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利用角平分线构造等腰三角形求角度

12-05

利用角平分线构造等腰三角形求角度

八年级数学竞赛资料中有这样一道题目：如图，D是△ABC内一点，∠CAD=∠BAD=10°，∠ABD=20°，∠CBD=40°，求∠BCD的度数。

A我拿到题目后，作了以下尝试：

一、延长BD交AC于点F（如图），构造了两个等腰三角形（△ ABF和△BCF），再构造两个等腰三角形（△ADG和△BDG），如能证出CF=DG或AG或BD，问题就解决了。但就是证不了，只好放弃。

A

二、作CF⊥AB于点F（如图），发现∠BCF=30°，延长AD交CF于H，发现∠BDH=30°，于是连接BH，只要能证出△BDH≌△BCH，得BC=BD，问题就解决了。但就是证不了全等，又只好放弃。

A

三、延长AC到E（如图），使得AE=AB，连接BE、DE，延长AD交BE于F，∵∠CAD=∠BAD=10°，∴AF垂直平分BE，∴DB=DE。 ∵∠BDF=10°+20°=30°，∴∠BDE=2∠BDF=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=BE、∠DBE=60°。∵∠BCE=10°+10°+20°+40°=80°，∠CBE=60°-40°=20°，∴BEC=180°-80°-20°=80°=∠BCE，

∴BC=BE= BD，∴∠BCD=（180°-40°）÷2=70°。问题解决了。

A

反思，此题是利用角平分线构造等腰三角形（△ABE），再利用“三线合一”得等腰三角形（△BDE），后通过已知角度求出60°角（∠BDE）得等边三角形（△BDE），再通过角度证等腰三角形（△BCE），最后得到等腰三角形（△BCD），从而求解。所以解决此题的关键是利用角平分线构造等腰三角形。


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