动量和能量

动量和能量

1．力的三种效应：

力的瞬时性（产生a ）F=ma、⇒运动状态发生变化⇒牛顿第二定律 时间积累效应(冲量)I=Ft、⇒动量发生变化⇒动量定理 空间积累效应(做功)w=Fs⇒动能发生变化⇒动能定理 2．动量观点：动量：p=mv=

动能： EK =

12

mv

2

=

p

2

2m

重力势能E p = mgh (凡是势能与零势能面的选择有关)

动能定理：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化（增量）。

公式： W合= W 合＝W 1+ W2+„+Wn = ∆E k = Ek2 一E k1 = 1m V 22

2

-12m V 1

2

2mE

K

冲量：I = F t

机械能守恒定律：机械能=动能+重力势能+弹性势能(条件:系统只有内部的重力或弹力做功). 守恒条件：(功角度) 只有重力, 弹力做功；(能转化角度) 只发生动能与势能之间的相互转化。 “只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。

列式形式：E 1=E2(先要确定零势面) P减(或增)=E增(或减) EA 减(或增)=EB 增(或减)

mgh 1 +

12

m V 1=m gh 2+

2

动量定理：内容：物体所受合外力的冲量等于它的动量的变化。

公式： F合t = mv一mv (解题时受力分析和正方向的规定是关键)

I=F合t=F1t 1+F2t 2+---=∆p=P末-P 初=mv末-mv 初

’

动量守恒定律：内容、守恒条件、不同的表达式及含义：p =p ' ；∆p =0；∆p 1=-∆p 2

P ＝P ′ ΔP ＝0

(系统相互作用前的总动量P 等于相互作用后的总动量P ′) (系统总动量变化为0)

12

m V 2 或者 ∆E p 减 = ∆E k 增

内能

2

除重力和弹簧弹力做功外, 其它力做功改变机械能；滑动摩擦力和空气阻力做功W =fd路程⇒E

热)

4．功能关系：功和能的关系：功是能量转化的量度。有两层含义：

(发

如果相互作用的系统由两个物体构成，动量守恒的具体表达式为

P 1＋P 2＝P 1′＋P 2′ (系统相互作用前的总动量等于相互作用后的总动量) m 1V 1＋m 2V 2＝m 1V 1′＋m 2V 2′ ΔP ＝－ΔP ＇

(两物体动量变化大小相等、方向相反)

(1)做功的过程就是能量转化的过程,(2)做功的多少决定了能转化的数量, 即:功是能量转化的量度

强调：功是一种过程量，它和一段位移（一段时间）相对应；而能是一种状态量，它与一个时刻相

' '

实际中应用有：m 1v 1+m2v 2=m 1v 1+m 2v 2； 0=m1v 1+m2v 2 m 1v 1+m2v 2=(m1+m2)v 共

原来以动量(P)运动的物体，若其获得大小相等、方向相反的动量(－P) ，是导致物体静止或反向运动的临界条件。即：P+(－P)=0

注意理解四性：系统性、矢量性、同时性、相对性

矢量性：对一维情况，先选定某一方向为正方向，速度方向与正方向相同的速度取正，反之取负，把矢量运算简化为代数运算。

相对性:所有速度必须是相对同一惯性参照系。 同时性：表达式中v 1和v 2必须是相互作用前同一时刻的瞬时速度，v 1’和v 2’必须是相互作用后同一时刻的瞬时速度。

解题步骤：选对象，划过程；受力分析。所选对象和过程符合什么规律？用何种形式列方程；（先要规定正方向）求解并讨论结果。 3．功与能观点：

功W = Fs cosθ (适用于恒力功的计算) ①理解正功、零功、负功②功是能量转化的量度

W= P·t (⇒p=

w t

=

FS t

=Fv) 功率:P =

W t

(在t 时间内力对物体做功的平均功率) P = Fv

(F为牵引力, 不是合外力；V 为即时速度时,P 为即时功率；V 为平均速度时,P 为平均功率； P一定时，F 与V 成正比）

- 1 -

5．求功的方法：单位：J ev=1.9×10J 度=kwh=3.6×10J 1u=931.5Mev

⊙力学：① W＝Fscos α ② W= P·t (⇒p=

w

t t

③动能定理 W合＝W 1+ W2+„+Wn =ΔE K =E末－E 初 (W可以不同的性质力做功) ④功是能量转化的量度(易忽视) 主要形式有：=

FS

=Fv)

重力的功------量度------重力势能的变化 电场力的功-----量度------电势能的变化 分子力的功-----量度------分子势能的变化 合外力的功------量度-------动能的变化 除重力和弹簧弹力做功外, 其它力做功改变机械能； 摩擦力和空气阻力做功W =fd路程⇒E 内能(发热)

与势能相关的力做功特点:如重力, 弹力, 分子力, 电场力它们做功与路径无关, 只与始末位置有关.

- 2 -

“功是能量转化的量度”这一基本概念理解。

⑴物体动能的增量由外力做的总功来量度：W 外=ΔE k ，这就是动能定理。

⑵物体重力势能的增量由重力做的功来量度：W G = -ΔE P ，这就是势能定理。

⑶物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W 其=ΔE 机，(W其表示除重力以外的其它力做的功) ，这就是机械能定理。

⑷当W 其=0时，说明只有重力做功，所以系统的机械能守恒。

⑸一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。f d=Q（d 为这两个物体间相对移动的路程）。

⊙热学： ΔE=Q+W（热力学第一定律）

⊙电学： W AB ＝qU AB ＝F 电d E =qEdE ⇒ 动能(导致电势能改变)

W ＝QU ＝UIt ＝I Rt ＝U t/R Q＝I Rt

2

2

2

③系统受外力作用，合外力也不为零，但合外力远小于物体间的相互作用力。

④系统在某一个方向的合外力为零，在这个方向的动量守恒。 ⑤全过程的某一阶段系统受合外力为零，该阶段系统动量守恒，

即：原来连在一起的系统匀速或静止(受合外力为零) ，分开后整体在某阶段受合外力仍为零, 可用动量守恒。

不同的表达式及含义：p =p ' ；∆p =0；∆p 1=-∆p 2' '

实际中有应用：m 1v 1+m2v 2=m 1v 1+m 2v 2； 0=m1v 1+m2v 2 m 1v 1+m2v 2=(m1+m2)v 共 注意理解四性：系统性、矢量性、同时性、相对性 系统性：研究对象是某个系统、研究的是某个过程

矢量性：不在同一直线上时进行矢量运算；在同一直线上时，取正方向，引入正负号转化为代数运算。

同时性：v 1、v 2是相互作用前同一时刻的速度，v 1' 、v 2' 是相互作用后同一时刻的速度。 同系性：各速度必须相对同一参照系 解题步骤：选对象, 划过程; 受力分析. 所选对象和过程符合什么规律？用何种形式列方程(先要规定正方向）求解并讨论结果。

历年高考中涉及动量守量模型题： 一质量为M 的长木板静止 在光滑水平桌面上. 一质量为m 的小滑块以水平速度v 0从长木板的一端开始在木板上滑动, 直到离开木板. 滑块刚离开木板时速度为V 0/3,若把此木板固定在水平面上, 其它条件相同, 求滑块离开木板时速度?

1996年全国广东(24题)

E=I(R+r)=u外+u内=u外+Ir P电源t =uIt+E其它 P电源=IE=I U +IRt

22

⊙磁学：安培力功W ＝F 安d ＝BILd ⇒内能(发热) =B BLV Ld =B L V d

2

R R

⊙光学：单个光子能量E ＝h γ 一束光能量E 总＝Nh γ(N为光子数目)

光电效应E km =

2

12

mv m ＝h γ－W 0 跃迁规律：h γ=E末-E 初 辐射或吸收光子

2

2

⊙原子：质能方程：E ＝mc ΔE ＝Δmc 注意单位的转换换算

1995年全国广东(30题压轴题)

1997年全国广东(25题轴题12分)

12分)

1998年全国广东(25题轴题

∣→→匀加速直线运动→→→→∣→→→变加速（a ↓）运动→→→→→∣→匀速运动→

(1)若额定功率下起动, 则一定是变加速运动, 因为牵引力随速度的增大而减小．求解时不能用匀变速运动的规律来解.

(2)特别注意匀加速起动时, 牵引力恒定．当功率随速度增至预定功率时的速度(匀加速结束时的速度) ，并不是车行的最大速度．此后，车仍要在额定功率下做加速度减小的加速运动(这阶段类同于额定功率起动) 直至a=0时速度达到最大．

动量守恒： 内容：相互作用的物体系统，如果不受外力，或它们所受的外力之和为零，它们的总动量保持不变。 （研究对象：相互作用的两个物体或多个物体所组成的系统） 守恒条件：①系统不受外力作用。 (理想化条件)

②系统受外力作用，但合外力为零。

- 3 -

试在下述简化情况下由牛顿定律导出动量守恒定律的表达式：系统是两个质点，相互作用力是恒力，不受其他力，沿直线运动要求说明推导过程中每步的根据，以及式中各符号和最后结果中各项的意义。

质量为M 的小船以速度V 0行驶，船上有两个质量皆为m 的小孩a 和b ，分别静止站在船头和船尾. 现小孩a 沿水平方向以速率v (相对于静止水面) 向前跃入水中，然后小孩b 沿水平方向以同一速率v (相对于静止水面) 向后跃入水中. 求小孩b 跃出后小船的速度.

v 1=

'

2m 2v 2+(m1-m 2)v 1

m 1+m 2

v '

2

=

2m 1v 1+(m2-m 1)v 2

m 1+m 2

记住这个结论给解综合题带来简便。通过讨论两质量便可。

“一动一静”弹性碰撞规律：即m 2v 2=0 ；m 2v 2=0 代入（1）、（2）式 2

21

动量守恒：m 1v 1+m2v 2=m1v 1'+m2v 2' 动能守恒： 联立可解：v 1'= 讨论（1）：

m 1-m 2m 1+m 2

12

m 1v 12+

12

m 2v 22=

12

m 1v 1' 2+

v 1

12

m 2v 2' 2

v 1（主动球速度下限） v2'=

2m 1m 1+m 2

（被碰球速度上限）

1999年全国广东(20题122000年全国广东(22压轴题) 2001年广东河南(17题12分)

分)

当m 1>m2时，v 1'>0，v 2'>0 v1′与v 1方向一致； 当m 1>>m2时，v 1' ≈v 1，v 2' ≈2v 1 (高射炮打蚊子)

当m 1=m2时，v 1'=0，v 2'=v1 即m 1与m 2交换速度 当m 10 v2′与v 1同向；当m 1

讨论（2）： 被碰球2获最大速度、最大动量、最大动能的条件为

A. 初速度v 1一定，当m 1>>m2时，v 2' ≈2v 1 B．初动量p 1一定，由p 2'=m2v 2'=

2m 1m 2v 1m 1+m 2

=2m 1v 1

m 12

+1

，可见，当m 1

2002年广东(19题) 2003年广东(19、20题)

B

l (15、17题) 2004年广东

C ．初动能E K1一定，当m 1=m2时，E K2'=EK1

一动静的完全非弹性碰撞。（子弹打击木块模型）是高中物理的重点。

特点：碰后有共同速度，或两者的距离最大(最小) 或系统的势能最大等等多种说法. mv 0+0=(m+M)v ' v ' =

mv

m +M

12

（主动球速度上限，被碰球速度下限）

20

2005年广东(18题)

碰撞模型：特点和注意点：

①动量守恒；②碰后的动能不可能碰前大；

③对追及碰撞，碰后后面物体的速度不可能大于前面物体的速度。 m 1v 1+m2v 2=m 1v 1+m 2v 2 (1) 2m 1E k +

1

12mv =

20

12

(m +M)v

'2

+E损 E损=mv 一

20

12

(m+M)v

'2

=

mMv

2(m+M)

2006年广东(16、18题) 2007年广东(17题)

由上可讨论主动球、被碰球的速度取值范围 (m1-m 2)v 1m 1+m 2

mv

m +M

mv

m +M

2m 1v 1m 1+m 2

讨论：①E 损 可用于克服相对运动时的摩擦力做功转化为内能

2m 1E K 1+

'

' '

2m 2E K 2=

'2

2m 2E K 2

'

E 损=fd相=μmg ·d 相=

12

mv 一

20

12

(m+M)v

'2

=

mMv

20

12

mv

21

+

12

mv

22

=

12

mv

' 21

+

12

mv

'22

(2 )

p 1

2

2m 1

+

p 22m

2

2

=

p 1

2m 1

+

p 22m

'2

2

2(m+M)

⇒ d相=

mMv

20

2(m+M)f

=

mMv

20

2μg(m+M)

②也可转化为弹性势能；③转化为电势能、电能发热等等；（通过电场力或安培力做功）

- 4 -

子弹打木块模型：物理学中最为典型的碰撞模型 (一定要掌握)

子弹击穿木块时, 两者速度不相等；子弹未击穿木块时, 两者速度相等. 这两种情况的临界情况是：当子弹从木块一端到达另一端，相对木块运动的位移等于木块长度时，两者速度相等． 例题：设质量为m 的子弹以初速度v 0射向静止在光滑水平面上的质量为M 的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d 。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。 解析：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。

从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒： mv 0=(M +m )v

从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为f ，设子弹、木块的位移大小分别为s 1、s 2，如图所示，显然有s 1-s 2=d

对子弹用动能定理：f ⋅s 1=1mv 02-1mv 2 „„„„„„„„„„„„„①

2

2

弹和木块速度不相等，所以不能再用④式计算ΔE K 的大小。

做这类题目时一定要画好示意图，把各种数量关系和速度符号标在图上，以免列方程时带错数据。

以上所列举的人、船模型的前提是系统初动量为零。如果发生相互作用前系统就具有一定的动量，那就不能再用m 1v 1=m 2v 2这种形式列方程，而要利用(m 1+m 2) v 0= m1v 1+ m2v 2列式。

特别要注意各种能量间的相互转化

附：

对木块用动能定理：f ⋅s 2=①、②相减得：f ⋅d =

12

2

12

Mv „„„„„„„„„„„„„„„„②

12

2

高考物理力学常见几类计算题的分析

高考题物理计算的常见几种类型

题型常见特点 （1）一般研究单个物体的阶段性运动。

（2）力大小可确定，一般仅涉及力、速度、加速度、位移、时间计算，通常不涉及功、能量、动量计算问题。

二大定理应用：（1）一般研究单个物体运动：若出现二个物体时隔离受力分析，分别列式判定。 （2）题目出现“功”、“动能”、“动能增加（减少）”等字眼，常涉及到功、力、初末速度、时

考查的主要内容

解题时应注意的问题

mv 0-

(M +m )v

2

=

Mm 2(M +m )

2

v 0 „„„„„„③

③式意义：f ∙d 恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见f ⋅d =Q ，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热(机械能转化为内能), 等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积(由于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟路径有关，所以这里应该用路程，而不是用位移) 。

由上式不难求得平均阻力的大小：

f =

Mmv

20

2(M +m )d

s 2=

m M +m

d

牛顿运动定律的应用与运动学公式的应用

至于木块前进的距离s 2，可以由以上②、③相比得出：

(1)运动过程的阶段性分析与受

力分析

(2)运用牛顿第二定律求a (3)选择最合适的运动学公式求位移、速度和时间。

(4)特殊的阶段性运动或二物体运动时间长短的比较常引入速度图象帮助解答。

(1)功、冲量的正负判定及其表达式写法。

(2)动能定理、动量定理表达式的建立。

（3）牛顿第二定律表达式、运动学速度公式与单一动量定理表达是完全等价的；牛顿第二定律表达式、运动学位移公式与单一动能定理表达是完全等价的；二个物体动能表达式与系统能量守恒式往往也是等价的。应用时要避免重复列式。

从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。试试推理。 由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比： s 2+d =(v 0+v )/2=v 0+v , ∴d =v 0=M +m , s 2=

s 2

v /2

v

s 2

v

m

m M +m

d

（1）学会画运动情境草，并对物体进行受力分析，以确定合外力的方向。

（2）加速度a 计算后，应根据物体加减速运动确定运动学公式如何表示（即正负号如何添加）

（3）不同阶段的物理量要加角标予以区分。

（1）未特别说明时，动能中速度均是相对地而言的，动能不能用分量表示。

（2）功中的位移应是对地位移；功的正负要依据力与位移方向间夹角判定，重力和电场力做功正负有时也可根据特征直接判定。

（3）选用牛顿运动定律及运动学公式解答往往比较繁琐。

（4）运用动量定理时要注意

力学二大定理与二大定律的应用

一般情况下M >>m ，所以s 2

全过程动能的损失量可用公式：∆E k

=

Mm 2(M +m )

v 0

2

„„„„„„„„„„„„④

当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统动量仍然守恒，系统动能损失仍然是ΔE K = f ∙d （这里的d 为木块的厚度），但由于末状态子

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万有引力定律的应用（一般出在选择题中）

间和长度量计算。 (4)曲线运动一般考虑到动能定

理应用，圆周运动一般还要引入向心力公式应用；匀变速直线运动往往考查到二个定理的应用。

二大定律应用：（1）一般涉及二个物体运动 （2）题目常出现“光滑水平面”

（1）系统某一方向动量守恒时

（或含“二物体

运用动量守恒定律。

间相互作用力等

（2）涉及长度量、能量、相对

大反向”提示）、

距离计算时常运用能量守恒定

“碰撞”、“动

律（含机械能守恒定律）解题。

量”、“动量变化

（3）等质量二物体的弹性碰撞，

量”、“速度”等

二物体会交换速度。

字眼，给定二物体

（4）最值问题中常涉及二物体

质量，并涉及共同

的共同速度问。

速度、最大伸长（压缩量）、最大高度、临界量、相对移动距离、作用次数等问题。

（1）物体行星表面处所受万有引力近似等于物体重力，地面处

（1）涉及天体运重力往往远大于向心力 动问题，题目常出(2)空中环绕时万有引力提供向现“卫星”、“行心力。

星”、“地球”、（3）物体所受的重力与纬度和“表面”等字眼。 高度有关，涉及火箭竖直上升（2）涉及卫星的（下降）时要注意在范围运动对环绕速度、周期、重力及加速度的影响，而小范围加速度、质量、离的竖直上抛运动则不用考虑这地高度等计算 种影响。

（3）星体表面环（4）当涉及转动圈数、二颗卫绕速度也称第一星最近（最远距离）、覆盖面大宇宙速度。 小问题时，要注意几何上角度联

系、卫星到行星中心距离与行星半径的关系。

选取正方向，并依据规定的正方向来确定某力冲量，物体初末动量的正负。

（1）运用动量守恒定律时要注意选择某一运动方向为正方向。

（2）系统合外力为零时，能量守恒式要力争抓住原来总能量与后来总能量相等的特点列式；当合外力不为零时，常根据做多少功转化多少能特征列式计算。

（3）多次作用问题逐次分析、列式找规律的意识。

（1）注意万有引力定律表达式中的两天体间距离r 距与向心力公式中物体环绕半径r 的区别与联系。

（2）双子星之间距离与转动半径往往不等，列式计算时要特别小心。

（3）向心力公式中的物体环绕半径r 是所在处的轨迹曲率半径，当轨迹为椭圆时，曲率半径不一定等于长半轴或短半轴。

（4）地面处重力或万有引力远大于向心力，而空中绕地球匀速圆周运动时重力或万有引力等于向心力。

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