[空间向量的数乘运算]教案
第二课时3.1.2空间向量的数乘运算(二)
教学要求:了解共线或平行向量的概念,掌握表示方法;理解共线向量定理及其推论;掌握空间直线的向量参数方程;会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题.
教学重点:空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式.
教学过程:
一、复习引入
1. 回顾平面向量向量知识:平行向量或共线向量?怎样判定向量b 与非零向量a 是否共线?
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上,所以平行向量也叫做共线向量.
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使b =λa . 称平面向量共线定理,
二、新课讲授
1. 定义:与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些
a a 向量叫做共线向量或平行向量.平行于b 记作//b .
2.关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论:
共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0),a //b 的充要条件是存在实数λ,使a =λb .
理解:⑴上述定理包含两个方面:
a a ①性质定理:若∥b (≠0),则有b =λa ,其中λ是唯一确定的实数。
②判断定理:若存在唯一实数λ,使b =λa (a ≠0),则有a ∥b (若用此结论判断a 、b
所在直线平行,还需a (或b )上有一点不在b (或a )上).
⑵对于确定的λ和a ,b =λa 表示空间与a 平行或共线,长度为 |λa |,当λ>0时与a 同向,
当λ
3. 推论:如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线,那么对于任意一点O ,点P
在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP =OA +t a .
其中向量a 叫做直线l 的方向向量.
推论证明如下:
∵ l //a ,
∴ 对于l 上任意一点P ,存在唯一的实数t ,使得AP =t a .(*)
又∵ 对于空间任意一点O ,有AP =OP -OA ,
∴ OP -OA =t a , OP =OA +t a . ①
若在l 上取AB =a ,则有OP =OA +t AB .(**)
又∵ A B =O B -O A
∴ OP =OA +t (OB -OA ) =(1-t ) O A +t O .B ②
当t =时,OP =(OA +OB ) .③
理解:⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式,③式是线段的中点公式.事实上,表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础,也是直线参数方程的表达形式.
⑵ 表达式①和②三角形法则得出的,可以据此记忆这两个公式.
⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定.
空间向量共线(平行)的定义、共线向量定理与平面向量完全相同,
是平面向量相关知识的推广.
4. 出示例1:用向量方法证明顺次连接空间四边形四边中点的四边形是
平行四边形. ( 分析:如何用向量方法来证明?)
OD . 12 1 25. 出示例2:如图O 是空间任意一点,C 、D 是线段AB 的三等分点,分别用OA 、OB 表示OC 、
三、巩固练习:
第三课时3.1.2空间向量的数乘运算(三)
教学要求:了解向量与平面平行、共面向量的意义,掌握向量与平面平行的表示方法;理解共面向量定理及其推论;掌握点在已知平面内的充要条件;会用上述知识解决立几中有关的简单问题.
教学重点:点在已知平面内的充要条件.
教学难点:对点在已知平面内的充要条件的理解与运用.
教学过程:
一、复习引入
1. 空间向量的有关知识——共线或平行向量的概念、共线向量定理及其推论以及空间直线的向量表示式、中点公式.
2. 必修④《平面向量》,平面向量的一个重要定理——平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量,那么对这一平面内的任意一个向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2. 其中不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
二、新课讲授
1. 定义:如果表示空间向量a 的有向线段所在直线与已知平面α平行或在平面α内,则称向量a 平行于平面α,记作a //α.
向量与平面平行,向量所在的直线可以在平面内,而直线与平面平行时两者是没有公共点的.
2. 定义:平行于同一平面的向量叫做共面向量.共面向量不一定是
在同一平面内的,但可以平移到同一平面内.
3. 讨论:空间中任意三个向量一定是共面向量吗?请举例说明.
结论:空间中的任意三个向量不一定是共面向量.例如:对于空
间四边形ABCD ,AB 、AC 、AD 这三个向量就不是共面向量.
4. 讨论:空间三个向量具备怎样的条件时才是共面向量呢?
5. 得出共面向量定理:如果两个向量a 、b 不共线,则向量p 与向
量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x ,y ,使得 p = x a+y b .
证明:必要性:由已知,两个向量a 、b 不共线.
∵ 向量p 与向量a 、b 共面
∴ 由平面向量基本定理得:存在一对有序实数对x ,y ,使得 p = x a+y b .
充分性:如图,
∵ x a ,y b 分别与a 、b 共线,
∴ x a ,y b 都在a 、b 确定的平面内.
又∵ x a+y b 是以|x a |、|y b |为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量,并且此平行四边形在a 、b 确定的平面内,
∴ p = x a+y b 在a 、b 确定的平面内,即向量p 与向量a 、b 共面.
说明:当p 、a 、b 都是非零向量时,共面向量定理实际上也是p 、a 、b 所在的三条直线共面的充要条件,但用于判定时,还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内.
6. 共面向量定理的推论是:空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x ,y ,使得MP =xMA +yMB ,① 或对于空间任意一定点O ,有 O P =O M +x M +A y .②M
分析:⑴推论中的x 、y 是唯一的一对有序实数; ⑵由OP =OM +xMA +yMB 得:
OP =OM +x (OA -OM ) +y (OB -OM ) , ∴OP =(1-x -y ) OM +xOA +yOB ③ 公式①②③都是P 、M 、A 、B 四点共面的充要条件.
7. 例题:课本例1 ,解略. → 小结:向量方法证明四点共面
三、巩固练习
1. 练习:课本 练习3题.
2. 作业:课本 练习2题.