函数专题五--抽象函数
数学学习就如星空旅行:知识是点(出发点和目标点),方法是(航)线;只有掌握知识点,方法才有意义。——星空学习
函数专题五——抽象函数
抽象函数指的是没有给出具体函数表达式的函数。在习题中一般只给出函数的局部性质,在处理时往往从两个方面进行考虑:一、最基本的代数知识(定义、性质等);二、作函数示意图。
一、基础部分 (一)、定义域
1、若函数y =f (x ) 的定义域是[-2,2],则函数y =f (x +1) +f (x -1) 的定义域为 ____________。 2、已知函数f (log3x ) 的定义域为[3,11],求函数f (x ) 的定义域________________。
小结:
(x ) 同练:
12
(二)1求f (6) ,f
小结:练:
1、设函数f (x ) 对任意x 1、x 2都有f (x 1+x 2) =f (x 1) ⋅f (x 2) ,已知f (1) =2,求f () 、f () 。
f (y ) ,1214
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(三)、解析式
1、(1)已知f (log2x ) =x ,求f () ;
1
2
11
) =x 2+2,求f (x ) ; x x
(3)已知f (x +1) =x +2x ,求f (x ) ;
1
(4)已知f (x ) 满足2f (x ) +f () =3x ,求f (x ) 。
x
(2)已知f (x +
2、设f (x ) 是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且f (x +2) =f (x ) ,3]时,f (x ) =-2(x -3) +4,求x ∈[1,2]时,f (x ) 的解析式。
小结:①、求解析式注意替换思想;②、求不同区间上的解析式关键在于转换区间;③、赋值法运用时一定要对比条件式和所求式。
练:
1、若f (x +1) =x ,则f 。 2、若f (sinx ) =3-cos ,则f (x ) 。 3、若f (cosx ) =cos 2x ,则f (sin30︒) =_____________。 (四)
1、设f R 0时,f (x ) >0,且对于任意实数x 、y ,有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ,求证:f (x ) 在R
2、定义在(0,+∞) 上的函数f (x ) 对任意的正实数x 、y 有f () =f (x ) -f (y ) ,且当0
2
2
x y
f (x )
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(1) 求f (1) 的值; (2)若f (6) =1,解不等式f (x +3) -f ()
小结:1、单调性证明必须用定义(后期也可用导数),避免用图象法、复合函数法、四则运算法等;2、定义法的关键在于得到结构f (x 1) -f (x 2) 。
2、含“f ”不等式一般用单调性或图象求解。 练:
1、设函数f (x ) 对任意实数x 、y ,都有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ,若x >0时f (x )
2、函数f (x ) 对于x>0有意义,且满足条件=1, f (xy ) (x ) +f (y f (x ) 是减函数。 (1)证明:f (1) =0; (2)若f (x ) +f (x -3) ≥成立,求x
(五)、奇偶性
1、函数y =f (x +1) x ) 的图象关于____________对称。 2、已知函数y f (x )
1
x
(x ∈R ,且0) ,对任意不等于零的实数x 、y ,都有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ,
试判断函数f )
3、若奇函数f (x ) 在x ∈(-∞, 0) 上单调递减,且f (2) =0,则(x -1) f (x +1) >0的解集为( ) A .(-2, -1) ⋃(1, 2)
B .(-3, 1) ⋃(2, +∞)
C .(-3, -1)
D .(-2, 0) ⋃(2, +∞)
1
f (2x -1)
3
小结:①、函数奇偶性的判定或证明主要还是靠定义;②、抽象函数中奇偶性与单调性是比较常见的组合。 练:
1、已知定义在[-2, 2]上的偶函数f (x ) 在区间[0, 2]上单调递减,若f (1-m )
2、函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数,且f (
11
+x ) =f (-x ) ,则f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5) =______。 22
小结:①、证明周期函数只能用定义;②、两种对称性会产生周期性。
练:
1、函数y =f (x ) 满足f (x +3) =-
1
) =______________。 ,且f (2) =1,则f (2015
f (x )
2、 已知定义在R 上的奇函数f (x)满足f (x+2) = –f (x),则f (6)的值为( )
A . –1 B .0 C.1 D. 2
3、设f (x ) 是定义在R 上的奇函数,f (x +2) =-f (x ) ,当0≤x ≤1时,f (x ) =x ,则f (7. 5) = _______。 二、综合应用:比大小、解不等式、求值域等。
1、定义在R 上的函数y =f (x ) ,f (0) ≠0,当x >0时,f (x ) >1,且对任意的x 、y ∈R ,有f (x +y ) = (1)求证:f (0) =1; (2)求证:对任意的x ∈R ,恒有f (x ) >0; f (x ) ⋅f (y ) 。
(3
2、设(1(2
3、⋅f (y ) ,
f (1) =2
练:
1、如果f (x ) =ax +bx +c (a>0)对任意的t 有f (2+t ) =f (2-t ) , 比较f (1) 、f (2) 、f (4) 的大小。
2、已知y =f (2x +1) 是偶函数,则函数y =f (2x ) 的图象的对称轴是( )
2
A.x=1 B .x=2
C .x=-
1
2
D .x=
1 2
3、已知f (x +y ) +f (x -y ) =2f (x ) f (y ) ,对一切实数x 、y 都成立,且f (0) ≠0, 求证f (x ) 为偶函数。
4、已知f (x ) 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的函数a,b 都满足f (ab ) =af (b ) +bf (a ) 。 (1)求f (0) ,f (1) 的值; (2)判断f (x ) 的奇偶性, 并证明你的结论;
5
求实数a
6、设f (x ) (2)若f (
7、已知f ((1)(2
8、已知函数f (x ) 对任意实数x ,y ,均有f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ,且当x >0时,f (x ) >0,f (-1) =-2, 求f (x ) 在区间[-2,1]上的值域。
0。
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9、已知函数f (x ) 对任意x 、y ∈R ,满足条件f (x ) +f (y ) =2+f (x +y ) ,且当x >0时,f (x ) >2,f (3) =5,求不等式f (a 2-2a -2)
10、已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数,f (x ) =f (4-x ) ∈[-2, 0]) =-1,则当x ∈[4, 6]时求f (x ) 的解析式。
参考答案: 一、基础部分: (一)定义域
1、[-1, 1]; 2、[1, log 311]; 练:
1、⎨⎬; 2、(-∞, 0];
1、f (6)练: 1、f ⎧1⎫⎩2⎭
⎛1⎝21、⑴f 2、f (x 练:
1、f (x 1, ∴f (x 12、⑴f 练:
1、f (x 1、x =1; 2、奇函数; 3、C ; 4、练: 1、-1≤m
12
1
; 2
2、⑴令x =y =0,则f (0)+f (0)=2f (0)f (0),∴f (0)=1或f (0)=0(舍);
⑵令x =0,y =x ,则f (x )+f (-x )=2f (0)f (x ),∴f (-x )=f (x ),∴f (x )是偶函数。 (六)周期性和对称性
1、证明:∵f (x )的图象对于x =1对称,∴f (x +2)=f (-x ),∵f (x )是偶函数,∴f (-x )=f (x ), ∴f (x +2)=f (x ),∴f (x )是周期函数。 2、0; 练:
1、-1; 2、B ; 3、-0. 5; 二、综合应用:
1
∵x 1>⑷0
1、f (4)>f 3令x =0,4、⑴f (0)⑵f (x )令a =-1,b =x ,则f (-x )=-f (x )+xf (-1)=-f (x ),∴f (x )是奇函数。
5、-2≤a ≤
1- 2
6、⑴f (1)=0; ⑵8
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证明:任取a 、b ∈[-1, 1],且a
f (a )-f (b )f (a )+f (-b )>0,∴f (a )0,即:
a -b a +-b 3
≤x
8、f (x )∈[-4, 2] 9、-1
x ∈[4, 6]