抽象的魅力:数学,书法和音乐

人类和动物的重要区别之一是人类对抽象概念的掌握。很多对我们来说习以为常的概念，如果仔细想一下，就会觉得其实不是那么简单。“一个苹果”很容易理解，但“一”这个数字就是极为抽象的概念。不过人类的智力已经达到了一个几岁的小孩也可以毫无困难地掌握这样一个抽象概念的程度，以至于我们在日常生活中从来不会觉得一个个熟悉的数字有多么抽象。

抽象的东西对我似乎一直有一种强烈的吸引力。以前虽然有些感觉，却从来没有像现在这样越来越清晰地意识到这一点。数学、书法和音乐这三样看起来毫不相关的东西，却在我的生活中占据了最重要的位置。它们吸引我的一个共同原因是它们都有一种超越时空、超越人类局限的抽象的魅力。

画家、美学家高尔泰曾在新泽西住过很多年，有一段时间我和他有过来往。他曾经给我写过一封信，有兴趣和我就数学和自然科学中的美展开对话。我知道这不是一个容易的题目，也不希望对数学或科学了解较少的人们误解我的看法，所以我答应他等我以后有机会深入思考之后，再认真和他探讨。很多年过去了，高尔泰早已搬到了拉斯维加斯，一直没有再和他联系过。但数学和艺术的相近以及不同之处一直是我有兴趣的课题，他的提议也就一直是我常常在思考的问题。这里先以我个人对数学、书法和音乐的艺术性方面的感受，尤其对它们拥有的那种抽象的魅力的体验，来作为这方面探讨的一个开始。

由于中国文化在传统上把数学看成是实用型的技巧，中国人中了解数学抽象程度的人还是不多的。绝大多数人会把数学看成是计算或算账，其实算账是会计的工作，做数学的人反而多数并不见得善于日常生活中的计算。和数学家一起去饭店吃饭，小费计算常常是没人愿意做的事情。对于其他学科的人来说，数学的特点和价值在于它的可靠性和一般性。可靠性使我们对数学的信任超过了任何其他科学，而一般性则是数学在人类活动中应用越来越广的主要原因之一。但是数学结果的可靠性和数学的广泛应用常常都不是吸引一流数学家的主要原因。一流数学家研究数学的动机可能更接近于一流艺术家从事艺术的动机：寻找一种抽象、超越时空、超越环境、超越人类局限的美，享受寻找到这种美之后所带来的愉悦和快感。

举个数学抽象的例子：如果在我们生活的三维空间中有个曲面，我们可以计算这个曲面在任何一点的弯曲程度，也就是曲率。大致上就是在一个通过这一点并和这一点的切平面(即通过这点并和这点附近的曲面部分最接近的平面)垂直的平面上，用圆去逼近曲面和此平面相交的曲线，和这个相交曲线在这点附近最接近的圆的半径的倒数是这个相交曲线在这点的曲率的绝对值。切平面将三维空间分成两部分，对这两部分一个取正号，一个取负号。如果上面的圆属于正的部分，则曲率为正，否则为负。这些相交曲线曲率随着平面的变化得到的最大值和最小值的乘积就是曲面在这点的(高斯）曲率，也就是曲面在这点的弯曲程度。十九世纪数学家高斯的一个重要发现是曲率不必通过放在曲面之外的圆来计算，而可以用这个曲面里面可以观测到的东西计算出来。也就是说，假定有一种生活在二维曲面上的生物，他们看不到三维空间，所以无法用圆来计算曲率，但他们仍然可以计算他们所处的曲面上任何一点的曲率是多少。这是一个惊人的发现，因为在黎曼成功地将高斯的研究推广到了高维空间后，爱因斯坦对我们所处时空的描写就是通过黎曼的几何，将高斯在曲面研究中的发现极其大胆但又极为令人信服地推广到了四维时空。生活在四维时空之中的人类不可能借助于物理世界中不存在的五维空间中的圆来计算我们时空的弯曲程度，但高斯公式在四维时空中的推广却同样给出了这些曲率。爱因斯坦最伟大的贡献之一就是发现了引力其实是由这些曲率所决定的，而曲率又是由时空中物质的质量分布决定的。吸引两个物体碰撞的万有引力于是不再是什么神秘的吸引力，而是物体质量引起时空弯曲之后，两个物体按照弯曲时空中最佳路线行走的轨道越来越接近，最后自然相交而已。

要理解这个例子需要高度的抽象能力。从开始三维空间中具体的曲面，到抽象的、不是放置在三维空间中的抽象曲面，再到四维时空，每一步都是一个跳跃，都是一个抽象的过程。放弃了一些具体的、看得见摸得着的东西，却让我们抓住了最深入的本质。这是数学抽象的魅力。

对数学的了解是在我读了大学之后的事情。大学四年，我读的虽然是数学系，却是力学专业的学生。以后力学专业从数学系独立，成立了应用力学系。但我进了大学，在自己课外的大量阅读之后，发现在自然科学中我真正有兴趣的是纯数学和数学物理，现在回想起来，这或许和我从小对书法的体验以及我成长过程中周围的环境有关。

我成长的整个年代经历了文革全过程。对于西方，除了那时政治课上的马列主义外，我所知道的基本上等于零。对于中国的传统，从小也只知道那些都是要彻底砸烂消灭摧毁的东西。我还清楚记得抄家最盛的六六年底到六七年初，看到弄堂里一家家被抄被斗时，心中那种忐忑不安、每天放学回家害怕会看到家里被抄的感觉。所幸我们家奇迹般地躲过了抄家这一劫。在最危险的时候过去之后，我家墙上从此又轮流挂上了吴昌硕、张大千、我祖父、还有很多其他书画家的字画。

吴昌硕写给笔者祖父黄葆戉（字蔼农）的石鼓文立轴（《石鼓文·田车诗》部分）。

我对书法的体验从那时开始。中国的传统思维不明确区分抽象和具体的东西，它有自己的一套语言体系。但跳出传统常常能看得更清楚一些。如果我们把所有视觉艺术放在一起做个比较，很容易发现，中国书法其实是其中最抽象的。抽象派绘画虽然因为画作极为抽象而著名，但这些抽象绘画对环境的依赖非常之大。抽象绘画一开始是作为写实派的对立面出现的，写实派占据的地盘越大，抽象派的声音也越响亮，等到到处都是抽象派的画之后，抽象主义便失去了锐气。以后抽象主义在艺术界找到了自己准确的位置，但这些抽象作品更多地和建筑、室内装潢、艺术设计等等本来就和传统绘画相距较远的领域相关，很少有西方的抽象艺术作品能够让人们携带着脱离原来的环境，在一个毫不相关、气氛迴异的地方反复欣赏。

杭州西泠印社汉三老石室。中间篆书楹联“竞传炎汉一片石，永共明湖万斯年”为笔者祖父黄葆戉所书。

书法则大不相同。好的环境固然能使一幅书法作品相得益彰，但一幅最有生命力的作品常常是独立于周围环境的。有一种欣赏和钻研书法的方式叫做“读帖”，就是把精品或者字帖细细地品味。读帖可以在任何环境下进行，这是为什么即使在文革那种黑暗的年代，只要找到一本好的字帖，加上对书法的悟性，不少人照样可以在那个极度封闭的年代里，在字迹之中和古人交流，照样可以在那个不允许有自我和人性的年代里，在书法里面顽强地表现着自己的个性。

2014年“情系上海——海内外著名书法家作品邀请展”展出作品之一。

读帖是中国书法特有的一种欣赏方式，其味无穷。在我的经历中，只有带上一篇重要的数学文章仔细研读或者带上耳机聆听能使自己沉醉的音乐可以与之相比。这应该是最抽象的艺术的特征，也是抽象的魅力的最好体现。

我小时候虽然身处一个到处是书法作品的家庭，但在自己一个人独处的时候，和我做伴最多的大概是音乐了。文革后期，父母的朋友借了一大堆唱片给我们，父亲常常在家里偷偷放着听。（那个时候虽然没有人来家里抓偷听这种已被定性为资产阶级音乐或黄色音乐的人，但如果被人知道了，还是会惹麻烦的。）我从小对音乐有一种特别的敏感，对一个熟悉的曲子我可以分辨出不同演奏者非常细微的差别来。现在想起来，我对数学和书法的感觉和我对音乐的这种敏感密切相关。

在西方，数学和音乐有时像是一对孪生兄弟。不少数学家曾经面临选择数学还是音乐的艰难决定。也有人做过研究，发现改行学电脑编程（基本上是逻辑思维在起作用）的人中，学音乐出身的学得最快最好。一位密歇根大学的数学教授有一次讲起，他的一个博士学生做了一篇相当好的论文，解决了代数拓扑里的一个猜想，拿到学位之后，他没有选择做数学或者和数学有关的工作，而是去底特律的一个乐队担任了小提琴手。2008年我是美国西门子数学科学竞赛全国决赛的裁判之一。我负责审查的研究课题是俄勒冈州的一个中学生完成的。他是一个天才型的学生。他的研究是对一类张量范畴做了分类，张量范畴可以看作是群的一种推广，所以他的结果是群论一个分类定理的推广。但在接触这个数学研究课题之前，他对数学知道得并不多。相反，他从小就练习钢琴，在开始做数学研究之前，已经在好几个中学生参加的钢琴比赛中获奖。那年的竞赛一些裁判因为上一年的头奖已经给了一个数学方面的研究，建议这一年将头奖给一个其他方面的研究，他的研究因此不幸屈居第二。但他在同一年的英特尔科学奖竞赛中得了头奖。后来他进了哈佛大学，主修数学。

在中国，虽然音乐曾使孔子沉醉到“三月不知肉味”，但和中国的数学一样，中国的音乐几千年来似乎都没有很大的变化。究其原因，我总觉得在中国，音乐和数学都被实用化、技术化、具体化了。音乐完全成了娱乐，数学完全成了计算方法。远古时代还曾有过一些超越具体环境、超越时空的东西，在后来的岁月里，不但没有得到发展，反而基本上消失殆尽了。相形之下，因为历史上不断有大师把书法从单纯的技能向纯艺术方向大力推进，中国的书法在二十世纪前五十年间达到了一个新的高峰，成为当时更愿意在中国传统文化之中寻找出路的中国人精神上少有的寄托之一。我现在常常回过头去寻找那一段的历史，发现书法几乎是唯一能抵挡得住西方文化全面入侵的中国传统艺术。现在想起来，原因很简单，传统的中国艺术在技术上大都不如西方对应的艺术精细，在精神上大都没有达到足以和西方艺术抗衡的高度，而书法是一个例外。

我发现书法在东、西方社会中分别扮演的角色，和在西方文化尚未完全进入东方时，数学在东、西方社会中分别扮演的角色有很多相似之处。在西方，书法最多是一种可以让人们写字写得漂亮，印刷印得好看的技术。类似地，在西方文化尚未进入的东方，数学最多是一种让人们有效地进行计算的技术。相反，在东方，书法一直在社会各个方面（比如政治、官员选拔、文学艺术）扮演着一个极为基本和重要的角色，一个没有书法的中国社会是我们无法想象的。类似地，在西方，数学在社会中是很多卓越思想的基础，数学的发展（比如微积分的发明）常常也是社会进步的先声，一个没有数学的西方社会同样也是我们无法想象的。

有时我常常会想，刚刚有了数字概念的原始人能不能想像得到现代数学会发展到如此惊人的地步？创造汉字的人能不能想象得到本来用来作记录的汉字会脱离原来的用途成为一种抽象的艺术，成为很多人的精神家园？第一个记录旋律或发明原始乐器的人能不能想象得到现代的音乐所能达到的深度和广度？或许无法想像。但如果他们有足够的抽象能力，至少可以在脱离了当时具体环境的想象之中遨游一下，憧憬一下也许无法把握却多少可以感受一番的未来。这也许是抽象最大的魅力之一：我们可以驾驭着抽象的翅膀，和古人对话，体验不同文化之人共通的东西，尽量摆脱我们现有的局限来看看我们的未来。

【2015年9月25日修改稿。将发表于《数学文化》杂志。】