余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理
余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。该图中,a与b应互换位置
对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质 a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc 证明:
∵如图,有a→+b→=c→ ∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) 整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意:这里用到了三角函数公式)
再拆开,得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
同理可证其他,而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 平面几何证法: 在任意△ABC中 做AD⊥BC.
∠C所对的边为c,∠B所对的边为b,∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得: AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角。即,利用余弦定理,可以判断三角形形状。同时,还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。
注:a^2;b^2;c^2就是a的2次方、b的2次方、c的2次方;a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。
特殊角0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°的正切值、正弦值、余弦值各为多少?
0度正弦值0,余弦值1,正切值0。
30度正弦值1/2,余弦值根3/2,正切值根3/3。 45度正弦值根2/2,余弦值根2/2,正切值1。 60度正弦值根3/2,余弦值1/2,正切值根3。 90度正弦值1,余弦值0,正切值不存在。 120度正弦值根3/2,余弦值-1/2,正切值-根3。 135度正弦值根2/2,余弦值-根2/2,正切值-1。 150度正弦值1/2,余弦值-根3/2,正切值-根3/3。180度正弦值0,余弦值-1,正切值0。 270度正弦值-1,余弦值0,正切值不存在。 360度正弦值余弦值正切值同0度
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
正余弦定理解三角形
二. 重点、难点:
已知三角形三边长及三个角,求其余相关的量。 (1)高线(面积)
(2)中线(余弦定理)
(3)角分线(余弦定理或正弦定理) (4)面积(公式) (5)周长
(6)外接圆半径(正弦定理) (7)内切圆半径(面积)
【典型例题】
[例1] 已知△ABC中,a7,b5,c3 求(1)角A;(2)高AH;(3)中线AD;AE;(5)外接圆半径;(6)内切圆半径。
b2c2解:(1)
cosAa21
2bc
2 (2)
S
12bcsinA4
AH
2S3(3)a14
AC2AD2CD22ADCDcos
AB2AD2BD22ADBDcos() AB2AC22AD22BD2
AD
2
ACCE35ABCEBE8
(4)
CEBE721BE8 cosC
13
14
AE225(
352358)25132258148
2
4)角平分线(
∴
AE
158
(5)(6)
Rr
a73
2sinA3 S1
(abc)2
2
[例2] △ ABC中,2BAC,b7,a8,求内切圆半径。
2BAC
解:ABC180B60 b2a2c22accosB c28c150 c13 c25
(1)c3
r
S
1
(abc)2
(2)c5 r
S
1
(abc)2
1
acsinB
23
93
1
acsinB3
10
[例3] △ABC中,a4,bc5,
tanAtanBtan60tanAtanBtan60,求S。
tanAtanBtan60(tanAtanB1)
tan(AB)
tan603 1tanAtanB1tanAtanB解:
∴
AB120 ∴ C60
7
cbc5222
c16b4bb3
2 S
13absinC22
[例4] △ABC中,a2a2b2c,a2b2c3,求△ABC的最
大角。
解:2c2ba30 ∴ cb a2a2b2c2c3a2c
∴ a24c3 ∴ a2a2ba2b3
∴ a22a34b ∴ 4b(a1)(a3)0 ∴
ca
121
(a3)a(a1)(a3)044
a3
∴ ca
a2b2c2a2(bc)(bc)
cosC
12ab
2a(a1)(a3)
4
11
a2(a2a)(a3)
a(a1)(a3)1
12a(a1)(a3)2a(a1)(a3)
2
∴ C120
[例5] 在△ABC
cos2Acos2B11
b2a2b2中,求证:a2
cos2Acos2B12sin2A12sin2B
222
证明:a bab211sin2Asin2B
222(2)2
ab ab sin2Asin2B
2
由正弦定理得ab2
∴
cos2Acos2B11
a2b2a2b2
[例6] 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a,b,c,若a4,b5,S5,求c的长度。 解:∵ ∴ 于是C60或C120 又∵ c2a2b22abcosC
当C60时,c2a2b2ab,c当C120时,c2a2b2ab,c∴ c的长度为21或
S
1
absinC2
sinC
2
21; 61
[例7] (06年辽宁卷)△ABC的三内角A、B、C所对边的
a,b,cp(ac,b)q(ba,ca)p长分别为,设向量,,若//q,则
角C的大小为( )
A. B. C. D.
解:∵ p//q ∴ (ac)(ca)b(ba)0 即a2b2c2ab
a2b2c2ab1
cosC
2ab2ab2 根据余弦定理,得
6 3 2
23
∵
0C
∴
C
3
所以选B
[例8] 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a,b,c
(1)若三角形的面积
S
12
(ab2c2)4,求∠C
的度数;
(2)若b2ac,且a2c2acbc,求∠A
值。
解:(1)由
S
bsinB
的大小及c的
1211(ab2c2)absinC2abcosC44,得2 C
b2c2a2bc
4 ∴ tanC1,得
(2)∵ b2ac 又a2c2acbc ∴
在△ABC
∴ ∠A=60° 在△ABC∴
b2c2a2bc1
cosA
2bc2bc2 中,由余弦定理得
11
bcsinAacsinB
2中,由面积公式得2
bsinBsinA
bcsinAb2sinB,则c2
[例9] △ABC的三边为a,b,c,设
Sp(pa)(pb)(pc)。
S
p
1
(abc)2,求证:
证明:
11
absinCabcos2C22
1
ab1cosC)(1cosC)2
1a2b2c2a2b2c2ab(1)(1)22ab2ab 11222222ab(2ababc)(2ababc)22=24ab
1
ab)2c2][c2(ab)2]4 1(abc)(abc)(cab)(cab)4 abcabccabcab
2222
【模拟试题】(答题时间:60分钟) 1. 在△ABC中,a2,b22,B=45°,则A等于( ) A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
2. 在△ABC中,若acosAbcosB,则△ABC的形状是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
3. △ABC中,sinA:sinB:sinC3:2:4,那么cosC( ) A. B. C. D.
4. 在△ABC中,由已知条件解三角形,其中有两解的是( )
A. b20,A=45°,C=80° B. a30,c28,B=60° C. a14,b16,A=45° D. a12,c15,A=120°
5. 在△ABC中,已知a2,b3,C=120°,则sinA的值为( )
A. B. C. D.
6. 在△ABC中,B=135°,C=15°,a5,则此三角形的最大边长为 。
b6,7. △ABC中,如果a6,A=30°,边c。
3
38
217
19
3
14
23
23
14
p(pa)(pb)(pc)
8. 在△ABC中,化简bcosCccosB( )
A. a B. C. D. 9. 在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( ) A.
400
m3
bc
2 ac2 ab2
B.
3
m3
C.
200
m3
D.
3
m3
10. 已知三角形的三边长分别为a、b、a2abb2,则三
角形的最大内角是( )
A. 135° B. 120° C. 60° D. 90°
11. (06年山东卷)在△ABC中,角A、B、C的对边分
3,a,b1,则c( ) 别为a,b,c,
A. 1 B. 2 C. 1 D. 3
12. 三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程5x27x60的根,则另一边长为( ) A. 52 B. 16 C. 4 D. 2
13. (06年江苏卷,文11)在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则。
14. (06年北京卷,理12)在△ABC中,若sinA:sinB:sinC5:7:8,则∠B的大小是
15. 在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,且
A
tanB2ac
tanCc,a2b2c22ab,(1)求cosBb
cosC2ac
C;(2)求A。 16. 在△ABC中,a,b,c分别是A、B、C的对边,且(1)求角B的大小;(2)若b,ac4,求a的值; 17. (06年全国卷II,文17)在△ABC中,∠B=45°,
,求:(1)BC=?(2)若点D是AB的
中点,求中线CD的长度。
AC,
cosC
25
【试题答案】
1. D 2. D 3. D 4. C 5. C 6. 52 或12 8. A
9. A 10. B 11. B 12. D 13. 46 14. 60 15. 解:(1)∵ a2b2c22ab
∴
a2b2c22
2ab2
7. 6
∴
cosC
2
2
∴ C=45°
tanB2ac2sinAsinC
csinC(2)由正弦定理可得tanC
∴
sinBcosC2sinAsinC
cosBsinCsinC
sinBcosC2sinAcosBsinCcosB sinBcosCsinCcosB2sinAcosB
∴ sin(BC)2sinAcosB ∴ sinA2sinAcosB
∵ sinA0 ∴
∴ B=60° A180456075 16.
即:2sinAcosBsinCcosBcosCsinB0 ∴ 2sinAcosBsin(BC)0
而sin(BC)sinA ∴ 2sinAcosBsinA0 又sinA0 ∴ 而0B ∴
cosBB
23
12
cosB
12
cosBbcosBsinB
2sinAsinC解:(1)由cosC2ac,得cosC
13a2c22accos
2
3
(2)利用余弦定理可得
13a2c2ac
则ac4
解得a1或a3
25
17. 解:(1)由
cosC
,得
sinC
5
,
sinAsin(18045C)
23(cosCsinC)210
BC根据正弦定理,得sinAsin45,解得BC33210 sin45
525sin45 AB(2)根据正弦定理,得sinCsin45
BD1AB12 ,解得AB∴
根据余弦定理,得CD2BD2BC22BDBCcosB 所以CD 12(3)2212cos4513