因式分解的常用方法

因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应

用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法

灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需

的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独

特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组

分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解

的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因

式分解中常用的公式，例如：

2222 （1）(a+b)(a-b) = a-b ---------a-b=(a+b)(a-b)；

222222 (2) (a±b) = a±2ab+b ——— a±2ab+b=(a±b)；

22333322 (3) (a+b)(a-ab+b) =a+b------ a+b=(a+b)(a-ab+b)；

22333322 (4) (a-b)(a+ab+b) = a-b ------a-b=(a-b)(a+ab+b)．

下面再补充两个常用的公式：

2222 (5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

333222 (6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

例.已知a，b，c是ABC的三边，且abcabbcca，

则ABC的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

解：abcabbcca2a2b2c2ab2bc2ca 222222222

(ab)2(bc)2(ca)20abc

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：amanbmbn

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用

公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有

b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考

虑两组之间的联系。

1

解：原式=(aman)(bmbn)

=a(mn)b(mn)每组之间还有公因式！

=(mn)(ab)

例2、分解因式：2ax10ay5bybx

解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。第二、三项为一组。

解：原式=(2ax10ay)(5bybx)原式=(2axbx)(10ay5by)

=2a(x5y)b(x5y)x(2ab)5y(2ab)

=(x5y)(2ab)(2ab)(x5y)

练习：分解因式1、aabacbc 2、xyxy1

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：xyaxay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因

式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=(xy)(axay)

=(xy)(xy)a(xy)

=(xy)(xya)

例4、分解因式：a2abbc

解：原式=(a22abb2)c2

=(ab)2c2

=(abc)(abc)

练习：分解因式3、xx9y3y 4、xyz2yz

3223综合练习：（1）xxyxyy （2）axbxbxaxab

222（3）x6xy9y16a8a1 （4）a6ab12b9b4a

2222（5）a2aa9 （6）4ax4aybxby

22（7）x2xyxzyzy （8）a2ab2b2ab1 [***********]2222

（9）y(y2)(m1)(m1) （10）(ac)(ac)b(b2a)

abc3abc （11）（12）a2(bc)b2(ac)c2(ab)2abc

2 333

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜a≤5，且a为整数，若2x3xa能用十字相乘法分解因

式，求符合条件的a.

解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax+bx+c，都要求b

而且是一个完全平方数。

于是98a为完全平方数，a1

2224ac >0

例5、分解因式：x5x6

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2

×3的分解适合，即2+3=5。2解：x5x6=x(23)x2322

=(x2)(x3) 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数

的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：x7x6

解：原式=x[(1)(6)]x(1)(6)=(x1)(x6)（-1）+（-6）= -7

练习5、分解因式(1)x14x24 (2)a15a36 (3)x4x5

练习

22222226、分解因式(1)xx2 (2)y2y15 2(3)x10x24

3

（二）二次项系数不为1的二次三项式——axbxc

条件：（1）aa1a2 a1c1 （2）cc1c2 ac2

（3）ba1c2a2c1 ba1c2a2c1

分解结果：axbxc=(a1xc1)(a2xc2)

例7、分解因式：3x11x10

分析： （-6）+（-5）= -11

解：3x11x10=(x2)(3x5)

练习7、分解因式：（1）5x7x6 （2）3x7x2

（3）10x17x3 （4）6y11y10

（三）二次项系数为1的齐次多项式

22222222

b 例8、分解因式：a8ab128

分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相

乘法进行分解。

8b+(-16b)= -8b

b=a2[8b(16b)]a8b(16b) 解：a8ab128

=(a8b)(a16b)

练习8、分解

22(1)x3xy2y(2)m6mn8n(3)aab6b

（四）二次项系数不为1的齐次多项式 22222222因式

例9、2x7xy6y例10、xy3xy2

把xy看作一个整体 4 2222

2 -3y 1 -2

(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)=

-3

解：原式=(x2y)(2x3y) 解：原式=(xy1)(xy2)

练习9、分解因式：（1）15x27xy4y2 （2）ax6ax8

综合练习10、（1）8x7x1 （2）12x211xy15y2

（3）(xy)23(xy)10 （4）(ab)24a4b3 6322

m4mn4n3m6n2 （5）（6）x2y25x2y6x2

（7）x4xy4y2x4y3（8）5(ab)23(ab)10(ab)

（9）4x4xy6x3yy10（10）12(xy)11(xy)2(xy)

思考：分解因式：abcx2(a2b2c2)xabc

五、换元法。

例13、分解因式（1）2005x2(200521)x2005

（2）(x1)(x2)(x3)(x6)x

解：（1）设2005=a，则原式=ax(a1)xa

=(ax1)(xa)

=(2005x1)(x2005)

（2）型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=(x7x6)(x5x6)x

22设x5x6A，则x7x6A2x [***********]22

222∴原式=(A2x)Ax=A2Axx

=(Ax)=(x6x6)

练习13、分解因式（1）(xxyy)4xy(xy)

（2）(x3x2)(4x8x3)90

（3）(a1)(a5)4(a3)

432例14、分解因式（1）2xx6xx2

观察：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，

5 [**************]2

并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

22解：原式=x(2xx611112)=x22(x22)(x)6 xxxx

1122设xt，则x2t2 xx

∴原式=x2（2t22)t6=x22t2t10

21 =x22t5t2=x22x5x2 xx

2122 =x·x·2x5·x2=2x5x2x2x1 xx

=(x1)2(2x1)(x2)

432（2）x4xx4x1

41112)=x2x224x1 xxxx

1122 设xy，则x2y2 xx

22 ∴原式=x(y4y3)=x2(y1)(y3) 11222 =x(x1)(x3)=xx1x3x1 xx

432练习14、（1）6x7x36x7x6

4322（2）x2xx12(xx) 解：原式=x(x4x122

六、添项、拆项、配方法。

32例15、分解因式（1）x3x4

解法1——拆项。 解法2——添项。

3232原式=x13x3 原式=x3x4x4x4

22=(x1)(xx1)3(x1)(x1) =x(x3x4)(4x4)

=(x1)(xx13x3) =x(x1)(x4)4(x1)

=(x1)(x4x4) =(x1)(x4x4)

=(x1)(x2) =(x1)(x2)

963（2）xxx3

解：原式=(x1)(x1)(x1)

=(x1)(xx1)(x1)(x1)(x1)

6 [1**********]222

=(x31)(x6x31x311)

=(x1)(x2x1)(x62x33)

练习15、分解因式

（1）x39x8 （2）(x1)4(x21)2(x1)4

（3）x47x21 （4）x4x22ax1a2

2a2b22a2c22b2c2a4b4c4 （5）x4y4(xy)4 （6）

七、待定系数法。

例16、分解因式x2xy6y2x13y6

分析：原式的前3项x2xy6y2可以分为(x3y)(x2y)，则原多项式必定可分为(x3ym)(x2yn)

解：设x2xy6y2x13y6=(x3ym)(x2yn)

∵(x3ym)(x2yn)=x2xy6y2(mn)x(3n2m)ymn ∴

x2xy6y2x13y6=x2xy6y2(mn)x(3n2m)ymn

mn1m23n2m13对比左右两边相同项的系数可得，解得 n3mn6

∴原式=(x3y2)(x2y3)

例17、（1）当m为何值时，多项式xymx5y6能分解因式，并分

解此多项式。

32 （2）如果xaxbx8有两个因式为x1和x2，求ab的值。

（1）分析：前两项可以分解为(xy)(xy)，故此多项式分解的形式必

为(xya)(xyb)

解：设xymx5y6=(xya)(xyb)

则xymx5y6=xy(ab)x(ba)yab 22222222

abma2a2比较对应的系数可得：ba5，解得：b3或b3

ab6m1m1

∴当m1时，原多项式可以分解；

7

当m1时，原式=(xy2)(xy3)；

当m1时，原式=(xy2)(xy3)

（2）分析：x3ax2bx8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，

因此第三个因式必为形如xc的一次二项式。

解：设x3ax2bx8=(x1)(x2)(xc)

则x3ax2bx8=x3(3c)x2(23c)x2c

a3ca7∴b23c 解得b14，

2c8c4

∴ab=21

练习17、（1）分解因式x23xy10y2x9y2

（2）分解因式x23xy2y25x7y6

（3） 已知：x22xy3y26x14yp能分解成两个一次因式

之积，求常数p并且分解因式。

（4） k为何值时，x22xyky23x5y2能分解成两个一次

因式的乘积，并分解此多项式。

第二部分：习题大全

经典一：

一、填空题

1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。

2分解因式： m-4m= .

3.分解因式： x-4y= __ _____.

4、分解因式：x4x4=___________ ______。

5.将x-y分解因式的结果为(x+y)(x+y)(x-y)，则n的值为 .

2222xy5,xy6xyxy2x2y6、若，则=_________，=__________。 nn222232

二、选择题

7、多项式15mn5mn20mn的公因式是( )

8 32223

A、5mn B、5m2n2 C、5m2n D、5mn2

8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )

A、a3a3a29 B、a2b2abab

C、a24a5aa45m22m3m

D、m23

m

10.下列多项式能分解因式的是（ ）

(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+4

11．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（ ）

A．（x－y）（x－y－1） B．（y－x）（x－y－1）

C．（y－x）（y－x－1） D．（y－x）（y－x＋1）

12．下列各个分解因式中正确的是（ ）

A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）

B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）

C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）

D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）

13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（ ）

A.2 B.4 C.2y2 D.4y2

三、把下列各式分解因式：

14、nxny 15、4m29n2

16、mmnnnm 17、a32a2bab2

9

18、x2416x22229(mn)16(mn) 19、；

五、解答题

20、如图，在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长b=3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。

21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径d45cm，外径D75cm，长l3m。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？(取3.14，结果保留2位有效数字)

22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。

10

(1) x21x1x1(2) x41x21x1x1(3) x81x41x21x1x1(4) x161x81x41x21x1x1

(5) _________________________________________________

经典二：

因式分解小结

知识总结归纳

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式；

2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；

下面我们一起来回顾本章所学的内容。 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式x5x4x3x2x1

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x5x4x3和x2x1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取

公因式后，再进一步分解；也可把x5x4，x3x2，x1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式(x5x4x3)(x2x1)

x3(x2x1)(x2x1)

(x31)(x2x1)

(x1)(x2x1)(x2x1)

解二：原式=(x5x4)(x3x2)(x1)

x4(x1)x2(x1)(x1)

(x1)(x4x1)(x1)[(x2x1)x](x1)(x2x1)(x2x1)

4

2

2

2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式x33x24 解一：将3x2拆成2x2x2，则有

原式x32x2(x24)

x2(x2)(x2)(x2)(x2)(xx2)(x1)(x2)2

2

解二：将常数4拆成13，则有

原式x31(3x23)

(x1)(x2x1)(x1)(3x3)(x1)(x4x4)(x1)(x2)2

2

3. 在证明题中的应用

例：求证：多项式(x24)(x210x21)100的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。 证明：(x24)(x210x21)100

(x2)(x2)(x3)(x7)100

(x2)(x7)(x2)(x3)100

(x25x14)(x25x6)100

设yx25x，则

原式(y14)(y6)100y28y16(y4)2

无论y取何值都有(y4)20

(x24)(x210x21)100的值一定是非负数

4. 因式分解中的转化思想

例：分解因式：(a2bc)3(ab)3(bc)3

分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。 解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B

原式(AB)3A3B3

A33A2B3AB2B3A3B3

3A2B3AB23AB(AB)

3(ab)(bc)(a2bc)

说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。

中考点拨

例1.在ABC中，三边a,b,c满足a216b2c26ab10bc0 求证：ac2b

证明：a216b2c26ab10bc0

a26ab9b2c210bc25b20即(a3b)2(c5b)20(a8bc)(a2bc)0

abc

a8bc，即a8bc0于是有a2bc0即ac2b

说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。

11

2，则x33__________ xx111

解：x33(x)(x21)

xxx

例2. 已知：x

11

(x)[(x)221]

xx

21

2

说明：利用x2

12

(x)2等式化繁为易。

xx2

1

题型展示

1. 若x为任意整数，求证：(7x)(3x)(4x2)的值不大于100。 解：(7x)(3x)(4x2)100

(x7)(x2)(x3)(x2)100(x25x14)(x25x6)100

[(x25x)8(x25x)16]

(x25x4)20(7x)(3x)(4x2)100

说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。 2.

a2(a1)2(a2a)2分解因式，并用分解结果计算6272422。

将

解：a2(a1)2(a2a)2

a2a22a1(a2a)2

2(a2a)1(a2a)2

(a2a1)2

6272422(3661)24321849

说明：利用因式分解简化有理数的计算。

实战模拟

1. 分解因式：

（1）3x510x48x33x210x8（2）(a3a3)(a3a1)5

2

2

（3）x22xy3y23x5y2（4）x7x6

3

2. 已知：xy6，xy1，求：x3y3的值。

3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使x3x2yxy2y30，求矩形的面积。

4. 求证：n35n是6的倍数。（其中n为整数） 5.

已

知

：

a

、

b

、

c

是

非

零

实

数

，

且

111111

a2b2c21，a()b()c()3，求a+b+c的值。

bccaab

6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2b2c2和4a2b2的大小。

经典三：因式分解练习题精选 一、填空：（30分）

1、若x2(m3)x16是完全平方式，则m的值等于_____。 2、xxm(xn)则m=____n=____ 3、2xy与12xy的公因式是＿

4、若xy=(xy)(xy)(xy)，则m=_______，n=_________。 5、在多项式3y5y15y中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若x2(m3)x16是完全平方式，则m=_______。 7、x(_____) x2(x2)(x_____)

22

2

3

5

2

22

326

mn2224

8、已知1xx2x2004x20050,则x2006________. 9、若16(ab)2M25是完全平方式M=________。 10、x26x__(x3)2， x2___9(x3)2 11、若9x2ky2是完全平方式，则k=_______。

2

2

12、若x4x4的值为0，则3x12x5的值是________。 13、若x2ax15(x1)(x15)则a=_____。 14、若xy4,x2y26则xy___。

2

15、方程x4x0，的解是________。 二、选择题：（10分）

1、多项式a(ax)(xb)ab(ax)(bx)的公因式是（ ）

A、－a、 B、a(ax)(xb) C、a(ax) D、a(xa)

2、若mxkx9(2x3)，则m，k的值分别是（ ） A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、D m=4，k=12、 3、下列名式：xy,xy,xy,(x)(y),xy中能用平方差公

式分解因式的有（ ）

A、1个，B、2个，C、3个，D、4个

2

2

2

2

2

2

2

2

4

4

22

4、计算(1

122)(1133)(1192)(11102

)的值是（ ） A、

112 B、

20,C.111

10,D.20

三、分解因式：（30分） 1 、x4

2x3

35x2

2 、 3x6

3x2

3 、 25(x2y)24(2yx)2 4、x24xy14y2

5、x5

x

6、x3

1

7、ax2

bx2

bxaxba 8、x4

18x2

81

9 、9x4

36y2

10、(x1)(x2)(x3)(x4)24

四、代数式求值（15分） 1、 已知2xy

13

，xy2，求 2x4y3x3y4

的值。

2、 若x、y互为相反数，且(x2)2(y1)24，求x、y的值

3、 已知ab2，求(a2b2)28(a2b2)的值

五、计算： （15） （1） 0.753.66

2001

3

2.66 4

2000

1（2） 

2

2

12

（3）25685622244 六、试说明：（8分）

1、对于任意自然数n，(n7)(n5)都能被动24整除。

2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。

七、利用分解因式计算（8分）

1、一种光盘的外D=11.9厘米，内径的d=3.7厘米，求光盘的面积。（结果保留两位有效数字）

2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。

2

2

2

八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：

甲：这是一个三次四项式

乙：三次项系数为1，常数项为1。 丙：这个多项式前三项有公因式 丁：这个多项式分解因式时要用到公式法

若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。（4分） 经典四：

因式分解

一、选择题 1、代数式ab－

32

32

[1**********]4

ab, ab＋ab,ab－ab的公因式是（ ） 22

23

33

A、ab B、ab C、ab D、ab

2、用提提公因式法分解因式5a(x－y)－10b·(x－y)，提出的公因式应当为（ ）

A、5a－10b B、5a＋10b C 、5(x－y) D、y－x

32

3、把－8m＋12m＋4m分解因式，结果是（ ）

22

A、－4m(2m－3m) B、－4m(2m＋3m－1)

22

C、－4m(2m－3m－1) D、－2m(4m－6m＋2)

42

4、把多项式－2x－4x分解因式，其结果是（ ）

42422222

A、2(－x－2x) B、－2(x＋2x) C、－x(2x＋4) D、 －2x(x＋2)

19981999

5、（－2）＋（－2）等于（ ）

1998 1998 1999 1999

A、－2B、2C、－2D、2

4

6、把16－x分解因式，其结果是（ ）

422

A、(2－x) B、(4＋x)( 4－x)

22

C、(4＋x)(2＋x)(2－x) D、(2＋x)(2－x)

4224

7、把a－2ab＋b分解因式，结果是（ ）

2224222422

A、a(a－2b)＋b B、(a－b) C、(a－b) D、(a＋b)(a－b)

23

1

分解因式，其结果是（ ） 2

12121212

A、(2x－) B、2(x－) C、(x－) D、 (x－1)

2222

8、把多项式2x－2x＋

2

2

9、若9a＋6(k－3)a＋1是完全平方式，则 k的值是（ ） A、±4 B、±2 C、3 D、4或2

10、－（2x－y）(2x＋y)是下列哪个多项式分解因式的结果（ ）

22 22 22 22

A、4x－y B、4x＋y C、－4x－y D、－4x＋y

2

11、多项式x＋3x－54分解因式为（ ） A、(x＋6)(x－9) B、(x－6)(x＋9) C、(x＋6)(x＋9) D、 (x－6)(x－9)

二、填空题

2

1、2x－4xy－2x = _______(x－2y－1)

3223 22

2、4ab－10ab= 2ab(________)

3、(1－a)mn＋a－1=(________)(mn－1)

22

4、m(m－n)－(n－m) =(__________)(__________)

222

5、x－(_______)＋16y=( )

22

6、x－(_______)=(x＋5y)( x－5y)

22

7、a－4(a－b)=(__________)·(__________)

8、a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)= (x＋y－z)·(________)

22

9、16(x－y)－9(x＋y)=(_________)·(___________)

3

10、(a＋b)－(a＋b)=(a＋b)·(___________)·(__________)

2

11、x＋3x＋2=(___________)(__________)

2

12、已知x＋px＋12=(x－2)(x－6)，则p=_______.

三、解答题

1、把下列各式因式分解。

(1)x－2x (2)3y－6y＋3y 2332

(3)a2(x－2a)2－a(x－2a)2 (4)(x

(5)25m2－10mn＋n2 (6)12a

(7)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x) (8)a

(9)x2－11x＋24 (10)y

(11)x2＋4x－5 (12)y

－2)2

－x＋2 2

b(x－y)－4ab(y－x) 2

＋5a＋6 2

－12y－28 4－3y3－28y2

2、用简便方法计算。

（1）9992＋999 （2）2022－542

＋256×352 (3)1997

19972

19961998

3、已知：x＋y=

12

,xy=1.求x3y＋2x2y2＋xy3

的值。

四、探究创新乐园 1、 若a－b=2,a－c=

12,求(b－c)2

＋3(b－c)＋94

的值。

2、 求证：1111－1110－119=119

×109

经典五：

因式分解练习题

一、填空题：

2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；

12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______；

15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式． 二、选择题：

1．下列各式的因式分解结果中，正确的是

[ ]

A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1) C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c) 2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于

[ ]

A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是

[ ]

A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1 C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D．x2－7x－8=x(x－7)－8

4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是

[ ]

A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2 5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是

[ ]

A．－12 B．±24 C．12 D．±12 6．把多项式an+4－an+1分解得

[ ]

A．an(a4－a) B．an-1(a3－1)

C．an+1(a－1)(a2－a＋1) D．an+1(a－1)(a2＋a＋1)

7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为

[ ]

A．8 B．7

C．10 D．12 8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为

[ ]

A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3

C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3 9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得

[ ]

A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2) C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2 10．把x2－7x－60分解因式，得

[ ]

A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12) C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12) 11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得

[ ]

A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2)

C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y)

12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得

[ ]

A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b)

C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b)

13．把x4－3x2＋2分解因式，得

[ ]

A．(x2－2)(x2－1) B．(x2－2)(x＋1)(x－1)

C．(x2＋2)(x2＋1) D．(x2＋2)(x＋1)(x－1)

14．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为

[ ]

A．－(x＋a)(x＋b) B．(x－a)(x＋b)

C．(x－a)(x－b) D．(x＋a)(x＋b)

15．一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1，常数项是－12，且能分解因式，这样的二次三项式是

[ ]

A．x2－11x－12或x2＋11x－12 B．x2－x－12或x2＋x－12 C．x2－4x－12或x2＋4x－12

D．以上都可以

16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，(x2＋3x)2－(2x＋1)2中，不含有(x－1)因式的有

[ ]

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为

[ ]

A．(x－6y＋3)(x－6x－3) B．－(x－6y＋3)(x－6y－3) C．－(x－6y＋3)(x＋6y－3) D．－(x－6y＋3)(x－6y＋3) 18．下列因式分解错误的是

[ ]

A．a2－bc＋ac－ab=(a－b)(a＋c) B．ab－5a＋3b－15=(b－5)(a＋3) C．x2＋3xy－2x－6y=(x＋3y)(x－2) D．x2－6xy－1＋9y2=(x＋3y＋1)(x＋3y－1)

19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不为零，则a与b的关系为

[ ]

A．互为倒数或互为负倒数 B．互为相反数

C．相等的数 D．任意有理数

20．对x4＋4进行因式分解，所得的正确结论是

[ ]

A．不能分解因式 B．有因式x2＋2x＋2

C．(xy＋2)(xy－8) D．(xy－2)(xy－8)

21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为

[ ]

A．(a2＋b2＋ab)2 B．(a2＋b2＋ab)(a2＋b2－ab)

C．(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab) D．(a2＋b2－ab)2 22．－(3x－1)(x＋2y)是下列哪个多项式的分解结果

[ ]

A．3x2＋6xy－x－2y B．3x2－6xy＋x－2y

C．x＋2y＋3x2＋6xy D．x＋2y－3x2－6xy 23．64a8－b2因式分解为

[ ]

A．(64a4－b)(a4＋b) B．(16a2－b)(4a2＋b)

C．(8a4－b)(8a4＋b) D．(8a2－b)(8a4＋b)

24．9(x－y)2＋12(x2－y2)＋4(x＋y)2因式分解为

[ ]

A．(5x－y)2 B．(5x＋y)2 C．(3x－2y)(3x＋2y) D．(5x－2y)2 25．(2y－3x)2－2(3x－2y)＋1因式分解为

[ A．(3x－2y－1)2 B．(3x＋2y＋1)2 C．(3x－2y＋1)2 D．(2y－3x－1)2 26．把(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式为

[ A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2 C．(3b－a)2 D．(3a＋b)2 27．把a2(b＋c)2－2ab(a－c)(b＋c)＋b2(a－c)2分解因式为

[ A．c(a＋b)2 B．c(a－b)2 C．c2(a＋b)2 D．c2(a－b) 28．若4xy－4x2－y2－k有一个因式为(1－2x＋y)，则k的值为[ ]

]

]

]

A．0 B．1 C．－1 D．4 29．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y，正确的是

[ ]

A．－(a2＋b2)(3x＋4y) B．(a－b)(a＋b)(3x＋4y)

C．(a2＋b2)(3x－4y) D．(a－b)(a＋b)(3x－4y)

30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2，正确的是

[ ]

A．2(a＋b－2c) B．2(a＋b＋c)(a＋b－c)

C．(2a＋b＋4c)(2a＋b－4c) D．2(a＋b＋2c)(a＋b－2c)

三、因式分解： 1．m2(p－q)－p＋q； 2．a(ab＋bc＋ac)－abc； 3．x4－2y4－2x3y＋xy3；

4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2； 5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)； 6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1； 7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2；

8．x2－4ax＋8ab－4b2；

9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)； 10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2； 11．(x＋1)2－9(x－1)2； 12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2； 13．ab2－ac2＋4ac－4a； 14．x3n＋y3n； 15．(x＋y)3＋125； 16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3； 17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)； 18．8(x＋y)3＋1；

19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3； 20．x2＋4xy＋3y2； 21．x2＋18x－144； 22．x4＋2x2－8； 23．－m4＋18m2－17； 24．x5－2x3－8x； 25．x8＋19x5－216x2；

26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24； 27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2；

28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2； 29．x2＋y2－x2y2－4xy－1； 30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48； 31．x2－y2－x－y；

32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b； 33．m4＋m2＋1； 34．a2－b2＋2ac＋c2； 35．a3－ab2＋a－b； 36．625b4－(a－b)4； 37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2； 38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35； 39．m2－a2＋4ab－4b2； 40．5m－5n－m2＋2mn－n2． 四、证明(求值)：

1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．

2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数． 3．证明：(ac－bd)＋(bc＋ad)=(a＋b)(c＋d)．

4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac的值．

5．若x＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)的值．

2

2

2

2

2

2

2

2

6．当a为何值时，多项式x＋7xy＋ay－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式的乘积．

7．若x，y为任意有理数，比较6xy与x＋9y的大小． 8．两个连续偶数的平方差是4的倍数．

2

2

22