支付函数为模糊数的多目标多人合作对策的纳什谈判解_王少龙
第23卷第4期模 糊 系 统 与 数 学
2009年8月FuzzySystemsandMathematics文章编号:1001-7402(2009)04-0115-05
Vol.23,No.4
Aug.,2009
支付函数为模糊数的多目标多人合作对策的纳什谈判解
王少龙,叶仲泉
(重庆大学数理学院,重庆 400045)
摘 要:讨论了多目标多人合作对策中支付函数是模糊数的情形,利用模糊数学相关理论,对Nash提出的6条公理进行拓广,并证明这种情况下K-纳什谈判解的存在性。关键词:(模糊)多目标多人合作对策;Nash谈判解;K截集;隶属函数中图分类号:O225 文献标识码:A
X
1 多目标多人合作对策的纳什谈判解
1.1 基本理论概念
定义1.1 把能用数学模型#NM=(P;Sl;ul(l∈N))表示的对策叫做多目标多人对策。其中P={1,2,…,N}为参与对策的局中人的指标集,Sl={Al1,Al2,…,Alm}为局中人Pl(l∈N)的纯策略集合。l当每个局中人Pl(l∈N)选取任意一个策略Al∈Sl时,就会形成这样的对策局势A={A1,A2,…,AN}。局中人Pl在局势A下获得的第k个目标的支付值为ul(A)(k=1,2,…,M),其中M为局中人Pl的所有目标个数,并且每一个目标可以表示为fk(k=1,2,…,M)。将Pl(l∈N)在局势A中的所有M个目标的支付值记为ul(A)=(ul(A),ul(A),…,ul(A)).
如果局中人相互之间不管是在对策之前还是在进行对策的过程中,都不允许有任何方式的联系或
达成某种合作的协定,这样的对策就称为多目标多人非合作对策。与此相反,如果允许对策中的一部分或全部局中人可以采取任意的合作方式参与对策则称为多目标多人合作对策。1.2 多目标多人合作对策纳什谈判公理
将多目标多人合作对策#NM=(P;Sl;ul(l∈N))的所有可行支付值向量记做集合U={uûu=u(A1,A2,…,AN),Al∈Sl(l∈N)}。设u∈U为谈判的现状点,通常取局中人不进行合作时所获得的支付值向量。我们把仲裁程序W定义为从u和U到U中某点u的一个映射,即有W(u,U)=u,u为经过仲裁(也可以说是讨价还价)所得到的一个能为所有局中人共同接受的支付向量,则称u为多目标多人合作对策#NM的纳什谈判解。
纳什曾经对二人合作对策问题给出了一套公理体系,只要局中人都同意遵守这个公理体系,则可以在不存在一个真实仲裁人的情况下达成一个双方都满意的谈判结果。下面针对多目标多人合作对策引出相对应的纳什谈判公理[6]。
公理1.1(个体合理性) 纳什谈判解u*至少不比现状点u差,即u*≥u.
X收稿日期:2008-03-28;修订日期:2008-08-21
,;()男,,*
*
*
*
1
2
M
T
k
116模 糊 系 统 与 数 学 2009年
公理1.2(可行性) 纳什谈判解应该是一个可行的支付值向量,即u*∈U.公理1.3(Pareto最优性) 如果u′∈U,且满足u′≥u*,则u′=u*.公理1.4(无关方案可去性) 如果u∈ZAU,则W(u,Z)=W(u,U)=u.
公理1.5(线性变换的不变性) 设6是U经过线性变换:xl=alul+bl(l∈N)得到的可行集,其中,al>0为常数,bl=(bl1,bl2,…,blM)T为常数向量。如果u*=W(u,U),则W((a1u1+b1,a2u2+b2,…,aNuN+bN)T,6)=(a1u1+b1,a2u2+b2,…,aNuN+bN)。
对任意的局中人Pl与Pr(l∈N,r∈N),如果有
(u1,u2,…,ul-1,ul,ul+1,…,ur-1,ur,ur+1,…,uN)∈U
则有(u1,u2,…,ul-1,ur,ul+1,…,ur-1,ut,ur+1,…,uN)∈U.反之也成立,就把这样的U称为对称可行集。
公理1.6(对称性) 设U是对称可行集,如果u*=W(u,U),并且对任意局中人Pl与Pr(l∈N,r∈N)都有ul=ur,则ul=ur.1.3 多目标多人合作对策纳什谈判解
定理1.1 对于多目标多人合作对策#NM总存在满足公理1.1～公理1.6的纳什谈判解u*=W(u,U)。
多目标多人合作对策#NM的纳什谈判解u=W(u,U)的求解类似与二人合作对策问题的纳什谈判解的求解,通过求解下面的非线性规划,即
N
M
lk
*
*
**
*
*
*
*
∏∏(u
l=1k=1
-ulk)
ulk>ulk(l=1,2,…,N;k=1,2,…,M)u∈U
式中,ulk(l=1,2,…,N;k=1,2,…,M)是局中人Pl关于目标fk的现状支付值。
2 模糊多目标多人合作对策
为讨论问题方便,我们首先引入有关的模糊数知识。设F(R)为R上的全体模糊数的集合,模糊数~表示的是近似与A的实数。模糊数A~∈F(R)的K截集记为A~K=[al(KA),ar(K)],其中K∈[0,1]。
[9]~~~lr
定义2.1 PA∈F(R),B∈F(R),F(R)为R上的全体模糊数的集合,AK=[a(K),a(K)],lr~BK=[b(K),b(K)],则~≥B~当且仅当al(K~≥B~为B~不小于A~;A)≥bl(K)和ar(K)≥br(K)成立,PK∈[0,1]。称A~=B~当且仅当A~≥B~和B~≥A~.称~~;AA=~B为~A等于B~>B~当且仅当A~≥B~且A~≠B~.称~~.AA>~B为大于B
~~l(l∈N))表示的对策称为模糊多目定义2.2 把能用数学模型能用数学模型来表#NM=(P;Sl;u
~l(l∈1,2,…,N)为局中人Pl在标(M个)多人(N人)合作对策。其中P,Sl与定义1.1的意义相同,u
12MT
~局势A下的关于M个目标的模糊支付值向量,记~ul(A)=(~ul(A),~ul(A),…,~ul(A)),设Lur(A)是模糊数
r~~rl(A)的K截集为u~rl(A)={A∈ul(A)的隶属函数,其中r∈(1,2,…,M)。对于任意的K∈[0,1],u
r
RûL~ur(A)≥K},这里,K可以看作是置信水平或置信度。由模糊数的性质可知,~ul(A)的K截集可以用区
l
l
LR~rl(A)=[urlL(A),urlR(A)]。间[urlK(A),urlK(A)]表示,即uKKK
现在,我们在模糊数的K截集上来对经典的纳什谈判公理进行拓广并证明在这种情况下模糊多目标多人合作对策的K-纳什谈判解的存在性。
~NM的所有可行模糊支付值向量记为集合将模糊多目标多人合作对策#2,{ll)
第4期 王少龙,叶仲泉:支付函数为模糊数的多目标多人合作对策的纳什谈判解117
在K置信水平上用实数区间代替相应的模糊数,上式就可以表示为
LRLRLR~~Kûu~K=~UK={uuK([u1l(A),ul1(A)],[u2l(A),ul2(A)],…,[uMl(A),uMl(A)]),
K
K
K
K
K
K
A=(A1,A2,…,AN),Al∈Sl(l∈N)}(1)~NM中,设u~~′ 在模糊多目标多人合作对策#K∈UK为K-现状点,它是局中人在K置信水平不能达成
~~~*
合作协议时所得到的模糊支付值向量,我们把仲裁程序W定义为从~u′K和UK到UK中某点uK的一个映~K)=u~*~*
K射,即有W(~u′,UK,uK为经过仲裁也可以说是讨价还价所得到的一个能为所有局中人共同接受
*~~*
的模糊支付值向量。我们称u-纳什谈判解。其中,~K为模糊多目标多人合作对策#NM的一个KuK=
1K
1K
1K
2K
2K
2K
NK
NK
11M1*2*M*2*2*M~K~*~*~*~*((u1K(A),~2K(A),~2K(A)),…,(uNK(A),~u1K(A),…,~u1K(A)),(uu2K(A),…,uuNK(A),…,~uNK(A))),u′
12M12M12M~′~′~′~′~′~′NK=((u(A),u(A),…,~u′(A)),(u(A),u(A),…,~u′(A)),…,(u(A),u(A),…,~u′(A)))。*~′~*~K.公设2.1(K-个体合理性) 纳什谈判解~uK至少不比现状点uK差,即uK≥u′
对于局中人Pl(l∈N),若他的第r(r∈M)个目标的现状点在K置信水平上的模糊支付值为r*r*rL*rRrLrR~~*r~ru′(A)=[u′lK(A),u′lK(A)],则K-纳什谈判解~ulK(A)=[ulK(A),ulK(A)]满足ulKlK≥u′lK(A),即
u*lK(A)≥u′)u*lK(A)≥u′)。lK(AlK(A
*L~*~*~.也就是~公设2.2(K-可行性) 纳什谈判解uK应该是一个可行模糊支付值向量,即uK∈UKuK∈~L~*R~RUK,uK∈UK.
~,且满足u~õ~õ~*~õ~*~・L~L~・L
公设2.3(K-Pareto最优性) 如果uK∈UKK≥uK,则uK=uK.即uK∈UK,且满足uK≥*LL*L・R~~R~・R~*R~õR~*RuK,则~uK=~uK,~uK∈UK,且满足uK≥uK,则uK=uK.**~*L~L
公设2.4(K-无关方案可去性) 如果~uK∈~ZKA~UK,则W(~u′K,~ZK)=W(~u′K,~UK)=~uK.即uK∈ZKALL~LL~LR~RR~R~~R~R~′~*L~*R~*RUK有W(u(~(~(~K,ZK)=Wu′K,UK)=uK,uK∈ZKAUK有Wu′K,ZK)=Wu′K,UK)=uK.
~K是U~K经过线性变换:~公设2.5(K-线性变换的不变性) 设6xlK=al~ulK+bl(l∈N)得到的可行集,T*~′~′~′其中,al>0为常数,bl=(bl1,bl2,…,blM)为常数向量。如果~uK=W(uK,~UK),则W((a1u1K+b1,a2U2K+
TLL~′~L+b2,…,aN~~)=(a1u~*~*~*
NK+bN),6K+b1,a2u+b2,…,aNu((a1uu′b2,…,aN~u′1K2KNK+bN),即W1K+b1,a2u′2KNK
T~LRRRT~*L+b1,a2u~*L+b2,…,aNu~*L+bN),W~′+bN),X)=(a1u((a1~u′+b1,a2~u′+b2,…,aNu+b),
K
1K
2K
NK
1K
2K
NK
N
R~~xK)=(au
rLrLrRrR
+b2,…,aN~u+bN)。
*
公设2.6(K-对称性) 设~UK是对称可行集,如果~uK=W(~u′K,~UK),并且对任意局中人Pi与Pr(i∈N,
***L*R~′~rK,则~~*L,~~*R
r∈N)都有uiK=u′uiK=~urK.即有~uiK=urKuiK=urK成立。
*R
11K
*R
2K
*RNK
~+b1,a2u
公设2.1说明在置信水平K上,局中人Pl(l∈N)最后得到的模糊支付值向量要比现状点好。否则,
Pl是不会进行合作的。公设2.2说明在置信水平K上,K-纳什谈判解是可以实现的。公设2.3说明在置
~K,使得在u~°~*KK中至少有某个局中人在某个目标上的模糊支付值比在uK信水平K上,如果存在某个~u°∈U
~~°~*~*
的更好但不改变其他人的支付值,那么uK肯定要比uK好,uK不再是#NM的K-纳什谈判解。公设2.4说明在置信水平K上,扩大后的谈判问题中的新加的方案与谈判结果无关。公设2.5说明在置信水平K上,即使局中人的谈判基点或者收益衡量的角度改变,客观上并不改变局中人的赢得价值。公设2.6说明如果两个局中人的实力和外交手腕旗鼓相当的时候,他们最后达到的收益也就应该相当。
引理 若U中有一向量(u1,u2,…,uN),且ul=(u1,u2,…,uM),l∈(1,2,…,N)满足ulk>u′lk,l∈(1,2,…,N),k∈(1,2,…,M),则由
N
M
lk
3
T
f((u1,u2,…,uN))=
3
∏∏(u
l=1k=1
-ulk)(2)
定义的(u1,u2,…,uN)∈U由唯一的最大值。证明见[10]。
,2
118模 糊 系 统 与 数 学 2009年
公设2.6的K-纳什谈判解
L~L~*L~′~*R~R~R
uK=W(uK,UK)和uK=u′K,UK(3)
*LL~LR~R~*R~′ 证明 只需证明~uK=W(~u′K,UK),uK=W(uK,UK)类似可以得到。
LL~L~*K=W(~~*L
首先,我们要证明由uu′K,UK)定义的W满足上述6个公设,先看公设2.1,uK由式(2)给
~出,由~u′K∈UK和引理可以明显看出公设2.1和公设2.2都成立。
N
L~′~对于公设2.3,若~u≥~u≥uK,则f((u
・L
K
*LK
LlkK
*L1K
*L2K
*LNK
・L1K
M
・LlkK
N
M
LlkK
,~u・L
2K,…,~u・L
NKõL1K
))=
õL2K
∏∏(~u
l=1k=1
õLNK
L~*
-~u′)≥∏∏(ulkK
l=1k=1
~,…,~~是f((~~,…,u~))的最大值向量,就会有-~u,uu′)=f((~u,uu)),所以,如果u
õLõL*L*LõL*L~õL,…,~~*L,…,~f((~u1K,uuNK))=f((~u1K,uuNK)),所以就有~uK=~uK.2K2K
L~L~*L~L~L
若~ZKAUK,而uK是f在UK上的最大值向量,f在较小集合ZK上的最大值向量就不会超过*L*L~*L
f((~u1K,u2K,…,~uNK)),这说明公设2.4成立。
*L
K
~*
再看公设2.5,如果u
N
M
N
M
i=1j=1
l=1k=1
LK
LLL~L上的最大值向量,那么它一定也是是f((~u1K,~u2K,…,~uNK))在UK
N
~L~L)(因为ai,cj>0)在U~L上的最大值向量。这样~L
lkKK∏∏aicj∏∏(ulkK-u′∏(alulkK+b-l=1
LLLL~′~L+b-(cku~′~L~*L
(alu))∏(cku))(a1~u1K+b-(a1~u′lkKlkKlkK1K+b))在UK上的最大值向量就是uK.
*L*L*L*L*L~L~L~L~*L2K,…,~最后考虑公设2.6,假定~uK=(~u1K,uulK,…,~urK,…,~uNK)是f((u1K,u2K,…,uNK))的最大
*L*L~L~L(i,r∈(1,2,…,N)),由U~L~*L,~~*L~*L
值向量,但uiK≠urKK的对称性知道,(u1Ku2K,…,urK,…,uiK,…,~uNK)∈
k=1M
~L~LUK,在根据UK的凸性推知
*L*L~*L~*L~*L,…,~(u1K,u2K,…,~uiK,…,uuNK)+rK
2~*L*L*L~*L~*L),(~=((uu2K+~u2K),…,(u1K+u1KiK+222~L
也在UK中,这样
~*L~*L*L~*L,…,u~*L)(u1K,u2K,…,~urK,…,uiKNK
2*L~*L*L*L~~*L),…,(~urK),…,(uuNK+~uNK))rK+uiK
22
L
NK
f(=
~*(u2
N
L1KM
*L*L*L*L~*L),(~~*L),…,(~~*L),…,(u~*
+uu2K+~u2K),…,(~uiK+uurK+u1KrKiK
2222*L
lkK
L
-~u′lkK)
~*
+u
LNK
))
LL~*L~*L~*L)-~~*L)-~(uiK+urKu′ik(uiK+urKu′rkK
22l=1,l≠r,ik=1
NM
~*L~*L~*L2
*LL~*LiK2iKrKrK~~*LL2~*L~′~L
=∏∏(ulkK-u′)((4)lkK)-(~uiK+urK)uikK+(u′ikK)
4l=1,l≠r,ik=1
LL*LLL*L2~′~*L
在式(4)的计算中使用了~=u的条件。从(~)2≥0可知,只要~uiK≠~urK,就有(~u′ikKrkKuiK-urKuiK)+
2~*L~*L~*L
(urK)>2uiKurK,在式(4)中利用这个关系就可得到:
~
∏∏(u
f
N
~*(u2
M
L1K
*L*L*L*L~*L),(~~*L),…,(~~*L),…,(u~*
+uu2K+~u2K),…,(~uiK+uurK+u1KrKiK
2222*L
lkK
L*L*L*LL2~*L~′~L
-~u′lkK)(~uiK~urK-(~uiK+urK)uikK+(u′ikK))
L
NK
~*+u
LNK
)
>=
l=1,l≠r,ik=1
u∏∏(~
M
LlkK
u∏∏(~
l=1k=1
N
L
-~u′lkK)
*L*L~*L
=f((~u1K,u,…,~uNK))2K
*L~*
而这与~uK是f的最大值向量矛盾,故应有u
L
iK
*L
=~urK.
第4期 王少龙,叶仲泉:支付函数为模糊数的多目标多人合作对策的纳什谈判解119
法,即就是求以下的非线性规划,即
max
rLlK
rLlK
rLrL~~(u(A)-u′))lKlK(A∏∏l=1r=1N
M
~(A)>~uu′(A)(l=1,2,…,N;r=1,2,…,M)
~K∈~uUK
rL~′其中,u)(l=1,2,…,N;r=1,2,…,M)为局中人Pl关于目标fr在K置信水平上模糊支付值的K截lK(A
*R
集区间的左端点。同理可求得~uK.
通过对定理2的证明可以得到局中人Pl关于目标fr在不同置信水平K上的纳什谈判解左右端点*L~~*RuK和uK,再将左右端点形成的区间组成集合套,从而得到模糊纳什谈判解隶属函数。左右端点形成的区间组成集合套的详细证明可参考文献[8]。
3 结论
与经典的纳什谈判解方法相比,本文提出的方法将支付函数用模糊数来表示,更加贴近现实,具有重要的理论意义。模糊多目标多人合作对策是多目标多人合作对策的推广,它拓展了对策论的应用范围,因而具有更广泛的适用性和实用价值。本文得到的结果说明,在K截集(K置信水平)上这种对策的K-纳什谈判解是存在的。参考文献:
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NashBargainingSolutionofMultiobjectiveMany-personCooperativeGame
WhenPaymentFunctionIsFuzzyNumbers
WANGShao-long,YEZhong-quan
(CollegeofMathmaticsandScience,ChongqingUniversity,Chongqing400045,China)
Abstract:Inthispaper,wediscussthesituationthatthepayofffunctionofmulti-objectivemany-person
cooperativegamesarefuzzynumbers.SixaxiomswhichproposedbyNashareextendedbyapplyingfuzzymathematictechniquesandtheexistenceofNashBargainingSolutioninthiscaseisproved.
-cutKeywords:(Fuzzy)MultiobjectiveMany-personCooperativeGame;NashBargainingSolution;K
M