大一微积分期末试卷及答案
微积分期末试卷
选择题(6×2)
1π
1.设f(x)=2cosx,g(x)=()sinx在区间(0)内( )。
22
Af(x)是增函数,g(x)是减函数Bf(x)是减函数,g(x)是增函数C二者都是增函数D二者都是减函数
2、x→0时,e2x-cosx与sinx相比是( )
A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小3、x=0是函数y=(1-sinx)的( )
A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )1nπ
A Xn=(-1)n- B Xn=sin
n211
C Xn=n(a>1) D Xn=cos
an
1
x
5、若f"(x)在X0处取得最大值,则必有( )Af'(X0)=o Bf'(X0)
Cf'(X0)=0且f''( X0)
A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线
1~6 DDBDBD
一、填空题
(1x)
1
1、( )=ddx
x+1
1
2、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y=相切。这条直线方程为:
x
x2
3、函数y=x的反函数及其定义域与值域分别是:
2+12
x+ax+b
5、若lim2=2,则a,b的值分别为:
x→1x+2x-3
1 Inx+1 ; 2 y=x3-2x2; 3 y=log2
x
,(0,1),R; 4(0,0) 1-x
(x-1)(x+m)x+m1+m
=lim==2x→1x+35解:原式=x→1(x-1)(x+3) 4
∴m=7 ∴b=-7,a=6
lim
二、判断题
1、 无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、 lim
sinx
在区间(-∞,+∞)是连续函数()
x→0x
3、 f"(x0)=0一定为f(x)的拐点()
4、 若f(X)在x0处取得极值,则必有f(x)在x0处连续不可导( ) 5、 设
函
数
f
(x)
在
[0,1]
上二阶可导且
f'(x)B>C( )
1~5 FFFFT
三、计算题
1
1用洛必达法则求极限limxex
x→0
2
1
1
exex(-2x-3)x=lim=lime=+∞ 解:原式=lim-3x→0x→0x→0-2x2x
2 若f(x)=(x+10),求f''(0) 解:
3
4
1
f'(x)=4(x3+10)3⋅3x2=12x2(x3+10)3
f''(x)=24x⋅(x3+10)3+12x2⋅3⋅(x3+10)2⋅3x2=24x⋅(x3+10)3+108x4(x3+10)2 ∴f''(x)=0
4
3
求极限lim(cosx)x
x→0
4
解:原式=limex
x→0
Incosx2
=ex→0
limxIncosx
4
1
(-sinx)
4Incosx-tanx-x lim2Incosx=lim=lim=lim=lim=-22x→0xx→0x→0x→0x→0xxxx
2224
∴原式=e-2
4 求y=(3x-
511
解:Iny=In3x-+Inx-1-Inx-2
322
1531111y'=⋅+⋅-⋅
y33x-12x-12x-2y'=(3x- 5
3tan⎰xdx
511⎤
+-⎥3x-12(x-1)2(x-2)⎦
解:原式=⎰tan2xtanxdx=⎰(sec2x-1)tanxdx =⎰sec2xtanxdx-⎰tanxdxsinx
=⎰tanxdtanx-⎰dx
cosx1
=⎰tanxdtanx-⎰dcosx
cosx
1
=tan2x+Incosx+c
2
6求⎰xarctanxdx
1122
解:原式=⎰arctanxd(x)=(xarctanx-⎰x2darctanx)
2212x2+1-1
=(xarctanx-⎰dx)2
21+x1⎡1⎤ =⎢x2arctanx-⎰(1-)dx2⎥2⎣1+x⎦1+x2x
=arctanx-+c
22
四、证明题。
1、 证明方程x+x-1=0有且仅有一正实根。 证明:设f(x)=x3+x-1
3
f(0)=-10,且f(x)在[0,1]上连续∴至少存在ξ∈(0,1),使得f'(ξ)=0
即f(x)在(0,1)内至少有一根,即f(x)=0在(0,+∞)内至少有一实根假设f(x)=0在(0,+∞)有两不同实根x1,x2,x2>x1 f(x)在[x2,x2]上连续,在(x2,x2)内可导且f(x1)=f(x2)=0
∴至少∃ξ∈(x2,x2),s⋅tf(ξ)=0而f'(ξ)=3ξ2+1≥1与假设相矛盾∴方程x3+x-1=0有且只有一个正实根
)
2、证明arcsinx+arccosx=-1≤x≤1
2
π
证明:设f(x)=arcsinx+arccosx
f'(x)==0,x∈[-1,1]∴f(x)=c=f(0)=arcsin0+arccos0=f(1)=arcsin1+arccos1=
π
2
π
2
f(-1)=arcsin(-1)+arccos(-1)=
π
2
∴综上所述,f(x)=arcsinx+arccosx=
π
2
,x∈[-1,1]
五、应用题
1、 描绘下列函数的图形
1 x
解:1.Dy=(-∞,0)⋃(0,+∞)y=x2+
12x3-1
2.y'=2x-2=
xx2令y'=0得x=y''=2+
2x3
令y''=0,得x=-1
3.
4.补充点(-2,).(-,-).(1,2).(2,) 5limf(x)=∞,∴f(x)有铅直渐近线x=0
x→0
72127292
6如图所示:
2.讨论函数f(x)=x2-Inx2的单调区间并求极值
解:Df(x)=R
22(x-1)(x+1)=(x≠0) xx
令f'(x)=0,得
x1=-1,x2=1f'(x)=2x-
由上表可知f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(0,1) 单调递增区间为(-1,0)和(, 1+∞)且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1