椭圆的标准方程及几何性质
椭圆的标准方程与几何性质
一、知识梳理
1、椭圆定义:平面内与两个定点F 1, F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
思考:若与两个定点F 1, F 2的距离之和等于常数(小于或等于|F 1F 2|)的点的轨迹又是如何?
2.标准方程:
x 2y 2
(1)焦点在x 轴上,中心在坐标原点的椭圆的标准方程为2+2=1;
a b y 2x 2
(2)焦点在y 轴上,中心在坐标原点的椭圆的标准方程为2+2=1.
a b
3、重要关系: a =b +c 4、椭圆的几何性质
2
2
2
x 2y 2
由椭圆方程2+2=1(a >b >0) 研究椭圆的性质。
a b
(1)范围:-a ≤x ≤a , -b ≤y ≤b (椭圆落在x =±a , y =±b 组成的矩形中) (2)对称性:图形关于原点对称.原点叫椭圆的对称中心,简称中心.x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴.
长轴与短轴长分别为2a , 2b 。a , b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。
(3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。
椭圆共有四个顶点: A 1(-a , 0), A 2(a , 0) ,B 1(0, -b ), B 2(0, b ) 。
【小秘书】
(1)求椭圆方程的方法:除了定义外,常用待定系数法;
x 2y 2
+=1(m , n >0)(2)当椭圆的焦点位置不确定时,可设方程为,避免讨论和m n
繁杂的计算。
(3)要重视椭圆定义解题的重要作用,要注意归纳提炼,优化解题过程。 【例1】求满足下列各条件的椭圆的标准方程. :
(1)焦点在坐标轴上,且经过两点P (, ) 、Q (0, -) ; (2)经过点(2,-3) 且与椭圆9x 2+4y 2=36具有共同的焦点;
(3)以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为正三角形,且焦点到椭圆的最短
练兵场:
1. 椭圆5x +ky =5的一个焦点是(0,2),那么k 等于 ( ) (A)-1 (B)1 (C)
2
2
11
3312
5
(D) -
x 2y 2
+=1上的点.2、(08上海文)设P 椭圆若F 1、则|PF F 2是椭圆的两个焦点,1|+|PF 2|2516
等于( )
(A)4 (B)5 (C)8 (D) 10
x 2y 2+=1的两个焦点,过F 1的直线交椭圆于A ,B 两点,若3. 已知F 1,F 2为椭圆
259
F 2A +F 2B =12,
则AB = .
4. 椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,椭圆的一个顶点B 与两焦点F 1F 组成三角形的周长为4+2,且∠F 1BF 2=
2π
,求该椭圆方程。 3
P 位其上的动点,当∠F 1PF 2为钝角时,【例2】椭圆4x 2+9y 2=36的焦点为F 1、F 2,点
点P 的横坐标的取值范围是__________________
【例3】已知P 为椭圆
x 2a 2
2
y 2
+2=1(a >b >0) 上的一点,F 1, F 2是焦点,∠F 1PF 2=α, b
求证:∆F 1PF 2面积是b tan
α
2
。
x 2y 2
+=1上的一点,F 1和F 2是焦点,若∠F 1PF 2=30°,则△F 1PF 2的变式1、P 是椭圆54
面积等于( )
(A )
3
(B ) 4(2-) (C ) 16(2+) (D ) 16
x 2y 2
变式2、已知点P 是椭圆2+2=1(a >b >0)上一点,F 1、F 2是椭圆的两个焦点,
a b
且椭圆上存在一点P 使∠F 1PF 2=60︒。求△PF 1F 2的面积。
练习:
x 2y 2
-2=-1所表示的曲线为椭圆,则k 的取值范围___________ 1. 若方程
k -43k -5k
x 2y 2
2. F1,F2分别为椭圆2+2=1的左、右焦点,点P 在椭圆上,△PO F
2a b
正三角形,则b 的值是
【例4】已知一个动圆与圆C :(x +4) 2+y 2=100内切,且过点A (4, 0) ,求这个动圆的圆心M 的轨迹方程。
变式1、过椭圆4x 2+9y2=36内一点P(1,0)引动弦AB, 则AB 的中点M 的轨迹方程是( )
A.4x 2+9y2-4x=0 B.4x 2+9y2+4x=0 C.4x 2+9y2-4y=0 D.4x 2+9y2+4y=0
πx 22
变式2、倾斜角为的直线交椭圆+y=1于A 、B 两点,则线段AB 中点的轨迹方程
44
是 。
变式3、在∆A B C 中,BC=24,AC ,AB 的两条中线之和为39,求∆A B C 的重心的轨迹方程。
x 2y 2
+=1所截得的线段的中点,求直线l 的方程。【例5】 已知P (4, 2) 是直线l 被椭圆 369
练习:
1、已知长轴为12,短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它的左焦点F 1作倾斜角为线交椭圆于A ,B 两点,求弦AB 的长.
π
的直3
x 2
+y 2=1: 2、已知椭圆2
(1)过椭圆的左焦点F 引椭圆的割线,求截得的弦中点P 的轨迹方程; (2)求斜率为2的平行弦的中点M 的轨迹方程; (3)求过点D (, ) 且被D 平分的弦所在的直线方程。
1122
x 2y 2
3、(07上海春季)如图,在直角坐标系xOy 中,设椭圆C :2+2=1(a >b >0) 的左右
a b
两个焦点分别为F 1、F 2. 过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交,其中一个交点为M
(
2, 1.
)
(1) 求椭圆C 的方程;
(2) 设椭圆C 的一个顶点为B (0, -b ) ,直线BF 2交椭圆C 于另一点N ,求△F 1BN 的面积.
y
x
二、总结反思
三、课后训练营
x 2y 2
+=1上,1、点P 在椭圆它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P 的259
横坐标是______________
2、如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆,那么实数k 的取值范围是
3、直线y =kx -2与椭圆x 2+4y 2=80相交于不同的两点P 、Q ,若PQ 的中点横坐标为2,则k = 。
πx 2y 2
+=1上的一点,F 1, F 2为焦点,且∠F 1MF 2=,则∆MF 1F 2的4、M 是椭圆
62516
面积为( )
A
.
3
B
.16(2 C
.16(2
D .16
x 2y 2
+=1的两个焦点,P 是椭圆上的点,当5、已知F 1(-3, 0), F 2(3, 0) 是椭圆m n ∠F 1PF 2=
2π
,△F 1PF 2的面积最大,则有( ) 3
3 2
A . m =12, n =3 B . m =24, n =6 C . m =12, n =6 D . m =6, n =
x 2y 2
+=1相交。 6、求证:无论k 取何值时,直线kx -y +k +1=0都与椭圆
2516
7、中心在原点,一焦点为F 1(0,) 的椭圆被直线l :y=3x-2截得弦的中点横坐标为
1
,求此椭圆的方程。 2
x 2y 2
+=1内的一点. 8、已知点P (3,2) 是椭圆
2516
(1)求以P 为中点的弦所在的直线l 的方程; (2)求与l 平行的弦的中点M 的轨迹方程;
(3)求过点P 的直线被椭圆截得的弦的中点Q 的轨迹方程.
9、已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在坐标轴上,直线y =x +1与椭圆相交于点P
和点Q ,且OP ⊥
OQ ,PQ =
,求椭圆方程。