常见基本初等函数极限
一、常见数列极限的存在情况：
(1)1,1,1,1, L 1, L 。通项y n =1，极限y n =11(n ¥) （收敛） 即lim1=1
n ¥
(2)1,
111111
, , , L , , L 。通项y n =，极限y n =0(n ¥) （收敛） 234n n n
即lim
(3)
1
=0(如图2) n ¥n
n =0
n +1
(4)¥) （收
敛）即n (
(5)2, (6)1, -(如图6)
y n
66
(7) 1, 2,3, L , n , L 。通项y n =n ，极限y n =n ¥(n ¥) （发散）(如图7) 。
(8)
y n
n =(-1) 2
极限 y n
n =(-1) (如图8)
（一）当x (1) 函数y y
-¥
67
(3)函数y =-x ，极限lim （-x ）=m ¥； (4)函数y =
x ±¥
11
，极限lim =0
x ±¥
x x
y
限不存
68
2、指数函数部分
(9)函数y =a x (a >1），极限lim a x
x +¥
=+¥ (a >1) （极限不存在）（注意：x +¥）
(10)函数y =a x (a >1）极限x
x lim -¥
a =0 (a >1) ;（注意：x -¥）
(11)函数y =a x (0
x +¥
=0 (0
(12)函数y =a x (0
x lim -¥
a =+¥ (0
（x +¥
（注意：x -¥） x
x
69
或综上(13)(14)
y
（17）函数y =tan x ，极限lim tan x 趋势不定，极限不存在（注意：x ¥即x ±¥）
x ¥
70
x
（18）函数y =cot x ，极限lim x ¥
cot x 趋势不定，极限不存在（注意：x ¥即x ±¥）
71
（一）当x x 0，x x 0，x x 0时的函数极限 1、幂函数部分
(23) 函数y =C ，极限lim C =C (C 为常数); (24)函数y =
x x 0
-+
11，极限lim =m ¥
x 0m x x
72
1
(30)3
3
x lim 0
m x =0 (31)x lim 0
m
x =0
x
x
x
(34)函数y =e x ，极限lim e x
x 0
+
=1 3、对数部分
（35）函数y =log a x (a >1) ，极限x lim 0
+
log a x =-¥ (a >1) 极限不存在； （36）函数y =log a x (a >1) ，极限lim x 1
m
log a x =0(a >1)
73
图35
(37)函数y =log a x (0
x 0
(38)函数
x
74
（40）函数y =sin x ，极限 lim sin x lim sin x =1（k =0,1, 2,3L ）
x (p=1； 一般
) m
x (p
2
2
+2k p) m
75
或综上（41）（42）
x 0
图44
（43）函数y =tan x ，极限lim tan x =0； 一般lim m tan x =0（k =0,1, 2,3L ）； m
x (k p)
（44）函数
一般
76
p
x (+k 2
lim 图46
或综上（43）（44）
77
5、反三角函数部分 函数y =arcsin x
arcsin x =0， （48）lim arcsin x =（47）极限lim m m
x 0
x 1
p
2
y
78
函数y =arccos x
（50） lim x 0m arccos x =p2
； （51） lim x 1m
arccos x =0
x
79
(53)函数y =arctanx ,极限lim arctanx =0; (54)函数y =arccot x ,极限 lim arc cot x =m m
x 0
x 0
p
2
=0, x ¥ 时, 是一个无穷小量 x ¥x x
p
(4) lim cos x =0, x 时, cos x 是一个无穷小量 .
x 2(5) lim 0=0, 即在任何一个极限过程中, 常值函数 y = 0 均为无穷小量. (3) lim
注:熟悉以上极限结果对计算更多的极限是非常重要的，希望同学通过图像理解后尽可能记住
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