(1)一次函数
一次函数知识点总结
1、函数基本概念
(1)函数三要素:
函数的图像
函数解析式描点法画函数图形的一般步骤
2、正比例函数及性质
(1) 解析式: (2) 必过点: (3) 走向、增减性 (4) 斜度
例题:1、正比例函数y =(3m +5) x ,当m 时,y 随x 的增大而增大. 2、函数y =(k -1) x ,y 随x 增大而减小,则k 的范围是 ( ) A. k 1 C. k ≤1 D. k
3、平行四边形相邻的两边长为x 、y ,周长是30,则y 与x 的函数关系式是.
3、一次函数及性质
(1)解析式: (2)必过点: (3)走向、增减性 (4)倾斜度: (6)图像的平移:
例题:1、若关于x 的函数y =(n +1) x
m -1
是一次函数,则m ,n .
2、函数y =ax +b 与y =bx +a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是( )
3、将直线y =3x 向下平移5个单位,得到直线y =-x -5向上平移5个单位,得到直线 .
4、若直线y =-x +a 和直线y =x +b 的交点坐标为(m , 8), 则a +b =____________.
4、一次函数y=kx+b 的图象的画法.
5、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx+b 的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b
6、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
(1)两直线平行: (2)两直线相交: (3)两直线重合:
7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤:
8、一元一次方程与一次函数的关系
9、一次函数与一元一次不等式的关系
10、一次函数与二元一次方程组
(1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=-图象相同.
(2)二元一次方程组⎨
a c x +的b b
⎧a 1x +b 1y =c 1a c
的解可以看作是两个一次函数y=-1x +1和
b 1b 1⎩a 2x +b 2y =c 2
y=-
a 2c
x +2的图象交点. b 2b 2
一次函数基本题型
题型一、点的坐标
方法: x 轴上的点纵坐标为0,y 轴上的点横坐标为0;
若两个点关于x 轴对称,则他们的横坐标相同,纵坐标互为相反数; 若两个点关于y 轴对称,则它们的纵坐标相同,横坐标互为相反数;
若两个点关于原点对称,则它们的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数; 小试牛刀:
1、 已知A (4,b ),B (a,-2),若A ,B 关于x 轴对称,则a=_______,b=_________;若A,B
关于y 轴对称,则a=_______,b=__________;若若A ,B 关于原点对称,则a=_______,b=_________;
2、 若点M (1-x,1-y )在第二象限,那么点N (1-x,y-1)关于原点的对称点在第______象限。
题型二、关于点的距离的问题
方法:点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示,点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示; 若AB ∥x 轴,则A (x A ,0), B (x B ,0) 的距离为x A -x B ; 若AB ∥y 轴,则A (0,y A ), B (0,y B ) 的距离为y A -y B ; 点A (x A , y
A ) 点A (x A , y A ) 与点 之间的距离为__________
小试牛刀:
1、 已知点P (3,0),Q(-2,0),则PQ=__________,已知点M 0, ⎪, N 0, -
⎛
⎝1⎫2⎭⎛⎝1⎫⎪, 则2⎭
MQ=________; E (2, -1), F (2, -8), 则EF 两点之间的距离是__________;已知点G (2,-3)、H (3,4),则G 、H 两点之间的距离是_________; 2、 两点(3,-4)、(5,a )间的距离是2,则a 的值为__________;
题型三、一次函数与正比例函数的识别
方法:若y=kx+b(k,b是常数,k ≠0) ,那么y 叫做x 的一次函数,特别的,当b=0时,一次
函数就成为y=kx(k是常数,k ≠0) ,这时,y 叫做x 的正比例函数,当k=0时,一次函数就成为若y=b,这时,y 叫做常函数。 ☆A 与B 成正比例 A=kB(k≠0)
小试牛刀:
1、当k_____________时,y =(k -3)x 2++2x -3是一次函数; 2、当m_____________时,y =(m -3)x 2m +1+4x -5是一次函数; 3、当m_____________时,y =(m -4)x 2m +1+4x -5是一次函数;
题型四、函数图像及其性质
方法:(先看
k 值,后看b 值, 以明确大致走向)
k(称为斜率) 表示直线y=kx+b(k≠0) 的倾斜程度;
b (称为截距)表示直线y=kx+b(k≠0)与y 轴交点的 ,也表示直线在y
轴上的 。
☆同一平面内,不重合的两直线 y=k1x+b1(k 1≠0)与 y=k2x+b2(k 2≠0)的位置关系: 当 时,两直线平行。 当 时,两直线垂直。
当 时,两直线相交。 当 时,两直线交于y 轴上同一点。 ☆特殊直线方程:
X 轴 : 直线 Y轴 : 直线 与X 轴平行的直线 与Y 轴平行的直线 一、 三象限角平分线 二、四象限角平分线 1、一次函数 y=(6-3m)x+(2n-4) 不经过第三象限,则m 、n 的范围是 。 2、已知一次函数
(1)当m 取何值时,y 随x 的增大而减小? (2)当m 取何值时,函数的图象过原点?
题型五、待定系数法求解析式
方法:依据两个独立的条件确定k,b 的值,即可求解出一次函数y=kx+b(k ≠0)的解析式。
☆ 已知是直线或一次函数可以设y=kx+b(k ≠0);
☆ 若点在直线上,则可以将点的坐标代入解析式构建方程。
小试牛刀:
1、直线y=kx+b的图像经过A (3,4)和点B (2,7),
2、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y (升)与行驶时间x (小时)之间的关系.求油箱里所剩油y (升)与行驶时间x (小时)之间的函数关系式,并且确定自变量x 的取值范围。
3、一次函数的图像与y=2x-5平行且与x 轴交于点(-2,0)求解析式。
题型六、平移
方法:直线y=kx+b与y 轴交点为(0,b ),直线平移则直线上的点(0,b )也会同样的平移,平移不改变斜率k ,则将平移后的点代入解析式求出b 即可。
直线y=kx+b向左平移2向上平移3 y=k(x+2)+b+3;(“左加右减,上加下减”)。
小试牛刀: 1、 直线y
1
x 向上平移1个单位,再向右平移1个单位得到直线 3
2、过点(2,-3)且平行于直线y=2x的直线是。 3、过点(2,-3)且平行于直线y=-3x+1的直线是___________.
4、把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位,可得到的图像表示的函数是____________;
5、直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的,而(2a,7)在直线n 上,则a=____________;
题型七、交点问题及直线围成的面积问题
方法:两直线交点坐标必满足两直线解析式,求交点就是联立两直线解析式求方程组的解;
复杂图形“外补内割”即:往外补成规则图形,或分割成规则图形(三角形); 往往选择坐标轴上的线段作为底,底所对的顶点的坐标确定高; 小试牛刀: 1、已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A (3,4),且OA=OB (1) 求两个函数的解析式;(2)求△AOB 的面积;
2、已知直线m 经过两点(1,6)、(-3,-2),它和x 轴、y 轴的交点式B 、A ,直线n 过点(2,-2),且与y 轴交点的纵坐标是-3,它和x 轴、y 轴的交点是D 、C ;
(1) 分别写出两条直线解析式,并画草图; (2) 计算四边形ABCD 的面积; (3) 若直线AB 与DC 交于点E ,求△BCE 的面积。
3、如图,A 、B 分别是x 轴上位于原点左右两侧的点,点P (2,p )在第一象限,直线PA 交y 轴于点C (0,2),直线PB 交y 轴于点D ,△AOP 的面积为6;
(4) 求△COP 的面积;
(5) 求点A 的坐标及p 的值;
(6) 若△BOP 与△DOP 的面积相等,求直线BD 的函数
解析式。
4、已知:经过点(-3,-2),它与x 轴,y 轴分别交于点B 、A ,直线经过点(2,-2),且与y 轴交于点C (0,-3),它与x 轴交于点D (1)求直线 (2)若直线与
的解析式; 交于点P ,求
的值。
直击考点
考点1:一次函数图像问题(经过的象限、判断k 或b 的范围)
1、若一次函数y =kx +b 的函数值y 随x 的增大而减小,且图象与y 轴的正半轴相交,那么对k 和b 的符号判断正确的是( ).
A .k >0,b >0 B .k >0,b 0 D .k
A B C D
图3
3、已知一次函数y =(a-1)x+b的图象如图4所示,那么a 的取值范围是( )
A.a >1
图4
B.a <1 C.a >0 D.a <0
a c
4. 若 ab>0,bc
b b A.第一象限 B.第一象限 C.第三象限 D.第四象限
5. 如下图,同一坐标系中,直线l 1: y=2x-3和l 2: y=-3x+2的图象大致可能是( )。
(A ). ( B ) ( C ) ( D )
6、一次函数y=kx+b 满足kb>0且y随x的增大而减小,则此函数的图象不经过( )
A 、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
7、若一次函数y=(3-k )x-k 的图象经过第二、三、四象限,则k 的取值范围是( )
A、k>3 B、0
1. 点A (3, y 1) 和点B (-2, y 2) 都在直线y =-2x +3上,则y 1和y 2的大小关系是( ) A. y 1 y 2 B. y 1 y 2 C. y 1=y 2 D.不能确定
2. A (x 1, y 1) 、B (x 1,y 2)是一次函数y=kx+2(k>0)图像上的不同的两点,若t=(x 1-x 2)(y 1-y 2) 则( )
A . t o D. x ≤1
3. 若正比例函数y=(1-2m)x 的图象经过点(x 1,y 1)和点(x 2,y 2),当x 1<x 2
时,y 1>y 2 ,则m 的取值范围是( ) 11 A、m0 C.m< D.m>
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4. 在函数 y=kx (k <0)的图象上有A (1,y 1)、B (-1,y )、C (-2,y )三个点,则下列各式中正确( )
A 、y 1<y 2<y 3 B 、y 1<y 3<y 2 C 、y 3<y 2<y 1 D 、y 2<y 3<y 1
5. 若一次函数y =mx +|m -4|的图象与y 轴的交点到原点的距离为8,且y 随x
的增大而增大,则m 的值为
A .12或-4
( ) B .4或-12
C .-4
D .12
6、已知点A(x1,y1) 和点B(x2,y2) 在同一条直线y=kx+b上,且k <0.若x1
>x2,则y1与y2的关系是( )
A 、y1>y2 B 、y1=y2 C 、y1<y2 D 、y1与y2的大小不确定
考点3:函数或图像上经过一点或交点的含义(带入方程(组)成立) 1. 若函数y =ax +2的图象与函数y =bx -3的图象交于x 轴上某一点,那么a :b
的值等于
A .-
2 3
B .
2 3
C .-
3 2
( ) D .
3 2
2. 点(-3,2),(a , a +1)在函数y =kx -1的图像上,则k =___,a =___ 3. 函数y =-x +m 2与y =4x -1的图像交于x 轴,则
4. 直线y =2x +b 与x 轴的交点坐标是(2,0),则关于x 的方程2x +b =0的解是
x =______
5. 直线y =kx -1一定经过点( ).
A .(1,0) B.(1,k) C
.(0,k) D.(0,-1)