与圆有关的最值(范围)问题

与圆有关的最值（范围）问题

圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结，希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径 例1 已知P 为直线y=x+1上任一点，Q 为圆C ：(x -3) 2+y 2=1上任一点，则PQ 的最小值为 . 【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．

Q ≥P r =解：如图1，圆心C 到直线

y=x+1的距离d =圆半径r =1，

故P

变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C (x -3) 2+y 2=1上任一点，则S V QAB 的最小值为 . 【分析】本题要求S V QAB 的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q 到l AB 的最小值”，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解：如图2，设h Q 为Q 到l AB 的距离，

则S V QAB =

1

AB ⋅h Q =Q =1) =4 2

x

图1 图2

x

变题2：由直线y=x+1上一点向圆C ：(x -3) 2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点，构造直销三角形进行求解．因为

PA 2=PC 2-r 2，故即求PC 的最小值，即例1．

解：如图3，PA 2=PC 2-

r 2=PC 2-1，∵PC min =

PA min 变题3：已知P 为直线y=x+1上一动点，过P 作圆C ：(x -3) 2+y 2=1的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当∠APB 最大．

【分析】∠APB =∠APC ，故即求角∠APC 的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC 的最小值，即例1．

解：如图4，∵∠APB =∠APC ，sin ∠APC =

1

, ∵

PC min =∴PC =PC

∠APC 最大，即∠APB 最大．

图3 图4

变题4：已知P 为直线y=x+1上一动点，过P 作圆C ：(x -3) 2+y 2=1的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA 的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题．

解：如图4，S 四边形PACB =S ∆PAC +S ∆PAB =2S ∆PAB =2⨯

1

⋅

PA ⋅AC =PA ，由变式2可知，

2

PA min =PACB 【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用．另：和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点，构造直销三角形“进行求解．也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题”．如下例．

22

例2已知圆C ：x +y +2x -4y +3=0，从圆C 外一点P (x 1, y 1) 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO, 求使得PM 取得最小值的点P 坐标．

【分析】本题中，由于点P 和点M 均在动，故直接做很难求解．联系到PM 是切线段，因此可利用PM =PC -r 将条件PM=PO转化为只含有一个变量P 的式子即可求解．

解：由题意，令P (x , y ) ，∵PM 2=PC 2-2，∴PC 2-2=PO 2， 即(x +1) 2+(y -2) 2-2=x 2+y 2，化简得：2x -4y +3=0． ∵PM=PO，∴即求直线2x -4y +3=0到原点

O (0,0)的最小距离．

2

2

2

d =

=

PM 类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值

例3若实数x 、y 满足x 2+y 2+2x -4y =0，求x-2y 的最大值．

【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．

⎧⎪x =-1θ

(θ∈R ) ， 解：(x +1) +(y -2) =5，令⎨

⎪⎩y =2+θ

2

2

则x -2y =-5

θ-θ=5cos(θ+ϕ)

-5（其中cos ϕ=

）ϕ=

∴当cos(θ+ϕ) =1时，(x -2y ) max =5-5=0，故

x-2y 的最大值为0．

【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．

类型三：抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值

值．比如例2中，这类题通常转化为直线方程的纵截距求解． 解法二：令x -2y =z

,

则y =

11

x -z 22

x

小时，z 最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离 d =故z =0或-10，由题意，z max =0

，即x-2y 的最大值为0．

除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求值范围，则可以分别用如下方法求解： 对

y -1

，(x -2) 2+(y -1) 2，x -y -的取x -2

y -1

，转化为圆上任意一点P 到点A (2,1)连线斜率的最大值，可设过点A (2,1)的直线x -2

为y -1=k (x -2) ，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离 d =

=11

k =2或-，故k ∈[2,+∞) ⋃(-∞, -．

22

对(x -2) 2+(y -1) 2，转化为圆上任意一点P 到点A (2,1)距离的平方的取值范围，由例1易得PA ∈[CA CA ，即PA 2=(x -2) 2+(y -1) 2∈[50-+ 对x -y -1，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P 到直线x -y -1=0的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为P (x,y )

到直线x

-y -1=

，

即x -y -∈[4.

【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化． 类型四：向函数问题转化

平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．

例4（ 2010年高考全国卷I 理科11）已知圆O ：x 2+y 2=1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA ⋅PB 的最小值为

【分析】本题中，由于A 、B 都是动点，故将PA ⋅PB 转化为坐标形

式较难求解．此时考虑到向量数量积的定义，令∠APB =2α，PA ⋅PB =PA PB cos 2α，

而切线段PA=PB也可用α表示，故所求式可转化为关于α的三角函数求解． 解：令∠APB =2α

1

(α∈(0,，PA ⋅PB =PA PB cos 2α，PA =PB =，

2tan α

π

cos 2αcos 2α⋅cos 2α(1-sin 2α)(1-2sin 2α)

∴PA ⋅PB =， ==222

tan αsin αsin α (1-t )(1-2t ) 1

=2t +-3≥3 令sin α=t (t >0) ，则PA ⋅PB =

t t

2

（当且仅当t =

sin 2α=时取等号） 【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为

三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题． 类型五：向基本不等式问题转化

2

例5已知圆C ：（x +2）+y 2=4， 过点A (-1,0) 做两条互相垂直的直线l 1、l 2，l 1交圆C

与E 、F 两点，l 2交圆C 与G 、H 两点，

（1）EF +GH 的最大值．

(2) 求四边形EGFH 面积的最大值．

【分析】由于EF 和GH 都是圆的弦长，因此可利用半径=半弦长+弦心距将EF +GH 转化，用基本不等式的相关知识点．

2

2

2

解：（1）令圆心C 到弦EF 的距离为d 1，到弦GH 的距离为d 2，则 EF +

GH =，又d 12+d 22=CA 2=1，

≤==

（当且仅当d 1=d 2=

故EF +

GH ≤=（2）∵EF ⊥GH ，

∴S 四边形EFGH

8-(d 12+d 22) 1=EF ⋅GH =2⋅=7

22

（当且仅当d 1=d 2=

a +b a +b 【解题回顾】本题（1

）是利用（2

≤．基本不等式≤

22是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”．

由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的．