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理工专业《高等数学》试题
2007年7月
一、填空题：（每空3分，共18分）
⎧e x -1x ≥0
1．设f (x ) =
⎨，则f (0) ＝_________。 2
x
2．lim x sin
x →0
1
＝__________。 2x
3．若
⎰
f (x ) dx =e 2x +c ，则f (x ) ＝___________。
4．d (cos3x ) ＝
5．函数y ＝2x 2－4x 的单调减少区间是___________。 6．曲线y ＝x 2＋1在点___________处的切线斜率为－2。
二、单项选择题：（每小题3分，共18分） 1．设f (x ) =
1
，则f [f (x )]=（ ）。 1+x 1+x 2+x 11（A ） （B ） （C ） （D ）
2+x 1+x 2+x 1+x
2．当x →0时，下列（ ）是无穷小量。
11
（A ） （B ）x （C ）ln (1＋x ) （D ）cos x
x e 3．下列各对函数中，（ ）是相同函数。
x 2-4（A ）f (x ) ＝与g (x ) ＝x ＋2 （B ）f (x ) ＝sin 2x 与g (x ) ＝1－cos 2x
x -2
（C ）f (x ) ＝x 2与g (x ) ＝x （D ）f (x ) ＝ln x 2与g (x ) ＝2ln x 4．设y ＝e -x ，则y '＝（ ）。
（ 号）《高等数学》试题第1页（共5页）
2
（A ）e -x （B ）2x e -x （C ）－2e -x （D ）－2x e -x
5．若函数y ＝f (x ) 在区间 (a ，b ) 内有f '(x ) 0，则曲线y ＝f (x ) 在 (a ，b ) 内是（ ）。
（A ）下降且凹 （B ）上升且凹 （C ）下降且凸 （D ）上升且凸 6．设F '(x ) ＝f (x ) ，则下列结论成立的是（ ）。 （A ）F (x ) d x ＝f (x ) （B ）
2222
⎰⎰
f (x ) d x ＝F (x ) ＋c
（C ）
⎰f (x ) d x ＝F (x ) （D ）⎰F (x ) d x ＝f (x ) ＋c
三、计算题：（每小题8分，共48分）
x 2-3x +21．计算极限：lim 2
x →1x +x -2
2．计算极限：lim
《高等数学》试题第2页（共5页）（ 号）
sin x -x
x →01-
3．设函数y =cos x -e
-x 2
，求d y
4．设隐函数y =f (x ) 由方程x 2y -ln y =x 确定，求y '
5．计算不定积分
（ 号）《高等数学》试题第3页（共5页）
x
⎰1+x 2x
π
6．计算定积分
⎰
20
x cos 2x d x
四、应用题：（本题12分）
某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高之比为多大时
用料最省？
《高等数学》试题第4页（共5页）（ 号）
五、证明题：（本题4分）
试证：当x >0时，x >ln(1+x )
（ 号）《高等数学》试题第5页（共5页）