高中二次函数复习
二次函数专题复习
一. 【复习目标】
1. 准确理解函数的有关概念.
2. 体会数形结合及函数与方程的数学思想方法.
二、【课前热身】
1、二次函数y=ax+bx+c的顶点是 ,对称轴是 ,
2
a >0时,图像开口方向 ,单调增区间 ,单调减区间
a <0时,图像开口方向 ,单调增区间 ,单调减区间
2、二次函数的三种形式 【1】
【2】 【3】 3、画出函数f(x)=∣x
4、函数f(x)=x2-2x+2的单调增区间是( )
(A )[1,+∞) , (B )(-∞,-1) (C)[-1,+∞) , (D)以上都不对
5、已知一个二次函数的顶点的坐标为(0,4),且过点(1,5),这个二次函数的解析式为 6、二次函数y=x
2
2
-2x-3∣的图像,并写出单调区间。
2
-5x+6的零点是
7、已知方程x +2px+1=0有一个根大于1,有一个根小于1,则P 的取值为 。
三. 【例题探究】
例1. 已知二次函数满足f(x-2)=f(-x-2), 且其图像在y 轴上的截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求表达式。
变式训练:已知二次函数图像经过点(-1,0),(1,0),(2,3)三点,求解析式
例2.已知函数y=-x
2
+ax-+
4
a 12
在〔-1,1〕上的最大值为2,求a 的值 .
变式训练:已知函数y =-sin 2x +a sin x -
a 4+12
上的最大值为2,求a 的值 .
例3. 已知函数f (x ) =x 2-(2a -1) x +a 2-2与非负x 轴至少有一个交点,求a 的取值范围.
变式训练:已知函数y=xa 的取值或取值范围
2
-ax+4 【1】与x 轴
没2】与x 轴有一个交点,求
例4.对于函数f (x ) ,若存在x 0∈R ,使f (x 0) =x 0,则称x 0是f (x ) 的一个不动点,已知函数
f (x ) =ax +(b +1) x +(b -1)(a ≠0) ,
2
(1)当a =1, b =-2时,求函数f (x ) 的不动点;
(2)对任意实数b ,函数f (x ) 恒有两个相异的不动点,求a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,若y =f (x ) 的图象上A , B 两点的横坐标是f (x ) 的不动点,且A , B 两点关于直线y =kx +
12a +1
2
对称,求b 的最小值.
四、【方法点拨】
1. 求二次函数的解析式时,要根据条件选择不同的形式。
2.讨论二次函数的区间最值问题:①注意对称轴与区间的相对位置;②函数在此区间上的单调性;
3.讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间端点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置.
冲刺强化训练
班级 姓名 学号 日期 月 日
1、函数y =x 2+bx +c (x ∈[0,+∞)) 是单调函数的充要条件是 ( ) A .b ≥0 B. b ≤0 C. b >0 D. b
2、 函数y =x 2-2x 的定义域为{0, 1, 2, 3},那么其值域为 ( ) A .{-1, 0, 3} B.{0, 1, 2, 3} C.{y -1≤y ≤3} D.{y 0≤y ≤3} 3、若函数f (x )=(a -2) x 2+2(a -2) x -4的图象位于x 轴的下方,则实数a 的取值范围是
( )
A 、(-∞,2)
B 、[-2,2]
C 、(-2,2]
D 、(-∞,-2)
4、已知方程x 2+2px+1=0有一个根大于1,有一个根小于1,则P 的取值为 。 5、若函数y =x +(a +2) x +3(x ∈[a , b ])的图象关于x =1对称则b = 6、已知函数f (x ) =ax 2+a 2x +2b -a 3。
2
6) 时,f (x ) >0;当x ∈(-∞,-2) (6,+∞) 时f (x )
求a 、b 的值及f (x ) 的表达式;
2
7、已知二次函数f (x ) =ax +bx (a 、b 为常数且a ≠0) 满足条件:
f (-x +5)
=f (x -3) ,且
方程
f (x )
=x 有等根,求
f (x )
的解析式;
8、已知二次函数满足f(x-2)=f(-x-2), 且其图像在y 轴上的截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求表达式。
答 案
一、课前热身
1、D 2 110 3、D 4、(-∞,-1) 二、例题探究
例1. 解:令t =sin x ,t ∈[-1,1], ∴y =-(t -(1)当-1≤去). (2)当
a 2
>1,即a >2时,函数y =-(t -
14a +
12
=2,得a =
103
a 2) +
2
a
2
a 2
) +
2
14
(a -a +2) ,对称轴为t =
14
2
a 2
,
2
≤1,即-2≤a ≤2时,y m ax =
(a -a +2) =2,得a =-2或a =3(舍
14
(a -a +2) 在[-1,1]单调递增,
2
由y m ax =-1+a -(3)当
a 2
.
a 2) +
2
14a +
12
14
(a -a +2) 在[-1,1]单调递减,
2
由y m ax =-1-a -
=2,得a =-2(舍去).
103
综上可得:a 的值为a =-2或a =.
例2. 解法一:由题知关于x 的方程x 2-(2a -1) x +a 2-2=0至少有一个非负实根,设根为x 1, x 2
⎧∆≥0
9⎪
则x 1x 2≤0或⎨x 1x 2>0,得≤a ≤.
4⎪x +x >0
⎩
12
⎧f (0)>0
⎪
9⎪-(2a -1)
解法二:由题知f (0)≤0或⎨->0,得≤a ≤.
42⎪
⎪⎩
∆≥0
例3. 解:(1)f (x ) =x -x -3,x 0是f (x ) 的不动点,则f (x ) =x 0-x 0-3=x 0,得
x 0=-1或x 0=3,函数f (x ) 的不动点为-1和3.
2
2
(2)∵函数f (x ) 恒有两个相异的不动点,∴f (x ) -x =ax +bx +(b -1) =0恒有两个不
22
等的实根,∆=b -4a (b -1) =b -4ab +4a >0对b ∈R 恒成立,
2
∴(4a ) -16a
2
2
x 1+x 2
2
=-b ,
b 2a b
,由题知k =-1,y =-x +
+
12a +1
2
12a +1
12a +1
22
, ,
设A , B 中点为E ,则E 的横坐标为(-
2a 2a
) ,∴-
b 2a
=
b 2a
+
∴b =-
a 2a +1
2
=-
12a +
1a
≥-
4
,当且仅当2a =
1a
即a =(0
2
时等号成立,
∴b
的最小值为-
4
.
冲刺强化训练(1)
+∞) ,或(-∞,2],或它们的某个子集。1、A 2、A 3、C 4、[2,
5、6 6、[-5/4,1]
7、(Ⅰ)a =-4,b =-8,f (x ) =-4x 2+16x +48 (Ⅱ)k
12
x +x 。(Ⅱ)存在m =-4,n =0满足要求。
2
2
2
9、 (Ⅰ) 由已知, 设f 1(x)=ax, 由f 1(1)=1,得a=1, ∴f 1(x)= x . 设f 2(x)=与直线y=x的交点分别为A(k , k ) ,B(-k , -k ) 由AB =8,得k=8,. ∴f 2(x)=
8x
k x
(k>0),它的图象
. 故f(x)=x+
8x
2
8x
.
(Ⅱ) (证法一)f(x)=f(a),得x 2+即
8x
=a2+
8a
,
8x
=-x +a+
2
2
22
8a
. 在同一坐标系内作出f 2(x)=
8a
和
f 3(x)= -x +a+的大致图象, 其中f 2(x)的图象是以坐
8a
标轴为渐近线, 且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)与的图象是以(0, a2+) 为顶点, 开口
向下的抛物线. 因此, f2(x)与f 3(x)的图象在第三象限有一个交点, 即f(x)=f(a)有一个负数解. 又∵f 2(2)=4, f3(2)= -4+a2+
8a
,当a>3时,. f3(2)-f 2(2)= a2+
8a
-8>0,当a>3时, 在
第一象限f 3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f 2(x)图象的上方.f 2(x)与f 3(x)的图象在第一
象限有两个交点, 即f(x)=f(a)有两个正数解. 因此, 方程f(x)=f(a)有三个实数解. (证法二)由f(x)=f(a),得x 2+程x+a-x 3=
-a +
4
2
8x
=a2+
8a
, 即(x-a)(x+a-
4
8ax
)=0,得方程的一个解x 1=a.方
-a --a +
22
8ax
=0化为ax +ax -8=0,由a>3,△=a+32a>0,得x 2=
4
22
a +32a 2a a +32a 2a
4
4
, ,
a +32a 2a
,x 20, ∵x 1≠ x 2, 且x 2≠ x 3. 若x 1= x 3, 即a=
则3a 2=a +32a , a4=4a,得a=0或a=34, 这与a>3矛盾, ∴x 1≠ x3. 故原方程f(x)=f(a)
有三个实数解.