2013年高考数学广西(理科)(含答案)
2013年普通高等学校统一考试试题 大纲全国卷 广西 理科
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,aA,bB},则M中元素的个数为( B ) A.3 B.4 C.5 D.6
2. (1)=( A )
A.-8 B.8 C.8i D.8i
3
3. 已知向量m(1,1),n(2,2),若(mn)(mn),则=( B )
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
4. 已知函数f(x)的定义域为(1,0),则函数f(2x1)的定义域( B )
11
22
11
5. 函数f(x)log2(1(x>0)的反函数f(x)=( A )
x
11A.x(x0) B.x(x0) C.2x1(xR) D.2x1(x0)
2121
4
6. (2013大纲全国,理6)已知数列{an}满足3an1an0,a2,则{an}的前10项和等于( C )
3
110101010
A.6(13) B.(13) C.3(13) D.3(13)
9
A.(1,1) B.(1,) C.(1,0) D.(,1) 7.(1x)(1y)的展开式中xy的系数是( D ) A.56 B.84 C.112 D.168
8
4
2
2
x2y2
1的左右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[2,1],那8. 椭圆C:43
么直线PA1斜率的取值范围是( B ) A.[,] B.[,] C.[,1] D.[,1] 9. 若函数f(x)xax
2
13
2433841234
11
在(,)是增函数,则a的取值范围是( D )
2x
A.[1,0] B.[1,) C.[0,3] D.[3,)
10. 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( A )
A.
21
B
. C
. D.
3333
2
y8x与点(11.已知抛物线C:M-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若MAMB0,
则k= ( D ) A.
1
B
. C
.2
22
12.已知函数f(x)cosxsin2x,下列结论中错误的是( C )
A.yf(x)的图像关于点(,0)中心对称 B.yf(x)的图像关于直线x
2
对称
C.f(x
)的最大值为
D.f(x)既是奇函数,又是周期函数 2
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知是第三象限角,sin
1
,则cot
3
14. 6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 480 种.(用数字作答)
x0
15.记不等式组x3y4,所表示的平面区域为D.若直线ya(x1)与D有公共
3xy4
点,则a的取值范围是 [,4].
12
16.已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,OK面所成的一个二面角为60,则球O的表面积等于16.
3
,且圆O与圆K所在的平2
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)
等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3a2,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项公式. 解: 设{a
n
}的公差为d.
2
2
由S3a2得3a2a2,故a20或a23.
2
由S1,S2,S4,成等比数列得S2=S1S4.
又S1a2d,S22a2d,S44a22d, 故(2a2d)(a2d)(4a22d).
22
若a20,则d2d,,所以d0,此时Sn0,不合题意; 2
若a23,则(6d)(3d)(122d),解得d0或d2.
2
2
因此{an}的通项公式为an3,或an2n1.
18. (本小题满分12分)
设ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,(abc)(abc)ac. (Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若sinAsinC
C. 2
2
2
解:(Ⅰ)因为(abc)(abc)ac,所以acbac.
a2c2b21
, 由余弦定理得cosB
2ac2
因此B120.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC60,
所以 cos(AC)cosAcosCsinAsinC cosAcosCsinAsinC2sinAsinC cos(AC)2sinAsinC
12
2 0
故AC30或AC30,
因此C15或C45.
19. (本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,ABCBAD90,BC2AD,PAB和
PAD都是等边三角形.
(Ⅰ)证明:PBCD; (Ⅱ)求二面角A-PD-C的大小.
解:(Ⅰ)证明:取BC的中点E,,连结DE,则ABED为正方形. 过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O. 连结OA,OB,OD,OE.
由PAB和PAD都是等边三角形知PA=PB=PD, 所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点, 故OEBD,
从而PBOE.
因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE//CD.因此PBCD. (Ⅱ)解法一:
由(Ⅰ)知CDPB,CDPO,PBPOP. 故CD平面PBD.
又PD平面PBD,所以CDPD. 取PD的中点F,PC的中点G,连结FG, 则FG//CD,FG//PD.
连结AF,由APD为等边三角形可得AF⊥PD.
所以,AFG为二面角A-PD-C的平面角. „„8分 连结AG,EG,则EG//PB. 又PB⊥AE,所以EG⊥AE. 设AB=2
,则AEEG
故AG
1
PB1, 2
3.
在
AFG中,FG
1
CD
AF,AG3,
2
FG2AF2AG2
所以cosAFG.
2FGAF3
因此二面角A-PD-C
的大小为 解法二:
由(Ⅰ)知,OE,OB,OP两两垂直.
.
以O为坐标原点,OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
设|AB|2,则
A(
,D(0,
,C
,P.
PC,PD(0,.
AP,AD.
设平面PCD的法向量为n1(x,y,z),则
n1PC(x,y,z)0,
n1PD(x,y,z)(0,0,
可得2xyz0,yz0.
取y1,得x0,z1,故n1(0,1,1).
设平面PAD的法向量为n2(m,p,q),则
n2AP(m,p,q),
n2AD(m,p,q),
可得mp0,mp0.
取m=1,得p1,q1,故n2(1,1,1).
n1n2于是cosn1,n2|n1||n2|
由于,n1,n2等于二面角A-PD-C的平面角,
所以二面角A-PD-C
的大小为arccos
. 3
20. (本小题满分12分)
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率;
(Ⅱ)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望. 解:(Ⅰ)记A1表示事件,“第2局结果为甲胜”, A2表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”, A表示事件“第4局甲当裁判”.
则A=A1A2.
1
,各局比赛的结束相互独立,第1局甲当裁判. 2
P(A)=P(A1A2)P(A1)P(A2)
(Ⅱ)X的可能取值为0,1,2.
1
. 4
记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”,
B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”,
B2表示事件“第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”, B3表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙负”.
则P(X0)P(B1B2A3)P(B1)P(B2)P(A3)
1
8
1
P(X2)P(B1B3)P(B1)P(B3)=,
4
115
P(X1)1-P(X0)P(X2)1,
848
9
E(X)0P(X0)1P(X=1)+2P(X2).
8
21. (本小题满分12分)
x2y2
已知双曲线C:221(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为3,直线y=2与C的两个
ab
.
(Ⅰ)求a,b;
|AF2|、|BF2|(Ⅱ)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点,且|AF1||BF1|,证明:|AB|、
成等比数列.
a2b2c
9,故b28a2. 解:(Ⅰ)由题设知3,即2
aa
所以C的方程为8xy8a.
2
2
2
将y=2
代入上式,求得x
由题设知,,解得a21.
所以a1,b(Ⅱ)由(Ⅰ)知,F1(3,0),F2(3,0),C的方程为8xy8. ①
由题意可设l的方程为yk(x
3),|k|,代入①并化简得
2
2
(k28)x26k2x9k280.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
9k286k2
x11,x21,x1x22,x1x22.
k8k8
于是
|AF1|(3x11),
|BF1|3x21
由|AF1||BF1|得(3x11)3x21,即x1x2
2
. 3
6k22419
,解得k2,从而x1x2.
故2
k8359
由于|AF2|
13x1,
|BF2|3x21.
故|AB||AF2||BF2|23(x1x2)4,
|AF2||BF2|3(x1x2)9x1x2-116.
因而|AF2||BF2||AB|,所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.
2
22. (本小题满分12分)
已知函数f(x)ln(1x)
x(1x)
.
1x
(Ⅰ)若x0时,f(x)0,求的最小值; (Ⅱ)设数列{an}的通项an1
'
1111,证明:a2nanln2. 23n4n
(12)xx2'
f(0)0. 解:(Ⅰ)由已知f(0)0,f(x),2
(1x)
1'
,则当0x2(12)时,f(x)0,所以f(x)0. 21'
若,则当x0时,f(x)0,所以当x0时,f(x)0.
2
1
综上,的最小值是.
21
(Ⅱ)证明:令.由(Ⅰ)知,当x0时,f(x)0,
2
x(2x)即ln(1x).
22x
若取x
12k1k1
ln(). ,则
k2k(k1)k
12n111于是a2nan()
4nkn2k2(k1)
2n1
2k1
kn2k(k1)
k1 k
2n1
ln
kn
ln2nlnn ln2. 所以a2nan
1
ln2. 4n