椭圆弧等误差直线拟合的算法研究
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椭圆弧等误差直线拟合的算法研究
作者：于光伟 程好秋
来源：《科技创新与应用》2013年第32期
摘 要：为实现椭圆弧的等误差直线拟合，提出了一种基于罗尔定理和二分法的曲线节点计算新算法。该算法通过二分角度迭代求解弦与对应的弧之间的误差，逐步逼近程序要求的允差。最后，总结了具体的算法流程并进行了轨迹仿真验证。
关键词：等误差拟合；二分法；罗尔定理
引言
本文提出了一种基于罗尔定理与二分法的曲线等误差直线拟合新算法，适用于椭圆弧的拟合节点计算，该算法通过二分角度迭代求解弦与对应的弧之间的误差，逐步逼近程序要求的允差，避免了高次方程组的求解[1][2]，可广泛应用于数控加工。
1 基于罗尔定理与二分法的曲线等误差直线拟合新算法
图1 椭圆弧等误差直线拟合新算法
如图1所示，在本节讨论中不妨设椭圆弧AB 夹角∠AOB≤180°。用直线连接曲线的两个端点A 、B ，我们称直线AB 为曲线的弦。只要该曲线上的点到弦AB 的最大距离hmax 小于程序设定的允许误差res ，就可以用直线段AB 来拟合曲线AB 。而当hmax 大于res 时，就需要用二分法在∠AOB 范围内搜索拟合点F[3]。
1.1 拟合误差的求解
如图1所示，弦AB 斜率为k ，椭圆弧的AB 段为凹凸性一致的单值区间，由罗尔定理可知，在弧AB 上有且仅有一点C ，使得过C 点的椭圆弧切线斜率与弦AB 斜率相等。设过C 点的该切线为lc ，则线段AB 拟合椭圆弧AB 的误差为直线lc 与直线AB 之间的距离。 设A 点坐标为A （xa ，ya ），则直线AB 的方程为：
y-ya=k（x-xa ） （1）
由椭圆弧AB 方程x2/a2+y2/b2=1，得到椭圆上的点C （xc ，yc ）处切线斜率为： k=-b2xc/a2yc （2）
可求得切点C 的坐标为：