等差数列知识点总结及练习(含答案)

1. 等差数列的定义：a n -a n -12．等差数列通项公式：

等差数列的性质总结

（n ≥2）； =d （d 为常数）

a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ， 首项:a 1，公差:d，末项:a n 推广： a n =a m +(n -m ) d ． 从而d =3．等差中项

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A =

（2）等差中项：数列{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2 4．等差数列的前n 项和公式：

a +b

或2A =a +b 2

a n -a m

；

n -m

n (a 1+a n ) n (n -1)

=na 1+d 22

特别地，当项数为奇数2n +1时，a n +1是项数为2n+1的等差数列的中间项 S n =

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若a n -a n -1=d 或a n +1-a n =d (常数n ∈N ) ⇔ {a n }是等差数列．

*

（2） 等差中项：数列{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2． （3） 数列{a n }是等差数列⇔a n =kn +b （其中k , b 是常数）。 6．等差数列的证明方法

定义法：若a n -a n -1=d 或a n +1-a n =d (常数n ∈N ) ⇔ {a n }是等差数列．

*

（4） 数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn , （其中A 、B 是常数）。

8. 等差数列的性质： （1）当公差d ≠0时，

等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；

n (n -1) d d

d =n 2+(a 1-) n 是关于n 的二次函数且常数项为0. 222

（2）若公差d >0，则为递增等差数列，若公差d

前n 和S n =na 1+

注：a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=⋅⋅⋅，

（4）若{a n }、{b n }为等差数列，则{λa n +b }，{λ1a n +λ2b n }都为等差数列 (5) 若{a n }是等差数列，则S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ，…也成等差数列

（6）数列{a n }为等差数列, 每隔k(k∈N ) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等差数列 （7）设数列{a n }是等差数列，d 为公差，S 奇是奇数项的和，S 偶是偶数项项的和，S n 是前n 项的和

1. 当项数为偶数2n 时，

*

S 奇=a 1+a 3+a 5+⋅⋅⋅+a 2n -1=

n (a 1+a 2n -1)

=na n

2n (a 2+a 2n )

S 偶=a 2+a 4+a 6+⋅⋅⋅+a 2n ==na n +1

2

S 偶-S 奇=na n +1-na n =n (a n +1-a n )=nd

S 奇na n a ==n S 偶na n +1a n +1

2、当项数为奇数2n +1时，则 ⎧S 奇n +1⎪S 2n +1=S 奇+S 偶=(2n +1) a n+1⎧⎪S 奇=(n +1) a n+1

⇒⇒= ⎨⎨

S -S =a S =na S 偶n n+1n+1⎪奇偶偶⎪⎩⎩

等差数列练习： 一、选择题

1. 已知为等差数列，a 1

+a 3+a 5=105, a 2+a 4+a 6=99，则a 20等于（ ）

A. -1 B. 1 C. 3 D.7

2. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2=3，a 6=11，则S 7等于( ) A ．13 B．35 C．49 D． 63 3. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3 =6，a 1=4， 则公差d 等于( )

A ．1 B.

5

3

C. - 2 D. 3 4. 已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1, a 3＝0, 则公差d ＝( )

A. －2 B.－

11

2 C.2

D.2 5. 若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，且a 2=3，则a 7=( )

A.12 B.13 C.14 D.15 6. 在等差数列{a n }中， a 2+a 8=4, 则 其前9项的和S 9等于 （ ）

A ．18 B 27 C 36 D 9

7. 已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（ A ．64 B．100 C．110 D．120 8. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=

1

2

，S 4=20，则S 6=（ ） A ．16 B．24 C．36 D ．48 9. 等差数列{a n }的前n 项和为S x 若a 2=1, a 3=3, 则S 4＝（ ）

A ．12 B．10 C．8 D．6

10. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则a 7+a 8+a 9=（ ）A ．63 B．45 C．36 D．27

11. 已知等差数列{a n }中，a 7+a 9=16, a 4=1, 则a 12的值是 （ ） A ．15

B ．30

C ．31

D ．64

6. 在等差数列{a n }中， a 5+a 13=40，则 a 8+a 9+a 10=（ ）。

A ．72 B ．60 C ．48 D ．36

1、等差数列{a n }中，S 10=120，那么a 1+a 10=（ ）

A. 12 B. 24 C. 36 D. 48

2、已知等差数列{a n }，a n =2n -19，那么这个数列的前n 项和s n （ ） A. 有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数 3、已知等差数列{a 1

n }的公差d =2

，a 2+a 4+ +a 100=80，那么S 100= A．80 B．120

C．135

D．160．

4、已知等差数列{a n }中，a 2+a 5+a 9+a 12=60，那么S 13= A ．390 B ．195 C ．180 D ．120

5、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ）

A. 0 B. 90 C. 180 D. 360

6、等差数列{a n }的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )

A. 130 B. 170 C. 210 D. 260

）

7、在等差数列{a n }中，a 2=-6，a 8=6，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则（ ） A. S 4

8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 9、已知某数列前n 项之和n 为，且前n 个偶数项的和为n 2(4n +3) ，则前n 个奇数项的和为（ ） A．-3n 2(n +1) B ．n 2(4n -3)

C ．-3n D．

2

3

13

n 2

10若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（ ） A ．6 B．8 C．10 D．12

1．一个等差数列的第6项等于13，前5项之和等于20，那么 （ ） （A ）它的首项是-2，公差是3 （B ）它的首项是2，公差是-3 （C ）它的首项是-3，公差是2 （D ）它的首项是3，公差是-2

2．在等差数列{an }中，已知前15项之和S 15=60，那么a 8= （ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

3．在等差数列{an }中，若a 3+a4+a5+a6+a7=250，则a 2+a8的值等于 （ ） （A ）50 （B ）100 （C0150 （D ）200 4．设{an }是公差为d=-

1

2

的等差数列，如果a 1+a4+a7…+a58=50，那么a 3+a6+a9+…+a60=（ ） 40 （C ）60 （D ）70

5．等差数列{an }中，a 1+a4+a7=36，a 2+a5+a8=33，则a 3+a6+a9的值为 （ ） （A ）21 （B ）24 （C ）27 （D ）30

6．一个数列的前n 项之和为S 2

n =3n+2n,那么它的第n(n≥２) 项为 （ ）

（Ａ）３ｎ２ （Ｂ）３ｎ２

＋３ｎ （Ｃ）６ｎ＋１ （Ｄ）６ｎ－１

7．首项是

1

25，第１０项为开始比１大的项，则此等差数列的公差ｄ的范围是（ ） （Ａ）ｄ＞875 （Ｂ）ｄ＜325（Ｃ）875＜ｄ＜325 （Ｄ）875

＜ｄ≤3

25

8. 设｛a *

n ｝（n ∈N ）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，

则下列结论错误．．

的是（ ） A. d＜0 B.a 7＝0 C.S9＞S 5 D.S 6与S 7均为S n 的最大值

9．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，

则这个数列有（ ） 、 A.13项 B.12项 C.11项 D.10项

10. 设数列{an }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A.1 B.2 C.4 D.6 11. 已知等差数列｛a n ｝满足a 1+a2+a3+…＋a 101＝0，则有（ ）

A. a1＋a 101＞0 B. a2＋a 100＜0 C. a3＋a 99＝0 D.a51＝51 12．在等比数列{a n } 中，a 9+a 10=a , (a ≠0)

a 19+a 20=b , 则a 99+a 100= （ ）A ．b 9b 9b 10

b 10a 8 B．a 9 C．a

9 D． (a )

13. 若lg2、lg(2x

-1) 、lg(2x

+3)成等差数列, 则x 的值等于( )

A. 0 B. log25 C. 32 D. 0或32 14. 若数列{an },已知a 1=2,an+1=an +2n(n≥1), 则a 100的值为( )

A ）30 （B ）（

A. 9900 B. 9902 C. 9904 D. 10100

1、若等差数列{a n }的前三项和S 3=9且a 1=1，则a 2等于（ ） A ．3 B．4 C．5 D．6

2、等差数列{a n }的前n 项和为S n 若a 2=1, a 3=3, 则S 4＝（ ） A ．12 B．10 C．8 D．6

3、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=2, S 4=10, 则S 6等于（ ） A ．12 B．18 C．24 D．42

4、若等差数列共有2n +1项n ∈N *，且奇数项的和为44，偶数项的和为33， 则项数为 （ ）

A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

5、设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 2+a 3=15, a 1a 2a 3=80，， 则a 11+a 12+a 13= （ ）

A ． 120 B． 105 C． 90 D．75

()

1

，且S 100=145，则a 2+a 4+a 6+ +a 100=（ ） 2145

A. 60 B. 85 C. D. 其它值

2

6、若数列{a n }为等差数列，公差为

7、一个五边形的内角度数成等差数列，且最小角是46，则最大角是（ ） A. 108 B. 139 C. 144 D. 170

8、等差数列{a n }共有3m 项，若前2m 项的和为200，前3m 项的和为225，则中间m 项的和为 （ ） A. 50 B. 75 C. 100 D. 125 二、填空题

1、等差数列{a n }中，若a 6=a 3+a 8，则s 9=2、等差数列{a n }中，若S n =3n 2+2n ，则公差d =3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是

4、已知等差数列{a n }的公差是正整数，且a 3⋅a 7=-12, a 4+a 6=-4，则前10项的和S 10= 5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为

25

，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是 2

16．已知等差数列{an }的公差是正数, 则a 2·a 6=-12,a3+a5=-4,则前20项的和S 20的值是_____. 17. 设数列｛a n ｝的通项为a n ＝2n －7（n ∈N ），则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝ ． 18．等差数列{an }中,a 3+a7+2a15=40,则S 19=___________. 19. 有两个等差数列{a n }、{b n },若

*

a 13a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n 3n -1

=, 则=

b 13b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n 2n +3

20．等差数列{an }有2n+1项，其中奇数项的和是24, 偶数项的和是18，那么这个数列的项数是_______

24已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1, a 3, a 4成等比数列，则a 2等于____________ 12. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12=21，则a 2+a 5+a 8+a 11=13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9=72, 则a 2+a 4+a 914. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=5a 3则

．

S 9

=S 5

15. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5-5S 3=5, 则a 4=16.

已知等差数列{a n }的公差是正整数，且a 3⋅a 7=-12, a 4+a 6=-4，则前10项的和S 10=

17. 已知等差数列{a n }的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于。 14．等差数列{a n }中, 3(a 3+a 5) +2(a 7+a 10+a 13) =24, 则此数列前13项和是__________． 15．已知等差数列{an }的公差d =

1

，且前100项和S 100 = 145，那么a 1 + a3 + a5 +…+a99 = . 2

16．等差数列{an }中，若a 3+a5=a7－a 3=24,则a 2=______． 17．一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d 等于__ _． 18．设等差数列{an }共有3n 项，它的前2n 项和为100，后2n 项和是200，则该数列的中间n 项和等于 ． 19．已知f(x+1)=x－4, 等差数列{an }中,a 1=f(x－1), a2=－值．

3+a n

， (Ⅰ) 试求a 1的值，使得数列{an }是一个常数数列； 2

(Ⅱ) 试求a 1的取值范围, 使得a n+1>an 对任何自然数n 都成立；

2

3

,a 3=f(x)．(1)求x 值；（2）求a 2+a5+a8+…+a26的2

20．已知数列{an }中，a 1>0, 且a n+1=

(Ⅲ) 若a 1 = 2，设b n = | an+1－a n | (n = 1，2，3，…) ，并以S n 表示数列{bn }的前n 项的和，求证：S n

1． 2

21. 已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式

8. 已知数列⎨

⎧

11131⎫

a =-, a =-成等差数列，且，求a 8的值。 ⎬35

67⎩a n +2⎭

18、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=12，S 12>0，S 13

, S 12中哪一个值最大？并说明理由.

19、设等差数列{a n }的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75, 求： （1）{a n }的通项公式a n 及前ｎ项

的和S n ；（2）|a1|+|a2|+|a3|+……+|a14|.

20. 已知等差数列{a n }中，a 3a 7=-16, a 4+a 6=0, 求{a n }前n 项和s n .

12、在等差数列{a n }中，已知a 1=20，前n 项和为S n ，且S 10=S 15，求当n 取何值时S n 有最大值，并求出它的最大值。