线上.
ABmm,而BO
F2.
m,m2
设经过B,F,O三点的抛物线的解析表达式为yax2bxca0. ············· ①
抛物线过点O0,0,c0.yax2bx. ·
,点F2的坐标代入①中,得
把点B
02ab,
1b0,a,
2即
解得 2
2ab1.22a2b.b
1
·················· ②
抛物线的解析表达式为yx2. ·
2
(3)假定在抛物线上存在一点P,使点P关于直线BE的对称点P在x轴上.BE是∠OBD的平分线, x轴上的点P关于直线BE的对称点P必在直线BD上,即点P是抛物线与直线BD的交点.
设直线BD的解析表达式为ykxb,并设直线BD与y轴交于点Q,则由△BOQ是等腰直角三角形.
.
OQ
OB.Q0,
,点Q0,代入ykxb中,得
把点B
k1,0b,
b
b.
直线BD
的解析表达式为yx
设点Px0,
y0,则有y0x0 ···························· ③
把③代入②,得
12
x00x0
2
12x02
2
1x0
0,即x02
1x00.
x0x2
0.解得x
x02.
当x0
yx00;当x0
2时,y0x02.
,P22,2,它们关于直线BE的对称点都在x轴上.
在抛物线上存在点P18.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1经过点A(-2,0)和点B(0
,直线l2
的函数表达式为yl1与l2相交于点P.⊙C是一个动圆,圆心C在直线l1上运动,设圆心C的横坐标是a.过点C作CM⊥x轴,垂足是点M.
(1) 填空:直线l1的函数表达式是 ,交点P的坐标是 ,∠FPB的度数是 ;
(2) 当⊙C和直线l2相切时,请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R,并写出R=322时a的值. (3) 当⊙C和直线l2不相离时,已知⊙C的半径R=322,记四边形NMOB的面积为S(其中点N是直线CM与
l2的交点).S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时a的值;若不存在,请说明理由.
[解] (1) y
32x3P(1,) 60º 33
图2
(第24题图甲)
(2) 设⊙C和直线l2相切时的一种情况如图甲所示,D是切点,连接CD,则CD⊥PD.
过点P作CM的垂线PG,垂足为G,则Rt△CDP≌Rt△PGC (∠PCD=∠CPG=30º,CP=PC), 所以PG=CD=R.
当点C在射线PA上,⊙C和直线l2相切时,同理可证.取R=322时,a=1+R=321,或a=-(R-1)332 (3) 当⊙C和直线l2不相离时,由(2)知,分两种情况讨论:
12334332
(a)]aa3a, ① 如图乙,当0≤a≤321时,S[
23336
当a
32(
)6
3时,(满足a≤321),S有最大值.此时S最大值
34(
)6
339
(或). 22② 当332≤a<0时,显然⊙C和直线l2相切即a332时,S最大.此时 S最大值
123343[(332)]332. 23332
33
2
综合以上①和②,当a3或a332时,存在S的最大值,其最大面积为
9. 如图1,已知Rt△ABC中,CAB30,BC5.过点A作AE⊥AB,且AE15,连接BE交AC于点P.
(1)求PA的长;
(2)以点A为圆心,AP为半径作A,试判断BE与A是否相切,并说明理由; (3)如图2,过点C作CD⊥AE,垂足为D.以点A为圆心,r为半径作A;以点C为圆心,R为半径作C.若
,且使D点在A的内部,B点在A的外部,求r和R的大小是可变化的,并且在变化过程中保持A和C相切..
r和R的变化范围.
C
D
图1 图2
[解] (1)在Rt△ABC中,CAB30,BC5,AC2BC10.
AE∥BC,△APE∽△CPB.PA:PCAE:BC3:1.PA:AC3:4,PA (2)BE与A相切. 在Rt△
ABE中,ABAE15,
tanABE
31015
. 42
AEABE60. AB
APB90BE与A相切. 又PAB30,ABEPAB90,
(3
)因为AD5,ABr
的变化范围为5r
当A与C外切时,Rr10,所以R
的变化范围为10R5; 当A与C内切时,Rr10,所以R
的变化范围为15R10
[点评]本题是一道比较传统的几何综合题,第1题运用相似三角形知识即可得解,第2小题也较基础,第3小题注意要
分类,试题中只说明了“A和C相切”,很多同学漏解往往是由于没有仔细读题和审题。 8,(06江苏宿迁课改卷)设边长为2a的正方形的中心A在直线l上,它的一组对边垂直于直线l,半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动,点A、O间距离为d. ..(1)如图①,当r<a时,根据d与a、r之间关系,将⊙O与正方形的公共点个数填入下表:
图①
l
所以,当r<a时,⊙O与正方形的公共点的个数可能有
个;
r之间关系,将⊙O与正方形的公共点个数填入下表: 图②
l
所以,当r=a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有 个;
5
(3)如图③,当⊙O与正方形有5个公共点时,试说明r=a;
4
图③
(4)就r>a的情形,请你仿照“当„„时,⊙O与正方形的公共点个数可能有
个”的形式,至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论.
[解] (1)
l
图①
所以,当r<a时,⊙O与正方形的公共点的个数可能有个;
(2)
图② 所以,当r=a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个; (3)方法一:如图所示,连结OC则OE=OC=r ,OF=EF-OE=2a-r. 在Rt△OCF OF2+FC2=OC2
即(2a-r)2+a2=r2
l 4a2-4ar+r2+a2= 5a2=4ar
5a=4r ∴r =
l
5
a. 4
方法二:如图,连结BD、OE、BE、DE.
∵四边形
BCMN
为正方形 ∴∠C=∠M=∠N=90°
∴BD为⊙O的直径,∠BED=90°
∴∠BEN+∠DEM =90°
∵∠BEN+∠EBN=90° ∴∠DEM=∠EBN
1BNEM
∴△BNE∽△EMD ∴∴DM=a
2NEMD
15
由OE是梯形BDMN的中位线得OE=(BN+MD)=a.
24
4
l
(4)①当a<r<5a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个; ②当r=5a时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个;
45
③当ar时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个;
4④当r时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个;
⑤当r时,⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个.
[点评]本题是一道较为新颖的几何压轴题,考查圆、相似、正方形等几何知识,综合性较强,有一定的难度,试题的区分度把握非常得当,是一道很不错的压轴题。
9. (06山东枣庄课改卷)半径为2.5的⊙O中,直径AB的不同侧有定点C和动点P.已知BC :CA=4 : 3,点P在
AB上运动,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点O
(1)当点P与点C关于AB对称时,求CQ的长; (2)当点P运动AB到的中点时,求CQ的长;
(3)当点P运动到什么位置时,CQ取到最大值?求此时CQ的长.
[解] (1)当点P与点C关于AB对称时,CP⊥AB,设垂足为D.
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=900. ∴AB=5,AC:CA=4:3,∴BC=4, AC=3. 又∵AC·BC=AB·CD
∴ CD
1224,PC. 55
在Rt△ACB和Rt△PCQ中,
∠ACB=∠PCQ=900, ∠CAB=∠CPQ, Rt△ACB∽Rt△PCQ ∴
ACBCBCPC432
,CQPC. PCCQAC35
(2)当点P运动到弧AB的中点时,过点B作BE⊥PC
于点E(如图).∵P是弧AB的中点,∴PCB45,CEBE
BC 2
又∠CPB=∠CAB∴∠CPB= tan∠CAB=
4 3
∴PE
BE3 BE而从PCPEEC
tan
CPB422
4PC 33
BCPC4
PC. AC3
20
3
由(l
)得,CQ
(3)点P在弧AB上运动时,恒有CQ 故PC最大时,CQ取到最大值.
当PC过圆心O,即PC取最大值5时,CQ 最大值为
[点评]本题属于常规的几何综合题,解第3小问时要有动态的思想(在草稿上画画图)不难猜想出结论。
P交x轴于A,B两点,10.如图,点P在y轴上,连结BP并延长交P于C,过点C的直线y2xb交x轴于D,
且
PAB4. (1)求点B,P,C的坐标;
(2)求证:CD是P的切线;
(3)若二次函数yx(a1)x6的图象经过点B,求这个二次函数的解析式,并写出使二次函数值小于一次函数y2xb值的x的取值范围.
[解] (1)如图,连结CA∵OP⊥AB
∴OB2
∵OP2BO2BP2 ∴OP2541,OP1
∵BC是P的直径∴CAB90∵CPBP,OBOA ∴AC2OP2 ∴B(2,0),P(0,1), (2)∵y2xb过C点∴b6 ∴y2x6
∵
当
y0
时,
x3
∴D(3,0)
∴∵OBAC2,ADOP1
CADPOB90∴△DAC≌△POB ∴DCA
∵ACBCBA90
∴DCAACB90(也可用勾股定理逆定理证明) ∴DC是P的切线
0)点 (3)∵yx(a1)x6过B(2,
2
∴022(a1)26 ∴a2 ∴yx2x6
2
6)和点D(3,0)(画图可得此结论) 因为函数yxx6与y2x6的图象交点是(0,
所以满足条件的x的取值范围是x3或x0
11. 如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点,且P在第一象限内,过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B。
(1)点P在运动时,线段AB的长度在发生变化,请写出线段AB长度的最小值,并说明理由;
(2)在⊙O上是否存在一点Q,使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由。
[解] (1)线段AB长度的最小值为4
理由如下:连接OP
因为AB切⊙O于P,所以OP⊥AB 取AB的中点C,则AB2OC
当OCOP时,OC最短, 即AB最短,此时AB4 (2)设存在符合条件的点Q, 如图①,设四边形APOQ为平行四边形,
因为四边形APOQ为矩形又因为OPOQ所以四边形APOQ
所以OQQA,QOA45,
在Rt△OQA中,根据OQ2,AOQ45,得Q点坐标为(2,
2)。
图①
如图②,设四边形APQO为平行四边形因为OQ
∥PA,APO90,所以
POq90,又因为OPOQ所以PQO45,
因为 PQ∥OA,所以
PQy轴。设PQy轴于点H,
在Rt△OHQ中,根据OQ2,HQO45,得Q点坐标为(2,2)
所以符合条件的点Q的坐标为(2,2)或(2,2)。
图②
12. 如图①,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为21,直线l:yx2与坐标轴分别
交于A、C两点,点B的坐标为(4,1),⊙B与x轴相切于点M。
(1)求点A的坐标及∠CAO的度数;
(2)⊙B以每秒1各单位长度的速度沿x轴负方向平移,同时,直线l绕点A顺时针匀速旋转。当⊙B第一次与
⊙O相切时,直线l也恰好与⊙B第一次相切。问:直线AC绕点A每秒旋转多少度?
(3)如图②,过A、O、C三点作⊙O1,点E为劣弧AO上一点,连接EC、EA、EO,当点E在劣弧AO上运动
时(、O两点重合),
第25题图②
ECEA
的值是否发生变化?如果不变,求其值;如果变化,说明理由。
EO
13. (06广东深圳课改卷)(10分)如图10-1,在平面直角坐标系xoy中,点M在x轴的正半轴上, ⊙M交x轴于
的中点,AE交y轴于G点,若点A的坐标为(-2,0)A、B两点,交y轴于C、D两点,且C为AE,AE8
(1)(3分)求点C的坐标. (2)(3分)连结MG、BC,求证:MG∥BC
OF
(3)(4分) 如图10-2,过点D作⊙M的切线,交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时,的比值是否发生
PF
变化,若不变,求出比值;若变化,说明变化规律.
图10-1
14.(06 安徽芜湖市课改卷)一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘,如图所示,AB与C D是水平的,BC与水平面的夹角为600,其中AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,请你作出该小朋友将园盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图,并求出此路线的长度。
15. (07芜湖市)24. 已知圆P的圆心在反比例函数y
k
(k1)图象上,并与x轴相交于A、B两点. 且始终与y轴相x
切于定点C(0,1).
(1) 求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;
(2) 若二次函数图象的顶点为D,问当
k
为何值时,四边形ADBP为菱形.
解: (1)连结PC、PA、PB,过P点作PH⊥x轴,垂足为H. ∵⊙P与y轴相切于点C (0,1),∴PC⊥y轴. ∵P点在反比例函数y
k
的图象上, x
∴P点坐标为(k,1). ∴PA=PC=k. 在Rt△APH中,AH
, ∴OA=OH—AH=k
. ∴A(k
,0).
∵由⊙P交x轴于A、B两点,且PH⊥AB,由垂径定理可知, PH垂直平分AB.
∴OB=OA+2AH= k
=k
,∴B(k
,0). 故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为x=k. 可设该抛物线解析式为y=a(xk)+h.
又抛物线过C(0,1), B(k
,0), 得:
2
ak2h1;
2
a(kk)h0.
解得a=1,h=1-k.
∴抛物线解析式为y=(xk)+1-k.
(2)由(1)知抛物线顶点D坐标为(k, 1-k)∴DH=k-1.
若四边形ADBP为菱形.则必有PH=DH .∵PH=1,∴k-1=1. 又∵k>1,∴k
∴当k
PD与AB互相垂直平分,则四边形ADBP为菱形.
16. 26. 如图①,②,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(4,0),以点A为圆心,4为半径的圆与x轴交于O,
2
2
2
2
22
B两点,OC为弦,AOC60,P是x轴上的一动点,连结CP.
(1)求OAC的度数;(2分)(2)如图①,当CP与A相切时,求PO的长;(3分)
(3)如图②,当点P在直径OB上时,CP的延长线与A相交于点Q,问PO为何值时,△OCQ是等腰三角形?)
解:(1)∵AOC60,AOAC,∴△AOC是等边三角形. ∴OAC60.
(2)∵CP与A相切,∴ACP90. ∴APC90OAC30. 又∵A(4,0),∴ACAO4.∴PA2AC8. ∴POPAOA844.
(3)①过点C作CP1OB,垂足为P1,延长CP1交A于Q1,
OQ,∴OCOQ,∴△OCQ是等腰三角形. ∵OA是半径, ∴OC111
又∵△AOC是等边三角形,∴POOA=2 . 1
②解法一:过A作ADOC,垂足为D,延长DA交A于Q2,CQ2与x轴交于P2, ∵A是圆心, ∴DQ2是OC的垂直平分线. ∴CQ2OQ2.∴△OCQ2是等腰三角形, 过点Q2作Q2Ex轴于E,在Rt△AQ2E中,∵Q2AEOADOAC30,
∴Q2E
1
2
12
1
. AQ22,AEQ2的坐标(
4+2)
2
C点坐标(2
,)在Rt△COP. 2,
AOC60,∴CP111中,∵PO设直线CQ2的关系式为:ykxb,则有
k1,2(4kb,
解得:∴yx2y
0时,x2
.∴PO2 2
2kb.b2
解法二: 过A作ADOC,垂足为D,延长DA交A于Q2,CQ2与x轴交于P2, ∵A是圆心, ∴DQ2是OC的垂直平分线. ∴CQ2OQ2.∴△OCQ2是等腰三角形.
∵OAC60,∴OQ2COAC30.∵DQ2平分OQ2C,ACAQ2,∴ACQ2AQ2C15. ∵△AOC是等边三角形,CP ∴PCA ∴PCP ACQ2301545.ACO30.1OA,12PCA11∴△
CPPPP12是等腰直角三角形.∴PP12CP1
P2OPO1122
17. 26. 如图12-1所示,在△ABC中,ABAC2,∠A90,O为BC的中点,动点E在BA边上自由移动,
12
12
动点F在AC边上自由移动.
(1)点E,F的移动过程中,△OEF是否能成为∠EOF45的等腰三角形?若能,请指出△OEF为等腰三角形时动点E,F的位置.若不能,请说明理由.
(2)当∠EOF45时,设BEx,CFy,求y与x之间的函数解析式,写出x的取值范围.
(3)在满足(2)中的条件时,若以O为圆心的圆与AB相切(如图12-2),试探究直线EF与O的位置关系,并证明你的结论.
BA
B图12-1
图12-2
解:如图,
A
A F
E
F
C B O
O B
(图12-1) (图12-2)
(1)点E,F移动的过程中,△OEF能成为EOF45°的等腰三角形.此时点E,F的位置分别是: ①E是BA的中点,F与A重合.
②BECFE与A重合,F是AC的中点
(2)在△OEB和△FOC中,EOBFOC135°,EOBOEB135°,
∴FOCOEB.又∵BC,∴△OEB∽△FOC.∴∵BEx,CF
y,OBOC
BEBO
. COCF
2
∴y(1≤x≤2). x
BEOEBEOEBEBO
(3)EF与O相切.∵△OEB∽△FOC,∴.∴.即. COOFBOOFOEOF
又∵BEOF45°,∴△BEO∽△OEF.∴BEOOEF.∴点O到AB和EF的距离相等. ∵AB与O相切,∴点O到EF的距离等于O的半径.∴EF与O相切.
18. (06武汉市) 如图①,在平面直角坐标系中,Rt△AOB≌Rt△CDA,且A(-1,0)、B(0,2),抛物线y=ax2+ax-2
经过点C。(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P、Q,使四边形ABPQ是正方形?若存在,求点P、Q的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如图②,E为BC延长线上一动点,过A、B、E三点作⊙O’,连结AE,在⊙O’上另有一点F,且AF=AE,AF交BC于点G,连结BF。下列结论:①BE+BF的值不变;②判断哪一个结论成立,并证明成立的结论。
(第25题图②)
BFBG
,其中有且只有一个成立,请你
AFAG
解:⑴由Rt△AOB≌Rt△CDA得OD=2+1=3,CD=1∴C点坐标为(-3,1),
∵抛物线经过点C,∴1= (-3)2 a+(-3)a-2,∴a
1121
。∴抛物线的解析式为yxx2. 222
⑵在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P、Q,使四边形ABPQ是正方形。
以AB边在AB右侧作正方形ABPQ。过P作PE⊥OB于E,QG⊥x轴于G,可证△PBE≌△AQG≌△BAO, ∴PE=AG=BO=2,BE=QG=AO=1,∴∴P点坐标为(2,1),Q点坐标为(1,-1)。 由(1)抛物线y
121
xx2。当x=2时,y=1,当x=,1时,y=-1。∴P、Q在抛物线上。 22
故在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P(2,1)、Q(1,-1),使四边形ABPQ是正方形。 ⑵另解:在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P、Q,使四边形ABPQ是正方形。
延长CA交抛物线于Q,过B作BP∥CA交抛物线于P,连PQ,设直线CA、BP的解析式分别为y=k1x+b1, y=k2x+b2, ∵A(-1,0),C(-3,1),∴CA的解析式y
1111
x,同理BP的解析式为yx, 2222
11
yx22
解方程组得Q点坐标为(1,-1),同理得P点坐标为(2,1)。
11yx2x222
由勾股定理得AQ=BP=AB=,而∠BAQ=90°,
∴四边形ABPQ是正方形。故在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P(2,1)、Q(1,-1),使四边形ABPQ是正方形。 ⑵另解:在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P、Q,使四边形ABPQ是正方形。如图,将线段CA沿CA方向平移至AQ,∵C(-3,1)的对应点是A(-1,0),∴A(-1,0)的对应点是Q(1,-1),再将线段AQ沿AB方向平移至BP,同理可得P(2,1)
∵∠BAC=90°,AB=AC
∴四边形ABPQ是正方形。经验证P(2,1)、Q(1,-1)两点均在抛物线y⑶结论②
121
xx2上。 22
BFBG
成立, AFAG
MFBG
。 AFAG
证明如下:连EF,过F作FM∥BG交AB的延长线于M,则△AMF∽△ABG,∴
由⑴知△ABC是等腰直角三角形,∴∠1=∠2=45°。∵AF=AE,∴∠AEF=∠1=45°。 ∴∠EAF=90°,EF是⊙O´的直径。∴∠EBF=90°。∵FM∥BG, ∴∠MFB=∠EBF=90°,∠M=∠2=45°,∴BF=MF,∴
BFBG
AFAG
24、如图12,形如三角板的∆ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=45°,BC=12cm,形如矩形量角器的半圆O的直径DE=12cm,矩形DEFG的宽EF=6cm,矩形量角器以2cm/s的速度从左向右运动,在运动过程中,点D、E始终在BC所在的直线上,设运动时间为x(s),矩形量角器和∆ABC的重叠部分的面积为S(cm2).当x=0(s)时,点E与点C重合.(图(3)、图(4)、图(5)供操作用). (1)当x=3时,如图(2),S= cm2,
当x=6时,S= cm2, 当x=9时,S= cm2;
(2)当3
(4)当x为何值时,∆ ABC的斜边所在的直线与半圆相切? ...........O.所在的圆....解:(1)36,54,18
(2)如图,设矩形DEFG与斜边AB的交点分别为N、H,与直角边AC的交点为M. BE=12-2x,AM=12-6=6 ∴S=S∆ABC -S∆AMN -S∆BHE =
1112
×12×12-×6×6-×(12-2x)222
2
=-2x+24x-18
2
所以,当3
(3)如图,设矩形DEFG与斜边AB的交点为M,延长FG交AC于点H AH=12-6=6,HG=2x-12 ∴S=S∆ABC-S∆AHM-S矩形HCDG =
A
111
×12×12-×6×6-×6×(2x-12)=-12x+126 222
所以,当6
①过点O作OD⊥AB于点D,由题意得OD=6 ∵∠ABC=45°,∠ODB=90° ∴OB=6262=62 ∴x1=
CA
图(3)
B
61262
932(秒)
2
CA
图(4)
B
②过点O作OE⊥AB,交AB的延长线于点E,由题意得OE=6 ∵∠OBE=45°,∠OEB=90° ∴OB=6262=62 ∴x2=
61262
932(秒)
2
C
图(5)
B
故当x等于(9-32)秒或(9+2)秒时,∆ABC的斜边所在的直线与半圆O所在的圆相切.
21.07(湖南省韶关市) 25.如图6,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA=4,AB=2,直线yx交于D、E。设M是AB的中点,P是线段DE上的动点. (1)求M、D两点的坐标;
(2)当P在什么位置时,PA=PB?求出此时P点的坐标;
(3)过P作PH⊥BC,垂足为H,当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时,求梯形PMBH的面积. 解: (1)M(4,1),D(,0)
(2)∵PA=PB,∴点P在线段AB的中垂线上, ∴点P的纵坐标是1,又∵点P在yx
3
与坐标轴2
32
3
上,2
1
∴点P的坐标为(,1)
2
(1) 设P(x,y),连结PN、MN、NF.
33
∵点P在yx上,∴P(x,x)
22
依题意知:PN⊥MN,FN⊥BC,F是圆心. ∴N是线段HB的中点,HN=NB=
4x31
,PH2(x)x,BM1
222
∵∠HPN+∠HNP=∠HNP+∠BNM=90°,∴∠HPN=∠BNM,又∠PHN=∠B=90°
4x1x
HNPH∴x212x140,解得:
∴Rt△PNH∽Rt△NMB, ∴,
4xBMBN1
2
3
x6x
舍去)
,x6
2
1
(16)(46(BMHP)BH37SPMBH222
22.已知Rt△ABC,∠ACB=90o,AC=4,BC=3,CD⊥AB于点D,以D为坐标原点,CD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)若⊙O1、⊙O2分别为△ACD、△BCD的内切圆,求直线O1O2的解析式;
(3)若直线O1O2分别交AC、BC于点M、N,判断CM与CN的大小关系,并证明你的结论.
解: (1)在Rt△ABC中,CD⊥AB
16 5
△ADC∽△ACB AC2ADAB,AD
912同理DB,CD
55
16912
A,0,B,0,C0
555
(2)设O1的半径为r1,O2的半径为r2, 则有S△ADC r1
11
ADCD(ADCDAC)r1 22
ADCD434433
同理r2O1,O2
ADCDAC555555
124
x 735
312
x, 45
由此可求得直线O1O2的解析式为:y(3)CM与CN的大小关系是相等.
证明如下:法一:由(1)易得直线AC的解析式为:y联立直线O1O2的解析式,求得点M的纵坐标为yM
24
,过点M作ME⊥y轴于点E, 25
36CECM
CECDDE,由Rt△CME∽Rt△CAD,得, 25CDCA
1212
解得:CM 同理CN,CMCN
B55
法二:由
O1D4AC
Rt△O1O2D∽Rt△ABC O2D3BC图14
O2O1DBAC由此可推理:CMNO1DA45,CNM45,CMCN
23. (07贵阳市)25. 如图14,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形.
(1)求这个扇形的面积(结果保留).(3分)
(2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由.(4分) (3)当O的半径R(R0)为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.(5分)
解: (1)连接BC,由勾股定理求得:
ABACnR21S
3602
(2)连接AO并延长,与弧BC和O交于E,F,
B
EFAFAE2BC
的长:l
nR
2r
圆锥的底面直径为:2r
180222
2
,不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥. nRR
R2r180(3
)由勾股定理求得:ABAC弧BC
的长:l
圆锥的底面直径为:2r
R
EFAFAE2R(2
R 2
2
且R
0(2RR即无论半径R为何值,EF2r 22
不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥
24.. 如图,O的半径均为R.
(1)请在图①中画出弦AB,CD,使图①为轴对称图形而不是中心对称图形;请在图②中画出弦AB,CD,使图②..仍为中心对称图形;
(2)如图③,在O中,ABCDm(0m2R),且AB与CD交于点E,夹角为锐角.求四边形ACBD的面积(用含m; ,的式子表示)
(3)若线段AB,CD是
O的两条弦,且ABCD,你认为在以点A,B,C,D为顶点的四边形中,是否存在面积最大的四边形?请利用图④说明理由.
(第25题图①) (第25题图②) (第25题图③) (第25题图④) 解:
(1)答案不唯一,如图①、②(只要满足题意,画对一个图形给2分,画对两个给3分)
(第25题答案图①) (第25题答案图②)
(2)过点A,B分别作CD的垂线,垂足分别为M,N.
11
∵S△ACDCD·AMCD·AE·sin,
2211
S△BCDCD·BNCD·BE·sin.
22
∴S四边形ACBDS△ACDS△BCD
11
CD·AE·sinCD·BE·sin 22
111CD·(AEBE·)sinCD·AB·sinm2sin. 222
(3)存在.分两种情况说明如下:
①当AB与CD相交时,由(2
)及ABCD知S四边形ACBD②当AB与CD不相交时,如图④.
(第25题答案图③)
1
AB·CD·sinR2sin. 2
E ∵ABCD,OCODOAOBR,
∴AOBCOD90°,
而S四边形ABCDSRt△AOBSRt△OCDS△AODS△BOC
R2S△AODS△BOC.
(第25题答案图④)
延长BO交O于点E,连接EC,则132390°.∴12.
∴△AOD≌△COE.∴S△AODS△OCE.∴S△AODS△BOCS△OCES△BOCS△BCE.
过点C作CHBE,垂足为H,则S△BCE
1
BE·CHR·CH.∴当CHR时,S△BCE取最大值R2. 2
综合①、②可知,当1290°,即四边形ABCD
的正方形时,
S四边形ABCDR2R22R2为最大值.
25在直角坐标系中,⊙A的半径为4,圆心A的坐标为(2,0),⊙A与x轴交于E、F两点,与y轴交于C、D两点,
过点C作⊙A的切线BC,交x轴于点B. (1)求直线CB的解析式;
(2)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上,与x
轴的交点恰为点E、F,求该抛物线的解析式; (3)试判断点C是否在抛物线上?
(4) 在抛物线上是否存在三个点,由它构成的三角形与
△AOC相似?直接写出两组这样的点. 解:(1)方法一:
连结AC,则ACBC.
∵ OA2,AC4,∴ OC
= 又 Rt△AOC∽Rt△COB,∴
AOOC
. ∴ OB=6.
OCOB
∴ 点C
坐标为(00). 设直线BC的解析式为y=kx+b, ,点B坐标为(6,
可求得直线BC
的解析式为y
x o o
方法二:连结AC,则ACBC.∵ OA2,AC4,∴ ∠ACO=30,∠CAO=60.
∴ ∠CBA=30. ∴ AB=2AC=8. ∴ OB=AB-AO=6. 以下同证法一.
(2) 由题意得,⊙A与x轴的交点分别为E(2,0)、F(6,0),抛物线的对称轴过点A为直线x2.
o
. 2
抛物线过点E(2,0),
设抛物线解析式为ya(x2)∵ 抛物线的顶点在直线BC上,∴
抛物线顶点坐标为(2∴
0a(22)
2
a. 1
∴
抛物线的解析式为y2
x2)2
yxx. (3)点C在抛物线上.因为抛物线与y轴的交点坐标为(0,如图. (4) 存在,这三点分别是E、C、F与E、C1、F,C1的坐标为(4,.
即△ECF∽△AOC、△EC1F∽△AOC,如图.
1
26. .如图,抛物线yx2mxn交x轴于A、B两点,交y轴于点C,点P是它的顶点,点A的横坐标是3,点B
2
的横坐标是1. (1)求m、n的值; (2)求直线PC的解析式;
(3)请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线
PC的位置关系,并说明理由.(参考数:1.41,1.732.24) 1
解: (1)由已知条件可知: 抛物线yx2mxn经过A(-3,0)、B(1,0)两点.
2
903mn,32∴ 解得 m1,n.
201mn.
2
133 (2) ∵yx2x, ∴ P(-1,-2),C(0,).
222
2kb,
1313
设直线PC的解析式是ykxb,则3 解得k,b. ∴ 直线PC的解析式是yx.
b.2222213
说明:只要求对kb,不写最后一步,不扣分.
22
(3) 如图,过点A作AE⊥PC,垂足为E.
设直线PC与x轴交于点D,则点D的坐标为(3,0). 3
在Rt△OCD中,∵ OC=,OD3,
2
∴
CD
∵ OA=3,OD3,∴AD=6. ∵ ∠COD=∠AED=90,∠CDO公用, ∴ △COD∽△AED.
3OCCD∴ ,
即. ∴
AE.∵
2.6882.5,
AE6AEADo
∴ 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离.
27. (07绵阳市)25.如图,已知抛物线y = ax+ bx-3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,经
2
过A、B、C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,⊙M的半径为5.设⊙M与y轴交于D,抛物线的顶点为E.
(1)求m的值及抛物线的解析式;
(2)设∠DBC = ,∠CBE = ,求sin(-)的值;
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,请指出点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意可知C(0,-3),
b
1, 2a
∴ 抛物线的解析式为y = ax2-2ax-3(a>0),
过M作MN⊥y轴于N,连结CM,则MN = 1,CM5, ∴ CN = 2,于是m =-1.
同理可求得B(3,0),∴ a×32-2-2a×3-3 = 0,得 a = 1,∴ 抛物线的解析式为y = x2-2x-3. (2)由(1)得 A(-1,0),E(1,-4),D(0,1). ∴ 在Rt△BCE中,BC32,CE2, ∴
OB3OBBCOBODBC32
3,,即 , 3,∴ OD1ODCEBCCECE2
∴ Rt△BOD∽Rt△BCE,得 ∠CBE =∠OBD =, 因此 sin(-)= sin(∠DBC-∠OBD)= sin∠OBC =(3)显然 Rt△COA∽Rt△BCE,此时点P1(0,0).
CO2
.
BC2
1
过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2,由Rt△CAP2 ∽Rt△BCE,得P2(0,).
3
过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3,由Rt△P3CA∽Rt△BCE,得P3(9,0).
故在坐标轴上存在三个点P1(0,0),P2(0,1∕3),P3(9,0),使得以P、A、C为顶点的三
角形与BCE相似.
28. .如图,点M(4,0),以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B.已知抛物线y
12
xbxc6
过点A和B,与y轴交于点C.
(1)求点C的坐标,并画出抛物线的大致图象.
1
(2)点Q(8,m)在抛物线yx2bxc上,点P为此抛物线对称轴上一个动点,求PQ+PB的最小
6
值.
(3)CE是过点C的⊙M的切线,点E是切点,求OE所在直线的解析式.
x
解:(1)由已知,得 A(2,0),B(6,0),∵抛物线yx2bxc过点A和B,则
12
422bc0,6b,
解得3
1626bc0,c2.6
124
xx2. 故C(0,2). 63
16
则抛物线的解析式为y
(说明:抛物线的大致图象要过点A、B、C,其开口方向、顶点和对称轴相对准确)„(3分) (2)如图①,抛物线对称轴l是x=4.∵Q(8,m)抛物线上,∴m=2.
过点Q作QK⊥x轴于点K,则K(8,0),QK=2,AK=6,∴AQ. 又∵B(6,0)与A(2,0)关于对称轴l对称,∴PQ+PB的最小值=AQ=.
(3)如图②,连结EM和CM.由已知,得EM=OC=2.
CE是⊙M的切线,∴∠DEM=90º,则∠DEM=∠DOC.又∵∠ODC=∠EDM. 故△DEM≌△DOC.∴OD=DE,CD=MD.
又在△ODE和△MDC中,∠ODE=∠MDC,∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC.则 OE∥CM.
设CM所在直线的解析式为y=kx+b,CM过点C(0,2),M(4,0),
1
k,4kb0,1
∴解得2直线CM的解析式为yx2.
2b2,b2,
又∵直线OE过原点O,且OE∥CM,则OE的解析式为y=
1
x. 2
,,AB平行于x轴,B,C,D三点在抛物29.如图(13),已知平行四边形ABCD的顶点A的坐标是(016)42
x上,DC交y轴于N点,一条直线OE与AB交于E点,与DC交于F点,如果E点的横坐标25
135
为a,四边形ADFE的面积为.
2
(1)求出B,D两点的坐标; (2)求a的值;
线y
(3)作△ADN的内切圆P,切点分别为M,K,H,求tanPFM的值.
图(13)
解:(1)∵点A的坐标为(0,16),且AB∥x轴 ∴B点纵坐标为4,且B点在抛物线y又∵点D、C在抛物线y
42
x上∴点B的坐标为(10,16) 25
42
x上,且CD∥x轴∴D、C两点关于y轴对称∴DN=CN=5. 25
∴D点的坐标为(-5,4)
(2)设E点的坐标为(a,16),则直线OE的解析式为:y
aa
∴F点的坐标为(,4)由AE=a,DF=5且S梯形ADFE
44
1a135(a5)(164)解得a=5 242
16
x a135,得 2
(3)连结PH,PM,PK
∵⊙P是△AND的内切圆,H,M,K为切点∴PH⊥AD,PM⊥DN,PK⊥AN 在Rt△AND中,由DN=5,AN=12,得AD=13
11
(51213)r512,r=2 22
513
在正方形PMNK中,PM=MN=2∴MFMNNF2
44
PM
28
在Rt△PMF中,tan∠PMF=
MF1313
4
设⊙P的半径为r,则SAND
0)B(0,8)两点. 30 如图所示,在平面直角坐标系中,M经过原点O,且与x轴、y轴分别相交于A(6,,
(1)请求出直线AB的函数表达式;
(2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在M上,开口向下,且经过点B,求此抛物线的函数表达式;
(3)设(2)中的抛物线交x轴于D,E两点,在抛物线上是否存在点P,使得S△PDE的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)设直线AB的函数表达式为ykxb(k0),
0)B(0,8), ∵直线AB经过A(6,,
1
S△ABC?若存在,请求出点P15
4
6kb0,k,
解得∴由此可得3
b8.b8.
4
∴直线AB的函数表达式为yx8.
3
(2)在Rt△
AOB中,由勾股定理,得AB10,
∵M经过O,A,B三点,且AOB90°, ∴AB为M的直径,∴半径MA5, 设抛物线的对称轴交x轴于点N,
1
∵MNx,∴由垂径定理,得ANONOA3.
2
在Rt△
AMN中,MN4,
CNMCMN541,顶点C的坐标为(31),,
设抛物线的表达式为ya(x3)21,它经过B(0,8),
把x0,y8代入上式,得8a(03)21,解得a1, 抛物线的表达式为y(x3)21x26x8.
(3)如图,连结AC,BC,
1111S△ABCS△AMCS△BMCMCANMCON535315.
2222
在抛物线yx26x8中,设y0,则x6x80,解得x12,x24.
2
D,E的坐标分别是(4,0),(2,0),DE2;
设在抛物线上存在点P(x,y),使得S△PDE=则S△PDE
11
S△ABC151, 1515
11
DEy2y1,y1, 22
2
当y1时,x6x81,解得x1x23,P,; 1(31)当y1时,x6x8
1,解得x13
x23,
2
P-1
),P-1). 2(33(3综上所述,这样的P点存在,且有三个,P,
,P
),P1). 1(31)2(33(3
31. 如图,圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周,并且始终保持与正方形的边相切。
(1)在图中,把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来;
(2)当圆的直径等于正方形的边长一半时,该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大?并说明理由。
解:⑴圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示如下:
⑵圆的直径等于正方形的边长一半时,覆盖区域的面积不是最大.理由如下:
设正方形的边长为a,圆的半径为r 覆盖区域的面积为S
∵圆在正方形的内部,∴0<r≤
由图可知:S=a2―[(a―4r)2+4r2-πr2] =a2―[(20―π)r2―8ar+a2]
=―(20―π) r2+8ar
=―(20―π)(r―)2+
∵ 0< <
∴当r= 时,S有最大值
∵
≠
∴圆的直径等于正方形的边长一半时,面积不是最大.
32.如图9,在平面直角坐标系中,二次函数yaxbxc(a0)的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),
OB=OC ,tan∠ACO=
2
1
. 3
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度. (4)如图10,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
(08广东深圳22题解析)22.(1)方法一:由已知得:C(0,-3),A(-1,0) „1分
abc0a1
将A、B、C三点的坐标代入得9a3bc0 解得:yx22x3 b2 所以这个二次函数的表达式为:
c3c3
方法二:由已知得:C(0,-3),A(-1,0)
设该表达式为:ya(x1)(x3) 将C点的坐标代入得:a1 所以这个二次函数的表达式为:y
x2x3
2
(2)方法一:存在,F点的坐标为(2,-3)
理由:易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为:yx3∴E点的坐标为(-3,0) 由A、C、E、F四点的坐标得:AE=CF=2,AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形∴存在点F,坐标为(2,-3)
方法二:易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为:yx3∴E点的坐标为(-3,0) ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形∴F点的坐标为(2,-3)或(―2,―3)或(-4,3) 代入抛物线的表达式检验,只有(2,-3)符合∴存在点F,坐标为(2,-3) (3)如图,①当直线MN在x轴上方时,设圆的半径为R(R>0),则N(R+1,R), 代入抛物线的表达式,解得R
1 2
②当直线MN在x轴下方时,设圆的半径为r(r>0),则N(r+1,-r
1代入抛物线的表达式,解得r
211∴圆的半径为或.
22
(4)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,易得G(2,-3),直线设P(x,x2x3),则Q(x,-x-1),PQxx2.
2
2
SAPGSAPQSGPQ
当x
1
(x2x2)3 2
127115
时,△APG的面积最大 此时P点的坐标为,,SAPG的最大值为. 2824
33.(08湖南长沙)26.如图,六边形ABCDEF内接于半径为r(常数)的⊙O,其中AD为直径,且AB=CD=DE=FA.
(1)当∠BAD=75时,求⌒BC的长;(2)求证:BC∥AD∥FE; (3)设AB=x,求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式,并指出x为何值时,L取得最大值.
D
(08湖南长沙26题解析)26.(1)连结OB、OC,由∠BAD=75,OA=OB知∠AOB=30
⌒的长为2r. ∵AB=CD,∴∠COD=∠AOB=30,∴∠BOC=120,故BC
(2)连结BD,∵AB=CD,∴∠ADB=∠CBD,∴BC∥AD,同理EF∥AD,从而BC∥AD∥FE. (3)过点B作BM⊥AD于M,由(2)知四边形ABCD为等腰梯形,从而BC=AD-2AM=2r-2AM. ∵AD为直径,∴∠ABD=90,易得△BAM∽△DAB
2222
∴AM==,∴BC=2r-,同理EF=2r-
22
∴L=4x+2(2r-x)=2x24x4r=2xr6r,其中0<x< ∴当x=r时,L取得最大值6r.
34.(08湖南益阳)七、(本题12分)
24.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.
如图12,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,-3),AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2.
(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值范围; (2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗?试试看;
(3)开动脑筋想一想,相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.
(0824.解:(1)解法1:根据题意可得:A(-1,0),B(3,0); 则设抛物线的解析式为ya(x1)(x3)(a≠0)
又点D(0,-3)在抛物线上,∴a(0+1)(0-3)=-3,解之得:a=1 ∴y=x-2x-3自变量范围:-1≤x≤3
解法2:设抛物线的解析式为yax2bxc(a≠0)根据题意可知,A(-1,0),B(3,0),D(0,-3)三点都在抛物线上
abc0a12
∴9a3bc0,解之得:b2∴y=x-2x-3自变量范围:-1≤x≤3 c3c3
2
(2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E,连结CM, 在Rt△MOC中,∵OM=1,CM=2,∴∠CMO=60°,OC= 在Rt△MCE中,∵OC=2,∠CMO=60°,∴ME=4
∴点C、E的坐标分别为(0,),(-3,0) ∴切线CE的解析式为y (3)设过点D(0,-3),“蛋圆”切线的解析式为:y=kx-3(k≠0)
ykx32
kx3x2x3有两个相等实根,∴k=-2 由题意可知方程组只有一组解 即2
yx2x3
x 3
∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3
35我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆.
(1)请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
A A
100 80
B C B C
(第25题图1)
(2)探究三角形的最小覆盖圆有何规律?请写出你所得到的结论(不要求证明); (3)某地有四个村庄E,F,G,H(其位置如图2所示),现拟建一个电视信号中转站,为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号,且使中转站所需发射功率最小(距离越小,所需功率越小),此中转站应建在何处?请说明理由.
G
F
(第25题图2)
(08江苏连云港25题解析)25.解:(1)如图所示:
F
(第25题答图1)
(第25题答图2)
(注:正确画出1个图得2分,无作图痕迹或痕迹不正确不得分)
(2)若三角形为锐角三角形,则其最小覆盖圆为其外接圆; ····························· 6分
若三角形为直角或钝角三角形,则其最小覆盖圆是以三角形最长边(直角或钝角所对的边)为直径的圆. 8分 (3)此中转站应建在△EFH的外接圆圆心处(线段EF的垂直平分线与线段EH的垂直平分线的交点处). 理由如下:
由HEFHEGGEF47.835.182.9,49.8EHF50.0,EFH47.1, 故△EFH是锐角三角形,
所以其最小覆盖圆为△EFH的外接圆,
设此外接圆为O,直线EG与O交于点E,M, 则EMFEHF50.053.8EGF.
故点G在O内,从而O也是四边形EFGH的最小覆盖圆.所以中转站建在△EFH的外接圆圆心处,能够符合题中要求.
36. (08江苏宿迁)27.(本题满分12分)
如图,⊙O的半径为1,正方形ABCD顶点B坐标为(5,0),顶点D在⊙O上运动.
(1)当点D运动到与点A、O在同一条直线上时,试证明直线CD与⊙O相切; (2)当直线CD与⊙O相切时,求CD所在直线对应的函数关系式;
(3)设点D的横坐标为x,正方形ABCD的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值与最小值.
第27题图1
第27题图2
(08江苏宿迁27题解析)27.解:(1) ∵四边形ABCD为正方形 ∴ADCD ∵A、O、D在同一条直线上 ∴ODC90 ∴直线CD与⊙O相切; (2)直线CD与⊙O相切分两种情况:
①如图1, 设D1点在第二象限时,过D1作D1E1x轴于点E1,设此时的正方形的边长为a,则(a1)a5,解得a4或a3(舍去).由RtBOA∽RtD1OE1 得
222
OE1D1E1OD1
OABAOB
∴OE1
34344
,D1E1 ∴D1(,),故直线OD的函数关系式为yx; 55553
2
2
2
②如图2, 设D2点在第四象限时,过D2作D2E2x轴于点E2,设此时的正方形的边长为b,则(b1)b5,解得b3或b4(舍去).由RtBOA∽RtD2OE2 得
OE2D2E2OD2
OABAOB
∴OE2
43433
,D2E2 ∴D2(,),故直线OD的函数关系式为yx. 55554
(5x)2(1x2)2610x
2
(3)设D(x,y0),则y0x,由B(5,0)得DB
∴S
11
BD2(2610x)135x∵1x1∴S最大值13518,S22
最小值
1358
37. (08江苏无锡)27.(本小题满分10分)
如图,已知点A从(1,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动,以O,A为顶点作菱形OABC,使点
B,C在第一象限内,且AOC60;以P(0,3)为圆心,PC为半径作圆.设点A运动了t秒,求:
(1)点C的坐标(用含t的代数式表示);
(2)当点A在运动过程中,所有使P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值.
(08江苏无锡27题解析)27.解:(1)过C作CDx轴于D,
OA1t,OC1t,ODOCcos60
1t
,DCOCsin60 21t点C
的坐标为2.
(2)①当P与OC相切时(如图1),切点为C,此时PCOC,OCOPcos30,1t3,
2
t
1. ②当P与OA,即与x轴相切时(如图2),则切点为O,PCOP, 过P作PEOC于E,则OE
11tOC,,t1. OPcos30
222
③当P与AB所在直线相切时(如图3),设切点为F,PF交OC于G, 则PF
OC,FGCD
PCPFOPsin30. 2
2
2
过C作CHy轴于H,则PHCHPC,
t)1tt)3
3,
2222
化简,得(t1)t1)270,
解得t1
t10,
2
2
22
t1.所求t
1,
1和1. (10分)
38. (08江苏无锡)28.(本小题满分8分)
一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求:在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点,每个点安装一个这种转发装置,使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问:
(1)能否找到这样的4个安装点,使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求? (2)至少需要选择多少个安装点,才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求? 答题要求:请你在解答时,画出必要的示意图,并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由.(下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图,供解题时选用)
图1 (08江苏无锡28题解析)28.解:(1)将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形,将这4个转发装置安装在
31,每个转发装置都能完全这4
个小正方形对角线的交点处,此时,每个小正方形的对角线长为
覆盖一个小正方形区域,故安装4个这种装置可以达到预设的要求.
············································································· (3分)(图案设计不唯一) (2)将原正方形分割成如图2中的3个矩形,使得BEDGCG.将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处,设AEx,则ED30x,DH15.
2222
由BEDG,得x3015(30x),
12
22515x
,BE30.231,
604即如此安装3个这种转发装置,也能达到预设要求. ·································· (6分)
或:将原正方形分割成如图2中的3个矩形,使得BE31,H是CD的中点,将每个装置安装在这些矩形的对
角线交点处,则AE
,DE30
DE
26.831,即如此安
装三个这个转发装置,能达到预设要求. ······················································ (6分)
要用两个圆覆盖一个正方形,则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点.如图3,用一个直径为31的O去覆盖
O与AD交于E,边长为30的正方形ABCD,设O经过A,B,连BE,
则AE
这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形ABCD.
所以,至少要安装3个这种转发装置,才能达到预设要求. 评分说明:示意图(图1、图2、图3)每个图1分.
A D D A
H B B C F 图1 图2 图3
15
1
AD,2
39. (08山东德州东营菏泽)24.(本题满分12分)
在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x. (1)用含x的代数式表示△MNP的面积S; (2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?
(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
B B D 图 1 图 2 (08山东德州东营菏泽23题解析)23.(本题满分12分) 解:(1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C.
∴ △AMN ∽ △ABC.
∴ AMANxAN
ABAC
,即43.
∴ AN=3
4
x.
B
∴ S=SMNPSAMN
1234xx32
图 1 8
x.(0<x<4) (2)如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO =OD =1
2
MN. 在Rt△ABC中,BC
=5. 由(1)知 △AMN ∽ △ABC.
∴ AMABMNBC
,即xMN
45.
B
D ∴ MN
5图 2
4x,∴ OD5
8
x. 过M点作MQ⊥BC 于Q,则MQOD
5
8
x. 在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,∴ △BMQ∽△BCA.∴ BMQMBCAC
.55
∴ BM
x
32524
x,ABBMMA2524xx4. ∴ x=9649. ∴
当
x
=
96
49
时,⊙O与直线
(3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连结AP,则O点为AP的中点.∵ MN∥BC,∴ ∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC
∴ △AMO ∽ △ABP.
∴
AMABAOAP12. AM=MB=2.
故以下分两种情况讨论:
P ① 当0<x≤2时,yS3
图 3
323ΔPMN8x2. ∴ 当x=2时,y最大822
.
② 当2<x<4时,设PM,PN分别交BC于E,F.
∵ 四边形AMPN是矩形,
∴ PN∥AM,PN=AM=x. 又∵ MN∥BC, ∴ 四边形MBFN是平行四边形.
图 3
BC相切.
∴ FN=BM=4-x. ∴ PFx4x2x4. 又△PEF ∽ △ACB.
SPEF32PFSx2∴ .∴ PEFABS2ABC
2
ySMNPSPEF
=
2
32392
xx2x26x6 828
9298
当2<x<4时,yx6x6x2.
883
∴ 当x综
8
时,满足2<x<4,y最大2. 3
8x上所述,当时,
3
y
值最大,最大值是2.
40. 24.(本题满分12分)
如图,圆B切y轴于原点O,
过定点A(已知,抛物线C经过A,P作圆B切线交圆于点P.
3两点.
(1)求圆
B的半径;
(2)若抛物线C经过点B,求其解析式; (3)投抛物线C交y轴于点M,若三角形APM
41. 28.在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上,且OA>OB,以AB为直径的圆过点C,若C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程x(m2)xn10的两根:
(1) 求m,n的值
(2) 若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D,试求直线l对应的一次函数的解析式 (3) 过点D任作一直线l分别交射线CA,CB(点C除外)于点M,N,则
定值,若不是,请说明理由
`
2
11的值是否为定值,若是,求出CMCN
L`
42(08四川凉山)25.(9分)如图,在△ABC中ACB90,D是AB的中点,以DC为直径的O交△ABC的三边,交点分别是G,F,E点.GE,CD的交点为M
,且MEMD:CO2:5. (1)求证:GEFA. (2)求O的直径CD的长.
(3)若cosB0.6,以C为坐标原点,CA,CB所在的直线分别为X轴和Y轴,建立平面直角坐标系,求直线AB的函数表达式.
(08四川凉山25题解析)25.(9分)
(1)连接DFCD是圆直径,CFD90,即DFBCACB90,DF∥AC.
BDFA.在O中BDFGEF,GEFA.
(2)D是Rt△ABC斜边AB的中点,DCDA,DCAA, 又由(1)知GEFA,DCAGEF. 又OMEEMC,△OME与△EMC相似 OMME2 MEOM
MC又
ME,OMMC296 MEMC
MD:CO2:5,OM:MD3:2,OM:MC3:8
设OM3x,MC8x,3x8x96,x2直径CD10x20. (3)Rt△ABC斜边上中线CD20,AB40
BC
,BC24,AC32 在Rt△ABC中cosB0.6AB
设直线AB的函数表达式为ykxb,
0),B(0,24) 根据题意得A(32,
3k0kb24
解得4
32kb0b24
第25题图 3
直线AB的函数解析式为yx24(其他方法参照评分)
4
0)A(2,0),点B在第一象限且△OAB为正三角形,△OAB的外接圆43. 24.如图,直角坐标系中,已知两点O(0,,
交y轴的正半轴于点C,过点C的圆的切线交x轴于点D.
(1)求B,C两点的坐标;(2)求直线CD的函数解析式;
(3)设E,F分别是线段AB,AD上的两个动点,且EF平分四边形ABCD的周长.试探究:△AEF的最大面积?
(第24题)
(第24题)
(08浙江嘉兴24题解析)24.(1)A(2,0),OA2.
作BGOA于G,△OAB为正三角形,OG
1,BG
B.
连AC,AOC90,ACOABO60,OCOAtan30.C0 .
(2)AOC90,AC是圆的直径, 又CD是圆的切线,CDAC.
OCD30,ODOCtan30
2
. 3
2D,0.
3
设直线CD的函数解析式为ykxb(k0),
(第24题)
kbCD
则,解得.直线的函数解析式为. y3b02kb
33
(3)ABOA2,OD
24,CD2OD
,BCOC, 33四边形ABCD
的周长6
.设AEt,△AEF的面积为S,
3
则AF3
13t.
t,SAFAEsin6023
2
7t. S3t3
当t
3. Smax
8点E,F分别在线段AB,AD上,
0≤t≤2
t≤2.
2t≤
20≤3
33
t
91满足≤t≤2, 63
3
. 8
△
AEF44. 08浙江宿迁)27.(本题满分12分)
如图,⊙O的半径为1,正方形ABCD顶点B坐标为(5,0),顶点D在⊙O上运动.
(1)当点D运动到与点A、O在同一条直线上时,试证明直线CD与⊙O相切; (2)当直线CD与⊙O相切时,求CD所在直线对应的函数关系式;
(3)设点D的横坐标为x,正方形ABCD的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值与最小值.
45.(08山东济南24题)(本小题满分9分)
第27题
,0). 已知:抛物线yax2bxc(a≠0),顶点C (1,3),与x轴交于A、B两点,A(1
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线对称轴交于点E,依次连接A、D、B、E,点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合),过点P作PM⊥AE于M,PN⊥DB于N,请判断
PMPN
是否为定值? 若是,请求出
BEAD
此定值;若不是,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,若点S是线段EP上一点,过点S作FG⊥EP ,FG分别与边.AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合,G与E、B不重合),请判断
PAEF
是否成立.若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
PBEG
第24题图
(08山东济南24题解析)解:(1)设抛物线的解析式为ya(x1)23 将A(-1,0)代入: 0a(11)23 ∴ a
3 4
3339
∴ 抛物线的解析式为y(x1)23,即:yx2x
4424(2)是定值,
PMPN
,∵ PM⊥AE,∴ PM∥BE 1 ∵ AB为直径,∴ ∠AEB=90°
BEAD
PMAPPNPB
①同理: ②
BEABADAB
∴ △APM∽△ABE,∴ ① + ②:
PMPNAPPB
1 BEADABAB
(3)∵ 直线EC为抛物线对称轴,∴ EC垂直平分AB∴ EA=EB
∵ ∠AEB=90°∴ △AEB为等腰直角三角形.∴ ∠EAB=∠EBA=45° 如图,过点P作PH⊥BE于H,
由已知及作法可知,四边形PHEM是矩形, ∴PH=ME且PH∥ME 在△APM和△PBH中 ∵∠AMP=∠PHB=90°, ∠EAB=∠BPH=45° ∴ PH=BH
且△APM∽△PBH
PAPMPAPMPM
∴ ①
PBBHPBPHME在△MEP和△EGF中,
∵ PE⊥FG, ∴ ∠FGE+∠SEG=90° ∵∠MEP+∠SEG=90° ∴ ∠FGE=∠MEP ∵ ∠PME=∠FEG=90° ∴△MEP∽△EGF ∴ ∴
PMEFPAEF
②由①、②知:
MEEGPBEG
0),46. (08四川达州23题)如图,将△AOB置于平面直角坐标系中,其中点O为坐标原点,点A的坐标为(3,ABO60.
(1)若△AOB的外接圆与y轴交于点D,求D点坐标.
,0),试猜想过D,C的直线与△AOB的外接圆的位置关系,并加以说明. (2)若点C的坐标为(1
(3)二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上,
求此函数的解析式.
(08四川达州23题解析)解:(1)连结AD,则∠ADO=∠B=600
在Rt△ADO中,∠ADO=600所以OD=OA÷3==
(2)猜想是CD与圆相切
∵ ∠AOD是直角,所以AD是圆的直径
又∵ Tan∠
CDO=CO/OD=1/3=3, ∠CDO=300 ∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=Rt∠ 即CD⊥AD ∴ CD切外接圆于点D
(3)依题意可设二次函数的解析式为 :
y=α(x-0)(x-3)
由此得顶点坐标的横坐标为:x=
3a3=; 2a2
1
∠B=300 2
即顶点在OA的垂直平分线上,作OA的垂直平分线EF,则得∠EFA=
333 可得一个顶点坐标为(,)
222
31
3) 同理可得另一个顶点坐标为(,
22
得到EF=3EA=
分别将两顶点代入y=α(x-0)(x-3)可解得α的值分别为
232, 39
则得到二次函数的解析式是y=
223
x(x-3)或y= x(x-3) 39
0),47.如图14,已知半径为1的O1与x轴交于A,B两点,OM为O1的切线,切点为M,圆心O1的坐标为(2,
二次函数yxbxc的图象经过A,B两点.
(1)求二次函数的解析式;(2)求切线OM的函数解析式;
(3)线段OM上是否存在一点P,使得以P,O,A为顶点的三角形与△OO1M相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图14
2
0),O1半径为1,A(1,0),B(3,0)„„1分 解:(1)圆心O1的坐标为(2,
1bc0
二次函数yx2bxc的图象经过点A,B,可得方程组
93bc0
解得:
b4
二次函数解析式为yx24x3
c3
(2)过点M作MFx轴,垂足为F.
OM是O1的切线,M为切点,O1MOM(圆的切线垂直于经过切点的半径).
在Rt△OO1M中,sinO1OM
O1M1
OO12
2
OMOOcos302O1OM为锐角,OOM
3011
在Rt△
MOF中,OFOMcos30
3
.
2
31.点M
坐标为 MFOMsin3022
设切线OM的函数解析式为ykx(k
0)3 ···· 7分
k,k
2切线OM
的函数解析式为y
(3)存在.
x 3
①过点A作AP1x轴,与OM交于点P1∽Rt△MOO1(两角对应相等两三角形相似)
1.可得Rt△APO
PPtanAOP11AOA
1tan3013
H. ②过点A作AP2OM,垂足为P2,过P2点作P2HOA,垂足为
可得Rt△APO∽Rt△O1MO(两角对应相等两三角开相似) 2
OA1,OP2OA在Rt△OPcos302A中,
, 2
cosAOP2在Rt△
OP22H中,OHOPP2HOP2
sinAOP2
3
,
4
31,P2
42
3P
符合条件的点坐标有1
,4
48. (08湖南永州25题)(10分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与坐标轴交于点A、B、C且OA=1,OB=
OC=3 .
(1)求此二次函数的解析式. (2)写出顶点坐标和对称轴方程.
(3)点M、N在y=ax2+bx+c的图像上(点N在点M的右边),且MN∥x轴,求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径.
,,0)B(3,,0)C(0,3)分别代入yaxbxc (08湖南永州25题解析)(1)依题意A(1
解方程组得所求解析式为yx2x3
2
2
,4),对称轴x1 (2)yx2x3(x1)4顶点坐标(1
r) (3)设圆半径为r,当MN在x轴下方时,N点坐标为(1r,
把N点代入yx22x
3得r同理可得另一种情形r
22
49. (08上海市卷25题)(本题满分14分,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分4分,第(3)小题满分5分) 已知AB2,AD4,DAB90,AD∥BC(如图13).E是射线BC上的动点(点E与点B不重合),M是线段DE的中点.
(1)设BEx,△ABM的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
(2)如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,求线段BE的长;
(3)联结BD,交线段AM于点N,如果以A,N,D为顶点的三角形与△BME相似,求线段BE的长.
D D A A
B B E C
备用图 图13
(08上海市卷25题解析)解:(1)取AB中点H,联结MH,
C
M为DE的中点,MH∥BE,MH
又ABBE,MHAB.S△ABM(2
)由已知得DE
1
(BEAD). 211
ABMH,得yx2(x0); 22
以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,
MH
111144
AB
DE,即(x4)2.解得x,即线段BE的长为;
222233
(3)由已知,以A,N,D为顶点的三角形与△BME相似,又易证得DAMEBM. 由此可知,另一对对应角相等有两种情况:①ADNBEM;②ADBBME. ①当ADNBEM时,AD∥BE,ADNDBE.DBEBEM. DBDE,易得BE2AD.得BE8;
②当ADBBME时,AD∥BE,ADBDBE. DBEBME.又BEDMEB,△BED∽△MEB.
DEBE2
,即BEEM
DE,得x2.
BEEM
解得x12,x210(舍去).即线段BE的长为2.综上所述,所求线段BE的长为8或2.
50. (08内蒙古赤峰25题)(本题满分14分)
在平面直角坐标系中给定以下五个点A(3,,0)B(1,,4)C(0,,3)D,E(1,0). (1)请从五点中任选三点,求一条以平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的解析式; (2)求该抛物线的顶点坐标和对称轴,并画出草图;
1724
1715
(3)已知点F1在抛物线的对称轴上,直线y
44
,0)为圆心,过点G1且垂直于对称轴.验证:以E(1EF为半径的圆与直线y
174
17
相切.请你进一步验证,以抛4
x
物线上的点D为圆心DF为半径的圆也与直线
1724
y
17
相切.由此你能猜想到怎样的结论. 4
2
(08内蒙古赤峰25题解析)25.解:(1)设抛物线的解析式为yaxbxc,
0)C(0,,3)E(1,0),由(0,3)在yaxbxcH .则c3. 且过点A(3,,
得方程组
2
9a3b30
,
abc0
,b2. 解得a1
抛物线的解析式为yx22x3
(2)由yx2x3(x1)4
2
2
,4),对称轴为x1. 得顶点坐标为(1
17
的垂线,垂足为N, 4
1715
则ENHG.在Rt△FHE中,HE2,HF,
44
17
EF,EFEN,
4
(3)①连结EF,过点E作直线y
x
以E点为圆心,EF为半径的E与直线y
②连结DF过点D作直线y
17
相切. 4
17
的垂线,垂足为M.过点D作DQGH垂足为Q, 4
177105. 则DMQG
4442
315785
2.FD. 在Rt△FQD中,QD,QF
24442
17
以D点为圆心DF为半径的D与直线y相切.
4
17
③以抛物线上任意一点P为圆心,以PF为半径的圆与直线y相切.
4