数学专业本科论文极限

一、引言

数学分析这门课程研究的对象主要是函数, 而研究函数方法就是极限, 数学分析中几乎所有的概念都离不开极限, 从方法论的角度来讲, 用极限的方法来研究函数, 这是数学分析区别于初等数学的最显著标志, 所以说极限是数学分析中的重要概念, 也是数学分析中最基础最重要的内容. 求数列和函数的极限是数学分析的基本运算, 方法有定义法, 四则运算, 洛比达法则, 函数连续性等. 除了这些常规方法外, 本文就极限问题的各种类型及其求法方法做一归类.

二、数列极限的几种简易求法

定义1 设{a n }为数列, a 为定数. 若对任给的正数ε, 总存在正整数N , 使得当

n >N

时有

a n -a

则称数列{a n }收敛于a , 定数a 称为数列{a n }的极限.

求数列极限的常用两边夹定理、函数的单调有界性以及一些有关的公式。

2.1 利用两边夹定理求数列极限

定理1 （两边夹定理）

设{a n }, {b n }, {c n }是三个数列, 满足以下条件: (1)∃N ∈N +, ∀n >N , 有a n ≤b n ≤c n , (2)lim a n =lim c n =l

n →∞

n →∞

则 lim b n =l .

n →∞

根据此定理, 如果某数列的极限不容易直接求得, 可以将他适当缩小或放大, 并且使得缩小和放大以后得到的两个新数列的极限分别存在且相等, 从而得到原数列的极限. 利用两边夹定理解决一些数列的极限会使题目很容易解决. 例1

求极限lim

n →∞

⎛⎝

+

+

+ +

⎫ .

解:设c

n =

+

+

+ +

,

则有:c

n >

+

+

++ +

= 同时有:c

n

+

+

+

+

= .

于是有

,

由

有

n n +1

=n +1

>

=n ,

n n

=1,

由已知 lim

n →∞

n n +1

1=1

1所以

lim n →∞

⎛

++

1+ +

⎫

1

= 1 .

2.2 利用有关公式求数列极限

这种方法是根据已知的等差数列、等比数列前n 项和的公式, 例如

1+2+3+ +n =

n (n +1)2

,

1+2+ +n =

222

n (n +1)(2n +1)

6

,

等有关公式来求极限.

⎛13+23+ +n 3n ⎫

-⎪ 例2 求极限 lim 3

n →∞n 4⎭⎝

解

⎡(n +1)2n ⎤2n +11

-⎥=lim =原式=lim ⎢

n →∞n →∞4n 4⎥4n 2⎢⎣⎦

1+

113

+ ++ +

1 13

n n

例3 求极限 lim

n →∞

1+

解 此类题的分子、分母都能直接求出前n 项和, 故先求和再求极限.

⎛1⎫1- ⎪

⎝2⎭

1⎫⎛1

21-1-1- n +1⎪42⎝⎭原式=lim =lim =lim n +1

n →∞n →∞3⎛1⎫3n →∞⎛1⎫1-1-1- ⎪ n +1⎪

2⎝3⎭⎝3⎭

11-

3

n +1

13

n +1

1

n +1

=

43

2.3 利用函数的单调有界性求极限

定理2 (单调有界定理)

单调递增有上界或单调递减有下界的数列必有极限.

利用该性质求极限一般步骤: （1）证明数列单调有界;

（2）建立数列相邻两项之间的关系;

（3）对上述关系式两端取极限, 得到关于极限a 的方程, 从中解出a 即可. 例4

设x 1=

a >0), x 2= , x n =n =1, 2, ), 求lim x n .

n →∞

解:（1）先证{x n }单调增加且有上界, 用归纳法证明. 因为x

2=

>x 1,

显然当n=2 时成立.

假设n =k 时, 有x k

则a + x k

有x 1=

则x k +1=

+1 ). 由公理, 数列{x n }收敛. （2）再求lim x n .

n →∞

设lim x n =l

, 因为

x n +1=

n →∞

l =

12

(1±

.

12

又由极限保号性, l 不能是负数,

则数列{x n }

的极限是l =

(1±

.

例5 设x 1=

10, x n +1=n =1, 2, ), 试证数列{x n }极限存在, 并求此极限.

解 由x 1=

10及x 2===4知x 1>x 2; 假设x k >x k +1, 则有

x k +1=

>

=x k +2,

则对一切自然数n , x n >x n +1都成立, 即数列{x n }单调减少; 由x 1=

10及x n +1=易知x n >0(n =1, 2, ), 即数列有下界; 根据极限存在准则知lim x n 存在, 设其为a ,

n →∞

对x n +1=,

得a =解得a =3或-2, 注意到x n >0(n =1, 2, ), 故lim x n =3

n →∞

三、函数极限的几种简易求法

我们常用四则运算法则、无穷小量与无穷大量的关系以及无穷小量的性质、“两个重要极限”、初等函数的连续性、等价无穷小代换、利用左、右极限来确定分段函数在分界点处的极限等方法来求函数极限。

3.1利用四则运算法则求极限

利用函数的四则运算法则求极限, 我们可以从几个简单的函数极限出发, 计算较复杂函数的极限. 例6

32

4x -3x +2)(1)lim (x →1

(2)lim x →2

x -12x +1

2

解: (1)lim (4x 3-3x 2+2)

x →1

= lim 4x 3-lim 3x 2+lim 2

x →1

x →1

x →1

=4lim x -3lim x +2

x →1

x →1

32

=4-3+2=3

(2) lim

x -12x +1

22

x →2

=

lim (x -1)

x →2

lim (2x +1)

x →2

=

π

35

例7 求lim (x tan x -1)

x →

4

解 由于lim c =c , lim x =x 0, tan x 在x →

x →x 0

x →x 0

π4

4

时极限存在, 于是按四则运算法则有

lim (x tan x -1)=lim x lim tan x -lim 1=

x →

π

π

4

x →

π

4

x →

π

4

x →

π

-1.

4

注意 运用极限的四则运算求极限时, 要注意条件:

（1）运用四则运算中的每个独立的函数都必须存在极限;

（2）对有限个数列的和差积商求极限等于他们极限的和差积商（分母不为0）.

3.2利用无穷小量与无穷大量的关系以及无穷小量的性质求极限

关于无穷小量的性质应用最多的是以下性质:

若函数f (x)(x→a) 是无穷小, 函数g (x)在a 的某去心邻域 (a , η)有界, 则函数f (x)·g (x)(x→a) 是无穷小. 例8 求lim x sin

x →0

ο

1x

.

1x ≤1

解:因为lim x =0 , 且 sin

x →0

, 即 sin

1x

有界 ,

x ⋅sin 所以 lim x →0

x →+∞

1x

=0

例9

求lim (cos -cos . 解:

cos =-2sin

2

2

,

因为

-2s i ≤

2,

而

0≤s i

=1

,

其中分母2在该题已知条件下为无穷大量，从而

lim

x →+∞

2

=0,

故

l i m s x →+∞

=

. 0

s

m (c 1所以

x l →i +∞

本题应用了利用无穷小量与无穷大量的关系求解。

3.3利用“两个重要极限”求极限

两个重要极限:

lim

sin x x

1⎫⎛

=1, lim 1+⎪=e

x →∞x ⎭⎝

x

x →0

对于形式为型的含有三角函数的分式函数, 经常利用三角恒等式变换成可利用

的重要极限lim

sin x x

x →0

=1的结果求解; 对于形成1型的幂指数函数, 则可化为另一

∞

x

1⎫⎛

个重要极限lim 1+⎪=e 的结果求解.

x →∞x ⎭⎝

例10

x ⋅sin (1)lim

x →∞

1x

x

1⎫⎛

2lim 1-()x →∞ ⎪

x ⎭⎝

解:（1）lim x ⋅sin

x →∞

1x

sin

1x =1

= lim

x →∞

1x

（因为 x →∞时,

1x

→0）

（2）令u =-x , 则当x →∞时 u →∞.

所以

1⎫⎛

l i m -1 ⎪x →∞x ⎭⎝

x

1⎫⎛

= lim 1+⎪x →∞u ⎭⎝

-u

=lim

11⎫⎛

1+ ⎪

u ⎭⎝

u

x →∞

=

1e

也可直接计算

1⎫11⎛

lim 1-⎪=lim =-x

x →∞x →∞x e ⎝⎭1⎫⎛

1+ ⎪

-x ⎭⎝

x

例11 求

11⎫⎛

lim sin +cos ⎪x →∞x x ⎭⎝

x

2x

sin

x 22⎧⎡⎛11⎫11⎫⎤2⎫2⎪⎛2⎫sin 2⎛⎛

因为 sin +cos ⎪=⎢ sin +cos ⎪⎥= 1+sin ⎪=⎨ 1+sin ⎪x

x x ⎭x x ⎭⎥x ⎭x ⎭⎝⎝⎝⎢⎝⎪⎣⎦⎩

x

x

1

解:

⎫

⎪⎬⎪⎭

2x

sin

2所以 原式 =

⎧

2⎫sin 2⎪⎛

lim ⎨ 1+sin ⎪x x →∞x ⎭⎝⎪⎩

1

⎫

⎪⎬⎪⎭

2x

=e

3.4利用初等函数的连续性求极限

ln sin x . 例12 求 lim

π

x →

2

解:点x 0=

π2

是初等函数

π

2

f (x ) =ln sin x 的一个定义区间(0,π) 内的点,

所以lim ln sin x =ln sin

π

x →

2

=0

3.5利用等价无穷小代换求极限

高等数学中常用的等价无穷小如下: x →0时,

x sin x tan x arcsin x arctan x ln (1+x ) e -1 ,

x

1-cos x

12

x

2

例13 求极限 lim

1-cos x ln(1+2x )

12x

.

2

x →0

解:当x →0时, 1-cos x ,

2

ln(1+2x ) 2x

所以

x

1-c o x s l i =l =x →0l n (+→01x 2) x x 2

1

→x

1

=0 x m 04

3.6利用左、右极限来确定分段函数在分界点处的极限

求分段函数的极限, 主要是求分段点处函数的极限. 因为在非分段点处, 函数极限的计算方法与非分段函数没有什么不同.

分段函数在分段点处极限存在的充要条件:当且仅当函数在分段点处的左、右极限存在且相等时函数在该点的极限存在. 即当x 0是分段点时, 应分别求

x →x 0

l i m f -

(x )和lim

x →x 0

+

f

(x ), 并判断该点处极限是否相等.

例14

⎧

⎪3x +2, x ≤0⎪2

f (x ) =⎨x +1, 0

⎪2x >1⎪, ⎩x

设函数 , 求 lim f (x ); lim f (x ) .

x →0

x →1

解: lim f (x ) =lim (3x +2)=2

x →0

-

x →02

-

x →0

lim +f (x ) =lim +(x +1)=1

x →0

∴lim +f (x ) ≠lim -f (x )

x →0

x →0

2

, 即lim f (x ) 不存在.

x →0

lim -f (x ) =lim -(x +1)=2

x →1

x →1

lim +f (x ) =lim +

x →1

x →1

2x

=2, lim -f (x ) =lim +f (x ) , 即 lim f (x ) =2

x →1

x →1

x →1

四、几种特殊式子极限的求法

对于一些特殊式子，我们常用某些恒等式、洛必达法则、泰勒展开式、定积分、以及综合运用各种方法求极限.

4.1 利用某些恒等式求极限

例15 求极限lim

n →∞

⎛1⎝1⋅3

+

13⋅5

+

15⋅7

+ +

⎫⎪

(2n -1)(2n +1)⎭

1

解 设x n =则原式

1

(2n -1)(2n +1)

=

1

(2n +1)-(2n -1)⋅

2(2n -1)(2n +1)

=

1⎛11⎫

- ⎪

2⎝2n -12n +1⎭

⎡⎛1⎫⎛11⎫⎛11⎫1⎫⎤⎛1=lim ⎢ 1-⎪+ -⎪+ -⎪+ -⎪⎥n →∞3⎭⎝35⎭⎝57⎭⎝2n -12n +1⎭⎦⎣⎝=lim =12

n →∞

1⎛1⎫

1- ⎪2⎝2n +1⎭

4.2利用洛必达法则求不定式极限

（一）型不定式极限

00

定理3 若函数f 和g 满足: （1）lim f (x )=lim g (x )=0;

x →x 0

x →x 0

（2）在点x 0的某空心邻域U 0(x 0)内两者都可导, 且g ' (x 0)≠0; （3）lim

f

x →x 0

(x )

'

g (x )

f

'

=A （A 可为实数, 也可为±∞或∞）,

则 lim

x →x 0

(x )

=lim g (x )x →x

(x )

=A . '

g (x )

f

'

例16 求极限

x →0

lim +

ln sin 2x ln sin 3x

.

解:

lim +

ln sin 2x ⎛0⎫

型 ⎪

ln sin 3x ⎝0⎭

x →0

cos 2x

= lim +x →0cos 3x

sin 3x

⋅2

⋅3

sin 3x cos 2x 2

⋅⋅ +

x →0sin 2x cos 3x 3312=lim +⋅⋅ x →0213

= lim

=1

（二）

∞∞

型不定式极限

定理4 若函数f 和g 满足: （1）lim f (x )=lim g (x )=∞;

x →x 0

+

x →x 0

+

（2）在x 0的某右邻域U +(x 0)内两者都可导, 且g ' (x )≠0;

（3）lim

x →x 0

(x )

'

g (x )

f

'

=A （A 可为实数, 也可为±∞, ∞）,

则 lim

f (x )g (x )

x →x 0

+

=lim +

x →x 0

(x )=A '

g (x )

f

'

例17 求lim

ln x x

x →∞

解 根据定理得:

x →+∞

lim

ln x x

=

(ln x )lim ' x →+∞

(x )

'

=lim

1x

x →+∞

=0

例18 求lim

e x

x 3

e x

x 3

x →+∞

e

x 2

解 lim

x →+∞

=lim

f

'

x →+∞

3x

=lim

e

x

x →+∞

6x

=lim

e

x

x →+∞

6

=+∞

注1 若lim

x →x 0

(x )

不存在, 并不能说明lim '

x →x g (x )

(x )

不存在. g (x )

f

注2 不能对任何比式极限都按洛必达法则求解. 首先必须注意它是不是不定式极限, 其次是否满足洛必达法则的其他条件.

下面这个简单的极限

x →+∞

lim

x +sin x

x

=1

虽然是

∞∞

型, 但若不顾条件随便使用洛比达法则:

lim

x +sin x

x

=lim

1+cos x

1

x →+∞x →+∞

,

就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论. （三）其他类型不定式极限

不定式极限还有0⋅∞,1∞, 00, ∞0, ∞-∞等类型, 经过简单变换, 它们一般均可化为型或

00

∞∞

型的极限.

+

例19求 lim x ln x .

x →0

解 这是一个0⋅∞型不定式极限. 用恒等变形

x ln x =

ln x 1x

将它转化为

∞∞

型的不定式极限, 并应用洛比达法则得到

1

x →0

lim +x ln x =lim +

x →0

ln x 1x

=lim +

x →0

-

=lim -x =0. ()+1x →0x

2

4.3利用泰勒展开式求极限

有些不定式的极限用以上几种方法不见效时, 有时可用函数的泰

勒展开式近似代替, 舍去高阶无穷小量部分, 再求极限. 例20 求极限lim

cos x -e

x

4

-x

2

2

x →0

解 本题可用洛比达法则求解（较繁琐）, 在这里可应用泰勒公式求解. 考虑到极限式的分母为x 4, 我们用麦克劳林公式表示极限的分子（取n =4）:

cos x =1-

x

2

2

+

x

4

24

+o (x

x

5

), e

-

x

2

2

=1-

1x

2

2

4

+

x

4

8

+o (x

5

5

), cos x -e

1

-

x

2

2

=-

x

4

12

+o (x

5

)

2

因而求得lim

cos x -e

x

4

-

2

-=lim

x →0

x +o (x x

4

)

=-

x →0

12

1

⎡⎛3x ⎫x 2

例21

求极限lim ⎢ x -x +⎪e -

n →∞2⎭⎣⎝

⎦

解 原式

⎧⎛3x ⎫⎡11111⎛1⎫⎤⎛1⎫⎤⎫23⎡

=lim ⎨ x -x +⎪⎢1++2+3+o 3⎪⎥-x ⎢1+6-12+o 12⎪⎥⎬ n →∞2⎭⎣x 2x 6x 2x 8x ⎝x ⎭⎦⎝x ⎭⎦⎭⎣⎩⎝

=lim ⎢+o ⎪⎥= n →∞

⎝x ⎭⎦6⎣6注 一些函数的麦克劳林公式: (1)e =1+x +

x

⎡1⎛1⎫⎤1

x

2

2!

+ +

5

x

n

n !

+o (x

n

);

x

2m -1

(2)sin x =x -

x

3

3! x

2

+

x

5! x

4

+ +(-1)

m -1

(2m -1)!

m

+o (x

2m

);

(3)cos x =1-

2

+

4x

2

+ +(-1)

x

2m

(2m )!

n -1

+o (x

2m +1

);

(4)ln (1+x )=x -

2

+

x

3

3

+ +(-1)

x

n

n

+o (x

n

);

+o (x

n

(5)(1+x )=1+αx +(6)

11-x

2

α

α(α+1)

2!

n

x + +

2

α(α-1) (α-n +1)

n !

);

=1+x +x + +x +o (x

n

).

4.4利用定积分求极限

对于数列极限中有和或积的形式, 可以考虑向某些函数的积分和转化, 可以起

到化繁为简的效果. 例22 求lim

n →∞

⎛1

⎝n +1

+

1n +2

+ +

1⎫

⎪=J 2n ⎭

解 把此极限式化为某个积分和的极限式, 并转化为计算定积分. 为此做如下变形:

n

J =lim

n →∞

∑

i =1

11+

i n

⋅

1n

不难看出, 其中的和式是函数f (x )=的是等分分割,

11+x

在区间[0,1]上的一个积分和（这里所取

∆x i =

1n

, ξi =

⎡i -1i ⎤∈⎢, ⎥, i =1, 2, , n ）. n ⎣n n ⎦

i

所以J =

⎰

10

dx 1+x

=ln (1+x )

10

=ln 2

当然, 也可把J 看作f (x )=

1x

在[1, 2]上的定积分, 同样有

J =

⎰

2

dx x

1

=

⎰

32

dx x -1

= =ln 2

4.5 综合运用各种方法求极限

例23

已知lim

x →0

⎰bx -sin x

1

x 0

2

=2, 求a , b

x

2

2

解

x ⎛0⎫

等式左边是 型⎪=lim =x →0b -cos x ⎝0⎭

x →0b -cos x

→0. 必有lim (b -cos x )=0, ∴b =1

x →0

（极限存在）

且(x →0)时, x 2所以, 等式左边

=

x

2

x →0

1-cos x

=

x 12

2

x →0

=x

2

=2

则 a =2 例24 求极限lim

⎫2

-cot x ⎪ 2

x →0

⎝x ⎭

⎛1

222

⎛1cos x ⎫sin x -cos x

解 原式=lim 2-（1）, ⎪=lim 222

x →0x →0x sin x x sin x ⎝⎭

因为x sin x , 所以（1）⇔ lim

=lim

(sin x +x cos x )(sin x -x cos x )

x

4

x →0

x →0

sin x +x cos x sin x -x cos x

⋅3

x x sin x -x cos x

x

3

=2⋅lim

x →0

（根据洛比达法则）

=2lim

cos x -cos x +x sin x

3x

2

x →0

=

23

注 在平常求极限的过程中, 我们一般都是综合运用各种方法.

比如这两题就用到了洛比达法则, 泰勒公式, 函数的连续性以及定积分法.

五、结论

可以看到, 极限的运算即是一种重要的运算, 同时它又牵涉到很多方面的知识点和方法. 本文虽然列举了十余种求极限的方法, 但在实际的解题过程中还有别的一些方法, 在此不一一赘述. 总之, 常用求极限的方法是多种多样的, 求极限的过程是综合运用上述各种方法的过程, 惟有真正掌握数学的思维方法, 熟悉各种方法, 把握所求极限表达式的结构, 灵活运用, 才能在求极限的过程中使极限计算变得更加简单, 游刃有余, 且受益于生活实践. 在本文中, 我把一些求极限的方法进行了一些总结. 通过写本论文, 使我对极限的求法更加熟悉, 同时也提升了我综合处理问题的能力.

参考文献

[1]华东师范大学数学系. 数学分析（上）[M] . 北京:高等教育出版社，2001. [2]刘玉琏，傅沛仁. 数学分析讲义[M] . 北京 : 高等教育出版社，1996 .

[3]王艳，周文丽，董明辉. 求极限的几种方法[J].西安欧亚学院学报，2005，3（3）: 79-83 . [4]解红霞. 浅谈求极限的几种方法[J].太原教育学院学报，2001，6（2）: 37-40 . [5]马振民. 数学分析的方法与技巧选讲[M].甘肃:兰州大学出版社，1999.

[6]淮乃存. 利用定积分定义求数列极限[J].陕西师范大学学报，2003，31（1）: 30-33 . [7]王伟珠. 常用求极限方法浅析[J].中国科教创新导刊，2007（11）:63.

[8]刘广应，许飞. 计算极限的方法小结[J].四川教育学院学报，2006，22（1）: 95-96 .

致 谢

我的毕业论文是在陈冬君老师的悉心指导和帮助下完成的, 从论文的选题、资料的搜集与整理, 到内容的分析和讨论, 直至论文的撰写和修改, 都与导师的耐心指导息息相关, 值此论文完成之际, 谨向尊敬的导师陈冬君老师致以崇高的敬意和衷心的感谢！

本次论文让我从中获益匪浅, 学到了很多新的知识, 接触了更广阔的知识层面, 而且对四年来学习的知识融会贯通, 巩固并深化. 最重要的是我的自学能力得到提高, 这对我今后的生活和学习有着重要的作用.

毕业在即, 心中存有很多感谢:

感谢陈老师对我的辛勤指导和鼓励！

目录

一、引言........................................................................................................................ 1 二、数列极限的几种简易求法.................................................................................... 1

2.1 利用两边夹定理求数列极限......................................................................... 1 2.2 利用有关公式求数列极限............................................................................. 2 2.3 利用函数的单调有界性求极限..................................................................... 3 三、函数极限的几种简易求法.................................................................................... 4

3.1利用四则运算法则求极限.............................................................................. 4 3.3利用无穷小量与无穷大量的关系以及无穷小量的性质求极限.................. 5 3.4利用“两个重要极限”求极限...................................................................... 6 3.5利用初等函数的连续性求极限...................................................................... 7 3.6利用等价无穷小代换求极限.......................................................................... 7 3.7利用左、右极限来确定分段函数在分界点处的极限.................................. 8 四、 几种特殊式子极限的求法.................................................................................. 8

4.1 利用某些恒等式求极限................................................................................. 9 4.2利用洛必达法则求不定式极限...................................................................... 9 4.3利用泰勒展开式求极限................................................................................ 11 4.4利用定积分求极限........................................................................................ 12 4.5 综合运用各种方法求极限........................................................................... 13 五、结论...................................................................................................................... 14 参考文献...................................................................................................................... 14 致 谢.......................................................................................................................... 15