电路分析基础李瀚荪版配套课件第六章
6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6 6-7 分解方法在动态电路分析中的应用零状态响应
阶跃响应冲激响应零输入响应
线性动态电路的叠加原理三要素法瞬态和稳态
动态电路：含有动态元件电容和电感的电路。特点：
当动态电路状态发生改变时（换路）需要
经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。
电阻电路
）
R2
us
电容电路
iC= 0，uC= 0
iC= 0，uC= U
s
t
过渡状态
电感电路
uL= 0，iL= 0
uL= 0，iL= Us
/R
t
过渡状态
换路电路结构、状态发生变化
支路接入或断开电路参数变化
过渡过程产生的原因
电路内部含有储能元件L、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
Dwp=
Dt
DtÞ0
pÞ¥
描述动态电路的电路方程为微分方程；
动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；一阶电路：二阶电路：一阶电路中只有一个动态元件，描述
电路的方程是一阶线性微分方程。
adx
1dt
+a0x=e(t)t³0二阶电路中有二个动态元件，描述
电路的方程是二阶线性微分方程。
2
adxdx
2dt2+a1dt
+a0x=e(t)t³0
例：列写图示电路uC的微分方程和iL的微分方
程。
2
u2
i2++uC=2++L=
§
分解方法在动态电路分析中的应用
RC串联电路
uR0t+uCt=uOCt
uR0(t)=R0i(t)
duC(t)
i(t)=C
dt
duC(t)R0C+uC(t)=uOC(t)
dt
uC(t0)
uOC(t)
t³t0
uR0t+uLt=uOCt
uR0(t)=R0iL(t)
di(t)
uL(t)=L
dt
diL(t)L+R0iL(t)=uOC(t)dt
iL(
t
)
uOC(t)t³t0
一阶电路分析方法：
1. 把给定的网络分为两个单口网络N1和N2。2. 将含电阻网络N1，用戴维南（或诺顿）等效电路简化。
3. 写出电路方程和元件的伏安特性VCR。4. 由给定的初始条件及t≥t0时的uoc值，来解方程。5. 解得uc(t)，根据置换定理，以电压源uc(t)去置换电容C，将原电路变成了电阻电路，然后用电阻电路分析方法分析电路。
§
零状态响应
叠加
全响应零状态响应
零输入响应
在t≥t0时，零输入情况下，仅由非零初始状态引起的
响应
在t≥t0时，零初始状态下，仅由电路的输入引起的响应
RC电路零状态响应
t = 0
RCdudt
+uC=US
t³0
uC(
0)=0
uC(t)=U-1S(1-eRC
t)t³0i(t)=U-1CS
RC
tR
e
t³0
uC(t)=US(1-e
1-tRCt-t
)
t³0
US
iC(t)=e
R
-
1tRC
U=eR令t=RC，称t为一阶RC电路的时间常数。
=US(1-e)
-
t
t
t³0
é库ùé安秒ù
=RC=欧法=欧êú=欧ê秒=ú
ë伏ûë伏û
从理论上讲t¥时，电路才能达到稳态。但实际上一般认为经过4t-5t的时间，过渡过程结束，电路已达到新的稳态。
t
f(t)=USe
t
- t
0 t2t3t4t5t
US 0.368US 0.135US 0.05US 0.02US 0.007US
t：f(t)衰减到初始值的36.8%所需的时间。
t
iUS
-1C(t)=RC
tR
e
uC(0+)=uC(0-)=0
duCdt
=USi)0C(0++
RC=C
直流电路中各个元件的电
压和电流都不随时间变化。
iUS
C(0+)=
R
iC(0-)=0
t¥，进入直流稳态后，电容相当于开路！
能量关系
12
电容储存能量：CUS
2
电阻消耗能量：
¥0
i(t)Rdt=
2C
¥0
US(R
-
RC2
12)Rdt=CUS
2
11222
电源提供总能量：CUS+CUS=CUS
22
电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。
RL电路零状态响应
t = 0
LdiLdt
+RiL=US
t³0
iL(
0)=0
iU-RL(t)=S
L
tR(1-e
)t³0时间常数
u-RtL(t)=USe
t³0
t=
LL
R
Rt
u(t)=U-RLSe
L
tiL(0+)=iL(0-)=0
diLUSuL(dt
0+
=0+)L=L
uL(0+)=USuL(0-)=0
t¥，进入直流稳态后，电感相当于短路！
小结：RC电路
uC(t)=(1-e
-1tRC
RL电路
)
t³0
S
iL(t)=1-e
R
-RtL
)t³0
uC(¥)
iL(¥)
US
eiC(t)=R
-
1tRC
t³0
uL(t)=USe
R-tL
t³0
t=RC
直流稳态时，电容开路
Lt=
R
直流稳态时，电感短路
零状态响应：线性或比例性，叠加性
例1：电路如图，开关在t=0时打开，已知uC(0)=0，求uC(t)，i(t)和iC(t)
。
例2：图示电路在t=0时开关S闭合，求iL(t)，i(t)，t≥0
。
§
阶跃响应冲激响应
一、阶跃函数
1. 单位阶跃函数
e
(t)=ìí
0 (t0)
-e
(t)=ìí
0 (t
î-1 (t>0)
ì0 (t
U
Se (t)=í
îUS (t>0)
2. 延时单位阶跃函数
ì0 (t
e(t-t0)=í
î1 (t>t0)
延时单位阶跃函数可以“起始”任一函数
ì0 (t
f
(t)e(t-t0)=í
îf(t) (t>t0)
分段常量信号：可分解为一系列阶跃信号之和。
矩形脉冲
ì0 (t
í1 (0
ïî
0 (t>t0)
二、阶跃响应
1. 单位阶跃响应s(t)：单位阶跃输入作用下的零状态响应。
uC
uC(0-)=0
uC=US(1-e
-tRC
)e(t)
i=U-
tRC
R
e
e(t)
uC
u
(0)=0
t
U
2. 延时阶跃响应
uC
u=U-t
CS(1-e
RC
)e(t)u-t-t0C=US(1-e
RC
)e(t-t0)
uC(t0-)=0
激励在t=t0时输入，则响应从t=t0开始。
i=
U-tRC
R
e
e(t)i=U-
t-t0RC
R
e
e(t-t0)
例1：试用阶跃函数表示如图所示波形。
ftft
tt
t
t
t
t
例2：求图中所示零状态RL电路在所示脉冲电压作用下的电流i(t)。已知L=1H，R=1Ω。
例3：若作用于图示电路的电压uS(t)=[-3+4e(t)] V，试求u(t)，对所有t
。
三、冲激函数
de(t)
e(t) 的导数。d(t)=1. 单位冲激函数：
d(t)=ìí
0 (t0)
t-¥
d(x
)dx=1
2. 单位延时冲激函数d(t-t0)：
δ(t-t0)=0 (t¹t0)
t-
¥
δ(x-t0)dx=1
dt
d(t)t
(t-t0)
3. 冲激函数d(t)的取样性质（筛分性质）
f(t)d(t)=f(0)d(t)f(t)d(t-t0)=f(t0)d(t-t0)
四、冲激响应
单位冲激响应h(t)：单位冲激输入作用下的零状态响应。
d)
由单位阶跃响应求单位冲激响应
单位阶跃函数
e(t)
单位冲激函数
d(t)
单位阶跃响应
s(t)单位冲激响应
h(t)
例1：求RC并联电路在冲激电流源d(t)作用下的电压u(t)的单位冲激响应
。
§
t=0
RC电路
零输入响应
无外施激励电源，仅由元件初始储能所产生的响应。
duRC+uC=0
dtuC
(0)=U0
uC
(t)=U
0e
t-t
t³0
U0
iC(t)=-eR
t-t
t=RC
t³0
uC(0+)=uC(0-)=U0
iC(0-)=0
iU0
C(0+)=-R
-
t= RC
时间常数t的大小反映了电容充放电时间的长短
t大→放电时间长t小→放电时间短
物理含义
C 大（R一定）
电压初始值一定
W=Cu2/2 储能
大
放电时间长
R 大（C一定）i=u/R 放电电流
小
能量关系
12
电容释放能量：CU0
2
电阻消耗能量：
¥0
i(t)Rdt=
2C
¥0
U0(-R
-
12RC
)Rdt=CU0
2
2
电容不断释放能量被电阻吸收，
直至全部消耗完毕。
t=0
RL电路
diL+RiL=0dtiL
(0)=I0
i
L(t)=I0e
t-
t
t³0
t-t
uL(t)=-RI0e
t³0
Lt=
R
iL(0+)=iL(0-)=I0
uL
(0-)=0
uL(0+)=-RI0
-
t= L/R
时间常数t的大小反映了电感充放电时间的长短
t大→放电时间长物理含
义
L大R小
t小→放电时间短
电流初值i(0)一定：
放电慢
W=Li2/2 起始能量大P=Ri2 放电过程消耗能量
小
t大
能量关系
12
电感释放能量：LI0
2
电阻消耗能量：
¥0
i(t)Rdt=
2C
¥0
(-I0
R-t2L
12
)Rdt=LI0
2
电感不断释放能量被电阻吸收，
直至全部消耗完毕。
小结：
1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
uC(t)=t-t
t³0
iL(t)It-t
t³0
uC(
0)
iL(0)
2. 衰减快慢取决于时间常数t。RC电路t= RC，
RL电路
t= L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
4. 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性（或比例性）。
例1：电路如图所示，已知R1=9Ω，R2=4Ω，R3=8Ω，R4=3Ω，R5=1Ω。t=0时开关打开，求uab(t)，t≥0。
§线性动态电路的叠加原理
全响应：电路在外加激励和动态元件初始储能
的共同作用下产生的响应。
若初始时刻为t=0，则对所有t≥0的时刻：(1) 全响应= 零状态响应+ 零输入响应；(2) 零状态响应线性；(3) 零输入响应线性。
着眼于因果关系Þ
便于叠加计算
uC(t)=US(1-e)+U0e
零状态响应t-tt-t
(t³0)
零输入响应
全响应零状态响应零输入响应
例1：电路如图所示，开关闭合前电路已处于稳态，t=0时开关闭合，求uC(t)，t≥0。若12V电源改为24V电源，求uC(t)，t≥0
。
例2：如图所示电路已处于稳态，t=0时开关S由a打向b，求t≥0时电压u(t)的零输入响应ux(t)、零状态响应uy(t)及全响应u(t)，并画出波形图。
§三要素法
y(0+)
初始值
稳态值
三要素：
y(¥)
t时间常数
1.初始值y(0+)
(1)计算t=0-时刻电容电压uC(0-)或电感电流iL(0-)；(2)由换路定律求得独立初始值uC(0+)=uC(0-)或iL(0+)=iL(0-)；
(3)画t=0+时的等效电路。依据置换定理将电容元件用电压为uC(0+)的电压源代替，电感元件用电流为iL(0+)的电流源代替；
(4)求解0+等效电路得到的非独立初始值。