二元一次方程[解法]
一元二次方程基本解法,“降次”化为两个一元一次
有4种解法:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。
1、直接开平方法:直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程,其解为x=m±√n.
例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11
分析:一、此方程显然用直接开平方法好做,
二、左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以也可用直接开平方法解。
(1)解:(3x+1)2=7 ∵(3x+1)2=7 ∴3x+1=±√7 (注意不要丢解) ∴x=(﹣1±√7﹚/3 ∴原方程的解为x1=﹙√7﹣1﹚/3,x2=(﹣√7-1﹚/3
2 (2)解: 9x-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=±√11 ∴x=(4±√11)/3
∴原方程的解为x1=﹙4﹢√11﹚/3 , x2=(4﹣√11﹚/3
222.配方法:用配方法解方程ax+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边:ax+bx=-c
将二次项系数化为1:x2+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:
x2+b/ax+( b/2a)2=- c/a+( b/2a)2; 方程左边成为一个完全平方式:(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚² 当△=b²-4ac≥0时,x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚² ∴x={﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a (这就是求根公式)
例2.用配方法解方程 3x²-4x-2=0
解:将常数项移到方程右边 3x²-4x=2 将二次项系数化为1:x²-﹙4/3﹚x= 2/3 方程两边都加上一次项系数一半的平方:x²-﹙4/3﹚x+( 2/3)²=2/3 +(2/3 )² 配方:
(x-2/3)²= 2/3 +(2/3 )² 直接开平方得:x-2/3=± √[2/3+(2/3 )² ] =± √10 /3 ∴x= 2/3± √10 /3 ∴原方程的解:x1=2/3﹢√10 /3 , x2=2/3﹣√10 /3 .
3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b²-4ac的值,当b²-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (△=b²-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3.用公式法解方程 2x²-8x=-5
解:将方程化为一般形式:2x²-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5
b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±√(b²-4ac)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2= .
4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4.用因式分解法解下列方程:
2(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x²+3x=0 (3) 6x²+5x-50=0 (选) (4)x-4x+4=0(选)
解(1):(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
解(2):2x2+3x=0→x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0,x2=-3/2是原方程的解。
注:做本题型时易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。
解(3):6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时特注意符号不要错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=5/2, x2=-10/3 是原方程的解。
解(4):x2-4x+4 =0 (∵4 可分解为2 x2 ,∴此题可用因式分解法) (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小结:一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(可称为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式△的值,以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(3种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。