盘点多边形外角和定理的应用
多边形外角和的应用
多边形内角和是随边数的变化而变化的，而多边形的外角和恒为360°，不随边数的变化而变化，这一结论在解题中具有重要的作用.
一、求多边形内角的度数
例1 正十二边形的每个内角是多少度?
分析：正十二边形的内角和可以求出，由于正十二边形的所有内角都相等，因此可以求出每个内角的度数.我们还可以从外角出发，正十二边形的所有内角都相等，而每个外角都与内角互补，可知它的所有外角也都相等．
解法1: 因为n=12，所以十二边形的内角和为（12-2）×180°=1800°.因为正十二边形的所有内角都相等，所以每个内角为1800°÷12=150°．
解法2：因为多边形的外角和是360°，又正十二边形的所有内角都相等，所以正十二边形的所有外角也都相等，每个外角为360°÷12=30°，所以正十二边形的每个内角为180°-30°=150°．
点评：两种方法都可以求解，但解法2的计算量较小.关于求正多边形内角度数问题往往从外角着手更方便.
例2 小明在求一个正多边形的内角的度数时，求出的值是145°.请问他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，说明理由．
分析：我们知道这道题是在问是否存在一个正多边形，它的内角为145°.由于正多边形的所有外角也都相等，设这个多边形为n边形，则有n×35°=360°，而满足上述等式的n的值若是整数，则这样的正多边形就存在．
解：假设小明计算正确，设这个正多边形是正n边形，n为整数．
因为正多边形的所有外角都相等，且它们的和是360°，所以（180°-145°）×n=360°.即35°×n=360°，所以 n=27，求得的n值不为整数，所以不存在内角是145°的正多边形． 7
小明计算不正确．
二、求多边形的边数
例3 已知一个多边形的每一个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20º，试求这个多边形的边数．
分析：由已条件知这个多边形的每一个内角都相等，因此它的每一个外角也都相等，所以只要求出外角度数，然后用360º除以这个度数即得多边形的边数．
解：设此多边形的外角为xº，由题意得180－x=3x+20，解得x=40．从而多边形的边数为360º÷40º=9，所以这个多边形的边数为9．
点评：任意多边形的外角和都为360º，本题是根据相邻的内角与外角互补列方程，先求出外角的度数，再利用多边形的外角和性质来解决．
例4 凸多边形的内角中，锐角的个数最多有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
分析：本题若直接求解非常困难，可利用逆向思维从反面出发，把内角问题转化成外角问题来思考.
解：多边形的一个内角和它相邻的外角互补，也就是说当多边形的内角是锐角时，则相邻的外角必是钝角. 那么，要确定多边形的内角中锐角的个数，实际上就是确定这个多边形的外角中最多可以有几个钝角，由于多边形的外角中最多有3个钝角，所以内角是锐角的个数最多有3个. 故选（C）.
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